Um cliente, ao chegar a uma agência bancária, retirou a última senha de atendimento do dia, com o número 49…

Questão

Um cliente, ao chegar a uma agência bancária, retirou a última senha de atendimento do dia, com o número 49. Verificou que havia 12 pessoas à sua frente na fila, cujas senhas representavam uma progressão aritmética de números naturais consecutivos, começando em 37. Algum tempo depois, mais de 4 pessoas desistiram do atendimento e saíram do banco. Com isso, os números das senhas daquelas que permaneceram na fila passaram a formar uma nova progressão aritmética. Se os clientes com as senhas de números 37 e 49 não saíram do banco, o número máximo de pessoas que pode ter permanecido na fila é: (UERJ 2012)

1. A) 6
2. B) 7
3. C) 9
4. D) 12

✅ Resposta correta: alternativa B

Resolução passo a passo

1. A fila original tem as senhas 37 a 48 (12 pessoas) e o cliente da senha 49, ou seja, 13 números consecutivos de 37 a 49. Passo 2: Os clientes 37 e 49 permanecem, e mais de 4 pessoas saem, o que significa pelo menos 5 saídas. Assim, no máximo 13 - 5 = 8 pessoas podem permanecer. Passo 3: As senhas que permanecem devem formar uma PA que começa em 37 e termina em 49. A diferença comum d precisa dividir a distância 49 - 37 = 12, pois a PA vai de 37 até 49 com passo d. Passo 4: O número de termos de uma PA de 37 a 49 com razão d é 12/d + 1. Para que haja no máximo 8 pessoas, 12/d + 1 ≤ 8, logo 12/d ≤ 7 e d ≥ 2. Passo 5: O maior número de termos ocorre com o menor d possível que respeite a condição, ou seja, d = 2. Nesse caso permanecem 37, 39, 41, 43, 45, 47 e 49, totalizando 7 pessoas, e saem 6 (38, 40, 42, 44, 46 e 48), o que atende a 'mais de 4'. Passo 6: Por que as outras estão erradas: d = 1 daria 13 pessoas, mas isso significaria que ninguém saiu, contrariando o enunciado; 9 exigiria saída de apenas 4 pessoas, o que não respeita 'mais de 4'; 12 ignora as desistências. Portanto, a resposta correta é 7, alternativa B, de acordo com o gabarito oficial.

💡 Dica: Analise a progressão aritmética inicial e a nova após desistências para encontrar o máximo de pessoas restantes.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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