Explique como a lei da gravitação universal de Newton permite deduzir a terceira lei de Kepler e deduza a…

Questão

Explique como a lei da gravitação universal de Newton permite deduzir a terceira lei de Kepler e deduza a expressão do período T de um corpo de massa m em órbita circular de raio r ao redor de massa M. Justifique também por que forças centrais 1/r^2 geram órbitas elípticas.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Igualando a força gravitacional à centrípeta: G M m / r^2 = m (2p/T)^2 r. Simplificando: G M / r^2 = 4p^2 r / T^2 ? T^2 = (4p^2/GM) r^3, logo T = 2p v(r^3/(G M)). A força central proporcional a 1/r^2 é um potencial central que, por conservação de energia e momento angular, gera trajetórias como seções cônicas; para energia negativa as órbitas ligadas são elipses, conforme as soluções das equações do movimento.

Explicação

1) Igualar G M m/r^2 a m v^2/r. 2) substituir v=2pr/T e isolar T^2. 3) obter T^2=(4p^2/GM) r^3. 4) argumentar que força 1/r^2, por conservação, produz seções cônicas; caso bound ? elipse.

Raio-X da questão

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