Projete uma estação de "carrossel humano" inspirada em brincadeiras de roda. A plataforma circular tem raio R…

Questão

Projete uma estação de "carrossel humano" inspirada em brincadeiras de roda. A plataforma circular tem raio R = 1,50 m e massa da plataforma m_p = 18,0 kg. Três crianças, cada uma de massa m = 32,0 kg, sentam-se na borda (aproximando-as como massas pontuais a r = R). Determine: a) a velocidade angular máxima ?_max para que a força centrípeta em cada criança não exceda F_max = 250 N; b) a velocidade tangencial v e o período T correspondentes a ?_max (v = ? R, T = 2p/?); c) a energia cinética rotacional total do sistema nessa condição, aproximando I_total = I_crianças + I_plataforma com I_crianças = S m r² e I_plataforma ˜ m_p r². Explique passos, apresente cálculos e indique uma recomendação de segurança sobre limite de velocidade.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Modelo de resposta: 1) Dados: R = 1,50 m; m = 32,0 kg (cada); 3 crianças; m_p = 18,0 kg; F_max = 250 N. Fórmula centrípeta: F_c = m ?² r ? ?_max = sqrt(F_max/(m r)). Substituindo: ?_max = sqrt(250/(32,0·1,50)) = sqrt(250/48,0) = sqrt(5,20833) ˜ 2,283 rad/s. 2) Velocidade tangencial e período: v = ?_max·R = 2,283·1,50 ˜ 3,425 m/s. Período T = 2p/?_max = 2p/2,283 ˜ 2,75 s. 3) Momento de inércia aproximado: I_crianças = 3·m·r² = 3·32,0·(1,50)² = 3·32,0·2,25 = 216,0 kg·m². I_plataforma ˜ m_p·r² = 18,0·2,25 = 40,5 kg·m². I_total = 256,5 kg·m². Energia cinética rotacional: K = 1/2 I_total ?_max² = 0,5·256,5·(2,283)². Calculando ?_max² ˜ 5,209 ? K ˜ 0,5·256,5·5,209 ˜ 668 J (aprox.). 4) Recomendações de segurança: limitar a velocidade angular a ? = 2,28 rad/s para que a força centrípeta por criança não exceda 250 N; providenciar freio ou zona de amortecimento ao redor com raio adicional = 2,0 m para evitar colisões; inspecionar fixações e equilíbrio da plataforma; orientar crianças a segurar firmemente e evitar movimentos bruscos que aumentem r efetivo ou deslocem massas. Observações: usar aproximação de massas pontuais e plataforma como anel; para cálculo mais preciso considerar distribuição de massa da plataforma e eventuais variações de massa corporal.

Explicação

A solução utiliza a fórmula da força centrípeta para determinar a velocidade angular máxima que não excede a força limite em cada criança, garantindo a segurança durante a brincadeira. Em seguida, calcula a velocidade tangencial e o período, além de determinar a energia cinética rotacional total do sistema, considerando os momentos de inércia da plataforma e das crianças. Por fim, as recomendações de segurança são fundamentais para prevenir acidentes e garantir a integridade dos participantes.

Raio-X da questão

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