Uma barra fina de comprimento L = 1,20 m tem densidade linear ?(x)=?0·(1 + x/L), onde x é medido desde a…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Elaborar explicações, previsões e cálculos a respeito dos movimentos de objetos na Terra, no Sistema Solar e no Universo com base na análise das interações gravitacionais, com ou sem o uso de dispositivos e aplicativos digitais (como softwares de simulação e de realidade virtual, entre outros).
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Uma barra fina de comprimento L = 1,20 m tem densidade linear ?(x)=?0·(1 + x/L), onde x é medido desde a extremidade esquerda. Determine a posição do centro de massa x_cm em metros a partir da extremidade esquerda.
- A) x_cm = (5/9)·L = (5/9)·1,20 m ˜ 0,667 m.
- B) x_cm = 0,75 m.
- C) x_cm = 0,4 m.
- D) x_cm = 0,8 m.
- E) x_cm = 0,5 m.
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- Massa total. M = integral de 0 a L de lambda0(1 + x/L) dx = lambda0 (L + L/2) = 1,5 lambda0 L. Passo 2: Momento de primeira ordem. integral de 0 a L de x lambda0(1 + x/L) dx = lambda0 (L^2/2 + L^2/3) = lambda0 (5 L^2/6). Passo 3: Posicao do centro de massa. x_cm = (5 L^2/6) / (1,5 L) = 5L/9. Passo 4: Substituicao numerica. Com L = 1,20 m, x_cm = 5 x 1,20 / 9 = 6/9 = 0,667 m, o que confirma a alternativa A, que coincide com o gabarito oficial. Passo 5: Por que as outras estao erradas. B (0,75 m) nao corresponde a nenhuma razao 5/9 de L, indicando erro no calculo das integrais. C (0,4 m) equivale a L/3, valor que nao considera a variacao linear da densidade. D (0,8 m) equivale a 2L/3, posicao do centroide de um triangulo medida do vertice errado. E (0,5 m) equivale a L/2, que so vale para barra homogenea, o que nao e o caso aqui.
💡 Dica: Utilize a fórmula do centro de massa para resolver a questão.
Alternativa por alternativa
x_cm = (?_0^L x ?(x) dx)/(?_0^L ?(x) dx). Substituindo ?(x)=?0(1+x/L) e integrando obtém-se x_cm = 5L/9.
Provavelmente calculou a posicao do centro de massa com erro nas integrais ou na normalizacao pela massa, chegando a um valor que nao corresponde a 5L/9.
Por que engana: O aluno pode confundir a fórmula do centro de massa com a de densidade, resultando em um cálculo incorreto da posição.
Assumiu que o centro de massa fica no terco da barra, como se a distribuicao fosse triangular com centroide em L/3 do lado mais pesado, ignorando que a densidade cresce para a direita.
Tomou a posicao 2L/3 do centroide de um triangulo, medindo a partir do vertice errado, e inverteu a referencia da distribuicao de massa.
Supôs que o centro de massa esta no meio da barra, como se ela fosse homogenea, ignorando que a densidade linear varia com x.
Raio-X da questão
centro de massa
avaliacao
centro de massa · densidade linear
Revisar a fórmula do centro de massa e densidade linear.
O aluno pode confundir a fórmula do centro de massa com a de densidade, resultando em um cálculo incorreto da posição.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
cientifico
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