Sejam os triângulos ABC e DEF. Prove que ABC ~ DEF se, e somente se, existem k>0 e uma rotação R de tal modo…

Questão

Sejam os triângulos ABC e DEF. Prove que ABC ~ DEF se, e somente se, existem k>0 e uma rotação R de tal modo que vetor AB = k·R(DE) e vetor AC = k·R(DF). Em seguida deduza a condição algébrica equivalente em termos de razões de lados e ângulos entre os lados.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Direção ?: Se AB = k·R(DE) e AC = k·R(DF) então |AB|=k|DE| e |AC|=k|DF|; como R preserva ângulos, ?BAC=?EDF. Assim AB/DE=AC/DF=k e ângulo entre os lados é igual; por SAS segue ABC~DEF. Direção ?: Se AB/DE=AC/DF=k e ?BAC=?EDF, escolha rotação R que alinha a direção de DE com a de AB; escalando DE e DF por k obtém-se AB e AC, logo existem k e R com as igualdades vetoriais.

Explicação

A resposta demonstra que a similaridade entre os triângulos é garantida pela relação proporcional entre os lados e a igualdade dos ângulos correspondentes, o que é característico do critério SAS. Além disso, a escolha de uma rotação e um fator de escala k permite a transformação dos vetores que representam os lados dos triângulos, confirmando a relação de similaridade. Assim, a resposta abrange tanto a condição geométrica quanto a condição algébrica, estabelecendo uma conexão clara entre as duas.

Raio-X da questão

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