Seja uma circunferência e pontos distintos A, B, C, D nessa ordem sobre ela. Sabe-se que m(arc AB) = m(arc…

Questão

Seja uma circunferência e pontos distintos A, B, C, D nessa ordem sobre ela. Sabe-se que m(arc AB) = m(arc CD). Prove que ?ACB = ?CAD e ?ABC = ?CDA e, a partir disso, demonstre que os triângulos ABC e CDA são semelhantes. Apresente a demonstração completa e indique o critério de semelhança.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Pela definição, um ângulo inscrito mede metade do arco que subtende. Como m(arc AB)=m(arc CD), segue ?ACB = ½·m(arc AB) = ½·m(arc CD) = ?CAD. Além disso, ?ABC e ?CDA interceptam ambos o arco AC, logo ?ABC = ½·m(arc AC) = ?CDA. Assim os pares de ângulos correspondentes são iguais (duas correspondências), o que implica que os triângulos ABC e CDA são semelhantes pelo critério AA (ângulo-ângulo). A razão de semelhança decorre da igualdade dos arcos/chordas correspondentes; em particular, arcos iguais implicam cordas iguais, portanto a razão entre lados correspondentes é 1 quando se emparelham AB?CD, BC?DA, AC?CA, e a semelhança é estabelecida pelo critério AA.

Explicação

A demonstração utiliza a propriedade dos ângulos inscritos, mostrando que ângulos que interceptam arcos iguais são iguais. Além disso, a igualdade dos ângulos correspondentes em dois triângulos garante a semelhança pelo critério AA. A razão de semelhança é estabelecida pela igualdade das cordas correspondentes, resultando em triângulos semelhantes.

Raio-X da questão

Questões parecidas com resolução

• Em uma gráfica que trabalha com impressão digital, uma encomenda é produzida em cartazes retangulares. Cada cartaz mede…
• Em uma oficina de mosaicos para decorar um mural de uma escola, os estudantes recortaram uma peça quadrada e uma peça…
• No mural da escola, a palavra "saepe" aparece nestas quatro linhas: saepe, saepe, saepe e saepe. Quantas vezes a palavra…
• Bia fez um cartão dobrando uma folha ao meio na vertical e desenhou um ponto 3 cm à esquerda da dobra, na metade da…
• Na aula de Arte, Bia dobrou uma folha ao meio, na vertical, e recortou apenas um lado de um coração; ao abrir, o desenho…
• Na aula de Arte, Bia dobrou uma folha ao meio na vertical e recortou um desenho em apenas um dos lados. Ao abrir a…

Todas as questões de Ampliação e redução de figuras poligonais em malhas quadriculadas: reconhecimento da congruência dos ângulos e da proporcionalidade dos lados correspondentes