Em um cubo de aresta a, com base ABCD e topo A'B'C'D', considere a diagonal da base AC e a diagonal espacial A…

Questão

Em um cubo de aresta a, com base ABCD e topo A'B'C'D', considere a diagonal da base AC e a diagonal espacial A C' (do vértice A ao vértice oposto C'). Usando vistas ortogonais e relações vetoriais/trigonométricas, determine o ângulo ? entre AC e AC' em função de a.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Coloque A=(0,0,0), C=(a,a,0) e C'=(a,a,a). Vetor AC=(a,a,0), vetor AC'=(a,a,a). Produto escalar: AC·AC'=a²+a²+0=2a². Normas: |AC|=v(a²+a²)=av2; |AC'|=v(a²+a²+a²)=av3. Então cos?=(AC·AC')/(|AC||AC'|)=2a²/(av2·av3)=2/(v6)=v6/3. Logo ?=arccos(v6/3) (˜35,26°). Método: usar coordenadas para obter vetores, calcular produto escalar e normas, aplicar definição do cosseno do ângulo entre vetores.

Explicação

A solução utiliza coordenadas para representar os pontos do cubo, permitindo a construção dos vetores AC e AC'. O cálculo do produto escalar e das normas dos vetores é fundamental para aplicar a definição do cosseno do ângulo entre eles. O resultado final, expresso em termos de arccos, fornece o ângulo desejado em função da aresta do cubo.

Raio-X da questão

Questões parecidas com resolução

• No abrigo de animais, há 3 bolas e 2 caixas em forma de cubo para os animais. Também há 4 cartões triangulares, que são…
• Em uma brinquedoteca, há um brinquedo que rola em linha reta quando empurrado e possui duas bases circulares do mesmo…
• Durante uma aula, a professora mostrou quatro objetos: dado, caixa de remédio, lata e bola. Depois, pediu que a turma…
• Em uma prateleira de mercado, há três embalagens: uma lata de refrigerante, uma caixa de cereal e uma bola de decoração…
• Em um depósito, há duas embalagens: uma caixa de sapato e uma bola decorativa. A caixa tem 6 faces retangulares…
• A caixa de sapatos de Ana tem faces planas retangulares. Suas faces não são quadradas. Qual é sua forma?

Todas as questões de Figuras geométricas espaciais (cubo, bloco retangular, pirâmide, cone, cilindro e esfera): reconhecimento e características