Um polígono regular de n lados (n = 3) está inscrito numa circunferência de centro O. Vértices consecutivos…

Questão

Um polígono regular de n lados (n = 3) está inscrito numa circunferência de centro O. Vértices consecutivos são A e B, formando o lado AB. Seja CD outro lado do polígono tal que CD ? AB. a) Em função de n, calcule a medida do ângulo central ?AOB e a medida do arco AB. b) Mostre que o arco CD = arco AB. c) Determine, em função de n, a medida de qualquer ângulo inscrito que intercepta o arco AB e relacione-o com ?AOB.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

a) Num polígono regular de n lados, o centro O subtende cada lado por um ângulo central igual: ?AOB = 360°/n. O arco correspondente AB tem a mesma medida do ângulo central, logo arco(AB) = 360°/n. b) Em um polígono regular todos os lados são congruentes; portanto os segmentos AB e CD têm o mesmo comprimento como cordas da circunferência. Cordas iguais interceptam arcos iguais, então arco(CD) = arco(AB) = 360°/n. Assim, a condição CD ? AB é consistente com a igualdade das cordas no caso do polígono regular. c) Em qualquer circunferência, a medida de um ângulo inscrito é metade da medida do arco que intercepta. Logo, qualquer ângulo inscrito que intercepta o arco AB mede (1/2)·arco(AB) = (1/2)·(360°/n) = 180°/n. A relação entre o ângulo inscrito e o central correspondente é ?inscrito = (1/2)·?central, isto é, 180°/n = (1/2)·(360°/n).

Explicação

A medida do ângulo central em um polígono regular é obtida dividindo 360° pelo número de lados, o que também determina a medida do arco correspondente. A igualdade entre os arcos de cordas congruentes é garantida pela propriedade das cordas em circunferências, assegurando que os arcos interceptados por ângulos inscritos são proporcionais à medida do arco correspondente. A relação entre ângulos inscritos e centrais é uma propriedade fundamental da geometria circular, onde o ângulo inscrito é sempre metade do ângulo central que intercepta o mesmo arco.

Raio-X da questão

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