No círculo de centro O e raio r = 10, os pontos A, B e C pertencem à circunferência. O ângulo central ?AOB…

Questão

No círculo de centro O e raio r = 10, os pontos A, B e C pertencem à circunferência. O ângulo central ?AOB mede 112°. Supondo que C está no arco menor AB e que ?ACB é um ângulo inscrito que intercepta o arco AB, resolva: (a) a medida do arco AB (em graus) e o comprimento do arco AB; (b) a medida do ângulo inscrito ?ACB; (c) o comprimento do corda AB. (Use p em respostas exatas e, se necessário, apresente aproximações decimais.)

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

a) A medida do arco AB é igual ao ângulo central que o subtende: arco AB = 112°. Comprimento do arco = r·? (? em radianos). ? = 112°·(p/180) = (28p/45). Assim, comprimento = 10·(28p/45) = 280p/45 = 56p/9 (unidades). Aproximação: 56p/9 ˜ 19,55. b) Um ângulo inscrito que intercepta o mesmo arco mede metade do ângulo central: ?ACB = 112°/2 = 56°. c) Comprimento da corda AB: fórmula AB = 2r·sin(?/2) com ? em graus ou radianos; aqui ?/2 = 56°. Logo AB = 2·10·sin(56°) = 20·sin(56°) ˜ 20·0,8290 ˜ 16,58 (unidades). Em termos exatos trigonométricos, AB = 20·sin(56°). Observação: foram usados: arco (graus) = ângulo central; comprimento do arco = r·?(rad); corda = 2r·sin(?/2).

Explicação

A medida do arco AB é igual ao ângulo central, pois ambos subtendem o mesmo arco na circunferência. O ângulo inscrito ACB mede metade do ângulo central, conforme a propriedade dos ângulos inscritos. O comprimento da corda AB é calculado usando a fórmula que relaciona o raio e o seno do ângulo, garantindo a precisão na determinação da distância entre os pontos A e B.

Raio-X da questão

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