Em um círculo de centro O, os pontos A, B e C pertencem à circunferência e AC é diâmetro. Do ponto B traça-se…

Questão

Em um círculo de centro O, os pontos A, B e C pertencem à circunferência e AC é diâmetro. Do ponto B traça-se a perpendicular BD a AC, com D em AC. Sabe-se que ?BAD = x + 40° e ?CBD = 2x - 5°. Usando semelhança de triângulos e relações entre ângulos inscritos e diâmetro, determine o valor de x e calcule as medidas dos ângulos do triângulo ABC e do ângulo central ?AOC.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Como AC é diâmetro, ?ABC é inscrito que subtende o diâmetro, logo ?ABC = 90°. BD é altura sobre AC, então BD ? AC e D pertence a AC. Nos triângulos ABD e CBD, temos ?BDA = ?BDC = 90° e compartilham o ângulo em B; portanto os dois triângulos são semelhantes, o que implica ?BAD = ?CBD. Igualando as expressões: x + 40 = 2x - 5 ? x = 45. Assim ?BAD = 45 + 40 = 85° e ?CBD = 2·45 - 5 = 85°. Em ABC, como AD está sobre AC, ?BAC = ?BAD = 85°. Com ?ABC = 90°, tem-se ?ACB = 180 - 90 - 85 = 5°. O ângulo central que subtende o arco AC é formado pelos raios OA e OC; como AC é diâmetro, ?AOC = 180°.

Explicação

A relação entre os ângulos nos triângulos ABD e CBD, que são semelhantes, permite igualar as expressões para ?BAD e ?CBD, resultando na determinação do valor de x. A propriedade do ângulo inscrito que subtende o diâmetro garante que ?ABC seja 90°, e a soma dos ângulos do triângulo ABC leva à medida de ?ACB. Por fim, o ângulo central ?AOC, que subtende o mesmo arco que ?ABC, é sempre 180° quando AC é diâmetro.

Raio-X da questão

Questões parecidas com resolução

• No abrigo de animais, há 3 bolas e 2 caixas em forma de cubo para os animais. Também há 4 cartões triangulares, que são…
• Em uma brinquedoteca, há um brinquedo que rola em linha reta quando empurrado e possui duas bases circulares do mesmo…
• Durante uma aula, a professora mostrou quatro objetos: dado, caixa de remédio, lata e bola. Depois, pediu que a turma…
• Em uma prateleira de mercado, há três embalagens: uma lata de refrigerante, uma caixa de cereal e uma bola de decoração…
• Em um depósito, há duas embalagens: uma caixa de sapato e uma bola decorativa. A caixa tem 6 faces retangulares…
• A caixa de sapatos de Ana tem faces planas retangulares. Suas faces não são quadradas. Qual é sua forma?

Todas as questões de Figuras geométricas espaciais (cubo, bloco retangular, pirâmide, cone, cilindro e esfera): reconhecimento e características