Cinco dançarinos formam uma fila sobre uma prancha rígida de comprimento L = 4,0 m apoiada nas extremidades x…

Questão

Cinco dançarinos formam uma fila sobre uma prancha rígida de comprimento L = 4,0 m apoiada nas extremidades x = 0 e x = 4,0 m. As massas e posições (medidas desde x = 0) são: m1 = 55 kg em x1 = 0,50 m; m2 = 60 kg em x2 = 1,50 m; m3 = 50 kg em x3 = 2,00 m; m4 = 65 kg em x4 = 2,80 m; m5 = 58 kg em x5 = 3,50 m. Descreva como determinar (com cálculos) a) posição do centro de massa do sistema de dançarinos; b) as reações R_left e R_right nos apoios (assuma massa da prancha desprezível e g = 10 m/s²). Interprete os resultados quanto à estabilidade da prancha.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Modelo de resolução: 1) Soma das massas: M = 55+60+50+65+58 = 288 kg. 2) Momento total em relação a x=0: S m_i x_i = 55·0,50 + 60·1,50 + 50·2,00 + 65·2,80 + 58·3,50 = 27,5 + 90 + 100 + 182 + 203 = 602,5 kg·m. 3) Posição do centro de massa: x_cm = (S m_i x_i)/M = 602,5 / 288 ˜ 2,092 m (˜2,09 m). Como 0 < x_cm < 4,0 m, o conjunto está entre os apoios. 4) Reações nos apoios: equilíbrio vertical ? R_left + R_right = M g = 288·10 = 2880 N. Momento em relação ao apoio esquerdo (x=0): R_right·L - S(m_i g x_i) = 0 ? R_right = (g · S m_i x_i)/L = 10·602,5 / 4,0 = 6025 / 4 = 1506,25 N. Logo R_left = 2880 - 1506,25 = 1373,75 N. 5) Interpretação: ambas as reações são positivas (R_left ˜ 1,37×10³ N e R_right ˜ 1,51×10³ N), portanto nenhum suporte perde contato e a prancha está estável. A posição do centro de massa (˜2,09 m) indica que o peso resultante está ligeiramente à direita do centro geométrico (2,00 m), justificando R_right > R_left. Observação física e cultural: calcular x_cm e reações ajuda a planejar formações de dança coletiva com segurança, distribuindo participantes para evitar sobrecarga em um único apoio.

Explicação

A solução apresentada utiliza conceitos de centro de massa e equilíbrio de forças para determinar a distribuição de peso dos dançarinos na prancha. Os cálculos realizados garantem que as reações nos apoios sejam adequadas para manter a estabilidade da estrutura, evitando que um dos lados perca contato. A interpretação dos resultados fornece insights sobre a posição do centro de massa em relação ao centro geométrico, essencial para a segurança em formações de dança.

Raio-X da questão

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