Proponha um algoritmo para decidir se um grafo simples não direcionado possui circuito Euleriano. Indique que…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Explorar propriedades básicas de grafos.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Proponha um algoritmo para decidir se um grafo simples não direcionado possui circuito Euleriano. Indique que propriedades dos graus e da conectividade devem ser verificadas e por que.
✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.
Resposta esperada
1) Calcule deg(v) para todo vértice v. 2) Conte vértices de grau ímpar (k). 3) Verifique conectividade do subgrafo induzido por vértices com grau>0: faça uma DFS/BFS a partir de um vértice de grau>0 e confirme que todos os vértices com grau>0 são visitados. Decisão: se o subgrafo não é conectado ? sem circuito Euleriano; se conectado e k==0 ? existe circuito Euleriano; se conectado e k==2 ? existe trilha Euleriana mas não circuito; caso contrário (k>2) ? nenhum dos dois. Justificativa: teorema clássico de Euler: circuito ocorre quando todos os vértices têm grau par e a componente com arestas é conexa. Complexidade O(V+E).
Explicação
A solução apresentada utiliza o teorema de Euler, que estabelece que um grafo possui um circuito Euleriano se todos os vértices têm grau par e o grafo é conexo. A contagem dos vértices de grau ímpar e a verificação da conectividade do subgrafo com arestas são etapas essenciais para determinar a existência de circuitos ou trilhas Eulerianas. A complexidade do algoritmo é eficiente, permitindo que a análise seja realizada em tempo linear em relação ao número de vértices e arestas.
Raio-X da questão
circuito Euleriano
avaliacao
propriedades de grafos · circuitos em grafos
Revisar as propriedades de grafos e circuitos Eulerianos.
O aluno pode confundir as condições necessárias para a existência de um circuito Euleriano, como a conectividade do grafo e a paridade dos graus dos vértices.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
cientifico
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