Atividades sobre Semelhança de triângulos com gabarito — 9º ano (EF09MA12)

Quando recebo o código EF09MA12 no planejamento do bimestre, a primeira pergunta que me faço é simples: como transformar essa frase da BNCC em uma aula e, depois, em uma avaliação que realmente diga alguma coisa sobre o que o aluno aprendeu? Semelhança de triângulos é um desses conteúdos que parecem fáceis no quadro e viram um desafio na hora da prova, porque o aluno decora a proporção, mas esquece de verificar se os lados certos estão sendo comparados.

Foi por isso que passei a montar meus materiais a partir de situações concretas e questões que exigem justificativa. Neste post, reúno o que aprendi na sala de aula e seis questões prontas para você usar ou adaptar.

O que a habilidade EF09MA12 pede, de verdade?

Reconhecer as condições necessárias e suficientes para que dois triângulos sejam semelhantes.

Na prática, isso quer dizer que o aluno precisa saber quando dois triângulos podem ser chamados de semelhantes e por quê. Não basta reconhecer a figura parecida: é preciso conhecer os critérios (AA, LAL e LLL, ou SSS) e entender que a semelhança exige lados correspondentes proporcionais e ângulos correspondentes congruentes, em medida suficiente para garantir a proporcionalidade. O foco está na condição, não apenas no cálculo da razão. Quando o aluno entende que dois ângulos iguais já bastam (critério AA) e que três razões iguais também bastam (critério LLL), ele deixa de chutar e passa a justificar. Essa é a diferença entre saber a fórmula e dominar o conceito.

Como trabalhar EF09MA12 em sala?

Algumas ideias que funcionaram nas minhas turmas, todas sem material caro:

• Sombra e bastão no pátio: leve uma régua de 1,50 m e meça a sombra ao meio-dia. Depois, peça que estimem a altura de um poste ou de uma árvore usando a proporção entre sombras. A semelhança aparece de forma concreta.
• Ampliar e reduzir desenho: peça que os alunos desenhem um triângulo no caderno e outro com lados multiplicados por 2 ou 3. Depois, perguntem: os ângulos mudaram? Os lados mudaram? Qual a razão?
• Caça ao critério: apresente pares de triângulos com informações incompletas e peça que digam qual critério (AA, LAL ou LLL) justificaria a semelhança, ou se nenhum serve.
• Erro proposital: mostre uma resolução com a razão invertida ou com lados não correspondentes e peça que o grupo encontre o erro. Isso fixa o conceito melhor do que mais uma lista de exercícios.

Como avaliar essa habilidade?

Uma boa questão sobre EF09MA12 precisa cobrar três coisas: identificar os lados correspondentes, verificar a proporção e justificar com um critério. Questões que só pedem um número final deixam passar o aluno que acertou por sorte. Também evito enunciados em que os triângulos já vêm desenhados de forma que a semelhança seja óbvia visualmente, porque isso premia a intuição e não o raciocínio.

Erros comuns que vejo na avaliação: comparar lados que não são correspondentes, inverter a razão em apenas uma das frações, confundir semelhança com congruência (achar que os lados precisam ser iguais) e usar o critério de ângulo incluído sem conferir se o ângulo está realmente entre os lados proporcionais.

Questões prontas de EF09MA12 (com gabarito comentado)

Seguem as seis questões reais do acervo do GeraProva para este código. Em cada uma, a alternativa correta está marcada com ✅ e as erradas com ❌, com a explicação do motivo.

Questão 1: triângulos ABC e DEF com lados 8, 12, 12 e 18

Nos triângulos ABC e DEF, AB = 8 cm, AC = 12 cm, DE = 12 cm, DF = 18 cm e ?A = ?D. Determine se os triângulos são semelhantes e indique a razão entre os lados correspondentes de ABC e DEF.

• ❌ A) Sim; ABC ~ DEF, com AB/DE = AC/DF = 3/2. — Inverte a razão entre os lados de ABC e DEF, calculando DEF/ABC em vez de ABC/DEF.
• ✅ B) Sim; ABC ~ DEF, com AB/DE = AC/DF = 2/3. — Os lados que formam os ângulos iguais são proporcionais: AB/DE = 8/12 = 2/3 e AC/DF = 12/18 = 2/3. Como os dois lados correspondentes são proporcionais e o ângulo entre eles é igual, os triângulos são semelhantes pelo caso LAL. A razão entre os lados de ABC e DEF é 2/3.
• ❌ C) Não; ABC e DEF não são semelhantes, pois 8/12 é diferente de 12/18. — Compara as frações sem simplificá-las corretamente. Na realidade, 8/12 e 12/18 são iguais a 2/3.
• ❌ D) Sim; ABC ~ DEF, com AB/DE = AC/DF = 1. — Considera, de forma incorreta, que a semelhança exige lados correspondentes de mesma medida, confundindo semelhança com congruência.
• ❌ E) Não; ABC e DEF não são semelhantes, pois apenas um par de ângulos é igual. — Desconsidera que, além do ângulo igual, os dois lados que formam esse ângulo são proporcionais, condição suficiente para a semelhança pelo caso LAL.

Dica de resolução: verifique a semelhança usando a razão entre os lados.

Questão 2: existe x para que os triângulos sejam semelhantes?

Nos triângulos ABC e DEF tem-se AB = 4x+2, AC = 6x-1, DE = 10, DF = 15 e ?A = ?D. Existe x tal que ABC ~ DEF? Se sim, determine x; caso contrário, justifique.

• ❌ A) Sim, existe x igual a 1 que torna os triângulos semelhantes. — Resolvendo as razões, não existe valor de x que satisfaça a condição.
• ✅ B) Não existe x que satisfaça a semelhança. — Igualando razões: (4x+2)/10 = (6x-1)/15 ⇒ 3(4x+2)=2(6x-1) ⇒ 12x+6=12x-2 ⇒ 6=-2, contradição; portanto não há x.
• ❌ C) Não, pois x não pode ser negativo. — Aqui, o problema é que não existe x válido, não apenas a negatividade.
• ❌ D) Sim, todos os valores de x geram triângulos semelhantes. — A relação linear de lados não se sustenta; a equação não permite isso.
• ❌ E) Não, mas existe x igual a 2 para semelhança. — Calculando, a equação leva a uma contradição e não a um valor válido de x.

Dica de resolução: iguale as razões dos lados correspondentes dos triângulos.

Questão 3: encontrar x com lados 3x, 4x e 5x

Um triângulo tem lados 3x, 4x e 5x. Outro tem lados 18, 24 e 30. Encontre x e mostre que os triângulos são semelhantes.

• ❌ A) x = 8; triângulos semelhantes. — O aluno dividiu 24 por 4 e usou apenas o segundo par de lados. O valor correto deve servir para os três pares.
• ❌ B) x = 10; triângulos diferentes. — O aluno pode ter somado ou misturado os números dos lados e concluído que os triângulos são diferentes sem comparar os lados correspondentes.
• ✅ C) x = 6; triângulos semelhantes. — 3x = 18, então x = 6. Assim, os lados do primeiro triângulo são 18, 24 e 30. Os lados correspondentes são iguais, portanto os triângulos são semelhantes.
• ❌ D) x = 5; triângulos semelhantes. — O aluno pode ter diminuído 30 de 25 ou usado uma conta sem verificar os três lados. Com x = 5, os lados do primeiro triângulo não são 18, 24 e 30.
• ❌ E) Não existe x; triângulos diferentes. — O aluno pode pensar que os triângulos precisam ter medidas já iguais antes de calcular x. O valor x = 6 torna os lados correspondentes iguais.

Dica de resolução: calcule o valor de x usando a proporção dos lados dos triângulos.

Questão 4: altura da árvore pela sombra do bastão

Um bastão de 1,50 m projeta sombra de 2,00 m ao meio-dia. Sob as mesmas condições, uma árvore projeta sombra de 6,20 m. Calcule a altura da árvore aplicando semelhança de triângulos.

• ❌ A) 2,5 m — Este valor é irreal, visto que a sombra da árvore é maior que a do bastão, indicando altura superior.
• ❌ B) 3,75 m — Este valor ignora a relação da semelhança entre o bastão e a árvore, aplicando proporção incorretamente.
• ❌ C) 6,0 m — Este valor sobe ao alargar a proporção, mas não respeita a correspondente semelhança dos triângulos.
• ✅ D) 4,65 m — Proporção: 1,50/2,00 = H/6,20 ⇒ H = 1,50·6,20/2,00 = 4,65 m.
• ❌ E) 5,0 m — O cálculo desconsidera a proporção entre a altura do bastão e a sombra projetada.

Dica de resolução: monte a proporção entre altura e sombra do bastão e da árvore.

Questão 5: semelhança pelo critério SAS

Nos triângulos ABC e DEF tem-se AB/DE = 3/2, AC/DF = 3/2 e ?A = ?D = 50°. É possível afirmar que ABC ~ DEF? Explique qual critério é usado.

• ✅ A) Sim. São semelhantes por SAS (lados proporcionais com o ângulo incluído igual). — Duas razões de lados correspondentes iguais e o ângulo entre esses lados congruente garantem semelhança pelo critério SAS.
• ❌ B) Não, pois o ângulo D é maior que A. — Os ângulos D e A são congruentes, portanto a afirmação está incorreta.
• ❌ C) Sim, mas o critério usado é AA. — AA necessita de igualdades de ângulos; o correto aqui é SAS com ângulo incluído.
• ❌ D) Sim, por serem triângulos isósceles, independente dos lados. — A semelhança não depende de isósceles, mas de proporção de lados e ângulos.
• ❌ E) Não, pois somente os lados devem ser proporcionais. — A semelhança requer lados proporcionais e um ângulo incluído congruente.

Dica de resolução: verifique se os lados proporcionais formam o ângulo igual entre eles.

Questão 6: triângulos ABC e DEF pelo critério SSS

Compare os triângulos ABC (lados AB=6, BC=9, AC=12) e DEF (lados DE=4, EF=6, DF=8). Eles são semelhantes? Apresente a razão de semelhança.

• ❌ A) Sim, mas eles são iguais em todos os lados. — Semelhança indica que os triângulos têm lados proporcionais, não iguais.
• ✅ B) Sim. São semelhantes por SSS, razão = 3/2. — Verifica-se 6/4 = 9/6 = 12/8 = 3/2; como as três razões correspondentes são iguais, pelo critério SSS os triângulos são semelhantes com razão 3/2.
• ❌ C) Não, pois os lados do triângulo DEF são maiores. — A semelhança não depende de ser maior ou menor, mas da proporção dos lados.
• ❌ D) Sim, mas a razão de semelhança é 2/3. — A razão de semelhança deve ser verificada. 6/4, 9/6 e 12/8 resultam em 3/2, não 2/3.
• ❌ E) Não, pois os lados em DEF não formam um triângulo. — Os lados de DEF cumprem a desigualdade triangular e formam um triângulo válido.

Dica de resolução: compare as razões entre os lados correspondentes dos triângulos.

Próximos passos para o seu planejamento

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As questões deste post são de apoio ao seu planejamento: revise sempre o conteúdo com o seu olhar de professor antes de aplicar em sala. Qualquer dúvida, o GeraProva está aqui para ajudar.