Atividades sobre Equivalência de expressões algébricas: identificação da regularidade de uma sequência numérica com gabarito — 7º ano (EF07MA15)

Quando recebo o código EF07MA15 no planejamento do bimestre, a primeira sensação é de estranheza: o texto oficial fala em simbologia algébrica, e eu preciso transformar isso em aula, lista e prova que meus alunos de 7º ano consigam resolver sem desespero. Foi assim que comecei a montar esse material para a minha própria turma.

Na prática, o desafio é sair da definição e chegar a situações que façam sentido para quem tem 12 anos. Por isso, organizei este texto com ideias de sala, critérios de avaliação e questões prontas, todas com gabarito comentado.

O que a habilidade EF07MA15 pede, de verdade?

Utilizar a simbologia algébrica para expressar regularidades encontradas em sequências numéricas.

Traduzindo para a linguagem da sala de aula: o aluno precisa olhar uma sequência de números, descobrir o que se repete de um termo para o outro e escrever essa regra com letras e operações. Em vez de dizer "some 3 a cada passo", ele passa a escrever uma expressão em que a letra n representa a posição do termo. Essa passagem da linguagem comum para a simbólica é o coração da habilidade. A variável deixa de ser um mistério e passa a ser um atalho para prever qualquer termo da sequência sem precisar contar um a um, o que conecta diretamente o objeto de conhecimento linguagem algébrica, com variável e incógnita, ao dia a dia do estudante.

Como trabalhar EF07MA15 em sala?

Eu costumo usar quatro ideias que não exigem material caro, apenas lousa, cadernos e um pouco de criatividade:

• Sequências com objetos reais: cadeiras arrumadas em fileiras que crescem, ladrilhos formando quadrados, palitos de sorvete montando figuras. O aluno desenha, conta e só depois tenta escrever a regra.
• Tabela antes da fórmula: peço que preencham uma tabela com a posição n e o valor do termo. Só então pergunto como ir da coluna da esquerda para a da direita.
• Verificação com a própria expressão: depois que o aluno escreve a expressão, ele substitui n por 1, 2 e 3 para conferir se os resultados batem com a sequência. Esse hábito evita muitos erros.
• Debate sobre expressões diferentes: quando duas expressões parecem certas, mostro que ambas podem estar corretas se forem equivalentes, o que abre espaço para discutir simplificação.

Como avaliar essa habilidade?

Uma boa questão sobre EF07MA15 precisa cobrar que o aluno identifique a regularidade, traduza-a em linguagem algébrica e, de preferência, use a expressão para prever um termo distante. Questões que apenas pedem para continuar a sequência por mais dois termos avaliam pouco da habilidade, porque o aluno pode fazer isso por contagem.

Erros comuns que vejo nas provas: confundir o primeiro termo com a diferença entre termos, esquecer que do primeiro ao n-ésimo termo há n menos 1 saltos, e trocar o sinal da constante. Quando a questão oferece alternativas, vale analisar por que cada distrator é tentador. Esse é o motivo pelo qual as questões abaixo trazem explicações para todas as opções, certas e erradas.

Questões prontas de EF07MA15 (com gabarito comentado)

Questão 1: anfiteatro e soma de uma progressão

À sombra de uma alameda, um pequeno anfiteatro a céu aberto foi construído para eventos culturais. Cada fileira de bancos acomoda mais pessoas que a anterior, seguindo um padrão: a primeira fileira tem 12 bancos e cada nova fileira acrescenta 3 bancos. Ao todo, foram instaladas 20 fileiras de bancos nesse espaço.

Analise o texto-base e identifique quantos bancos existem no total no anfiteatro.

• ❌ A) 900 — Erro ao somar termos individuais sem dividir por 2, supondo erroneamente média igual a último termo.
• ❌ B) 800 — Erro ao calcular o último termo (12+19×3=69) e usar média incorreta para o somatório.
• ❌ C) 780 — Erro ao multiplicar o número de fileiras (20) pela primeira fileira (12), sem considerar o aumento gradual.
• ❌ D) 840 — Erro ao usar fórmula de PA com r=4 (em vez de 3) ou confundir número de intervalos.
• ✅ E) 810 — Cálculo correto: soma de PA com n=20, a1=12, r=3: S=20/2×(2×12+19×3)=10×81=810 bancos.

Questão 2: colônias de bactérias e o termo geral

Pesquisadores acompanham o crescimento de colônias de bactérias em placas de cultura. No primeiro dia, foram observadas 5 colônias; no segundo, 8; no terceiro, 11. A cada dia subsequente, o número de colônias aumenta em 3 unidades em relação ao dia anterior. Para registrar essa regularidade, adotou-se a notação a_n para indicar a quantidade de colônias no n-ésimo dia.

Analise o texto-base e construa uma expressão algébrica que represente o número de colônias no n-ésimo dia.

• ❌ A) a_n = 3n + 5 — Essa expressão soma 3n a 5. Para o primeiro dia, resulta em 8, pois usa n em vez de n - 1 para contar os aumentos.
• ✅ B) a_n = 5 + (n - 1) * 3 — No primeiro dia, n vale 1 e a expressão resulta em 5. A cada dia, n aumenta uma unidade e o número de colônias aumenta em 3.
• ❌ C) a_n = 5 + 3 * (n + 1) — Essa expressão conta um aumento a mais: no primeiro dia, considera dois aumentos de 3 e resulta em 11.
• ❌ D) a_n = 5 + 3n - 1 — Essa expressão subtrai 1 depois de calcular 5 + 3n. Para o primeiro dia, resulta em 7, em vez de 5.
• ❌ E) a_n = 5 + n * 3 — Essa expressão soma 3n a 5. Para o primeiro dia, resulta em 8, pois usa n em vez de n - 1 para contar os aumentos.

Questão 3: etiquetas de uma campanha

— Se a campanha durar mais meses, como prever a quantidade de etiquetas sem contá-las uma a uma? — perguntou um voluntário do posto de arrecadação. A coordenadora explicou que cada mês recebe uma nova organização das caixas, mantendo 5 etiquetas destinadas à identificação do posto. Nos cinco primeiros meses, foram usadas, respectivamente, 7, 11, 17, 25 e 35 etiquetas ao todo. Ela observou que os acréscimos entre meses consecutivos são 4, 6, 8 e 10 etiquetas. Para planejar a compra, o grupo decidiu representar por P(n) o total de etiquetas no mês n, considerando o primeiro mês como n = 1.

Analise os dados apresentados e determine a expressão algébrica que permite calcular P(n) para qualquer mês n.

• ❌ A) P(n) = n^2 + 2n + 4 — Erro na variação linear: a expressão produz 12 no segundo mês, mas o texto informa 11 etiquetas.
• ❌ B) P(n) = 2n^2 + 3 — Erro ao dobrar o crescimento quadrático: a expressão produz 5 etiquetas no primeiro mês, contrariando o total inicial informado.
• ❌ C) P(n) = n^2 + n + 4 — Erro no termo constante: desconsidera uma das 5 etiquetas fixas e produz 6 etiquetas no primeiro mês.
• ❌ D) P(n) = 2n^2 - 2n + 7 — Erro de generalização por poucos termos: a expressão coincide nos dois primeiros meses, mas produz 19 no terceiro, e não 17.
• ✅ E) P(n) = n^2 + n + 5 — Correta. Os acréscimos pares sucessivos levam a n^2 + n, e as 5 etiquetas fixas completam P(n) = n^2 + n + 5.

Questão 4: estandes de uma feira

— Se a feira ocupa mais uma fileira, como prever os estandes? — perguntou a organizadora ao revisar a planta do evento. Para manter corredores com a mesma largura, a primeira fileira terá 7 estandes, a segunda terá 11, a terceira terá 15 e a quarta terá 19. O desenho indica que cada nova fileira recebe a mesma quantidade de estandes a mais que a anterior. A organização pretende usar a letra n para indicar a posição da fileira, começando por n igual a 1 na primeira fileira. Assim, poderá calcular a quantidade de estandes antes de montar a planta completa.

Analise a regularidade apresentada e identifique a expressão que representa a quantidade de estandes na fileira de posição n.

• ✅ A) A expressão que representa a quantidade é 4n + 3. — Correta. A quantidade aumenta de 4 em 4, e 4 vezes 1 mais 3 resulta em 7, primeiro termo da sequência.
• ❌ B) A expressão que representa a quantidade é 7n + 4. — Erro de trocar o primeiro termo pela variação. A sequência cresce 4 estandes por fileira, e não 7.
• ❌ C) A expressão que representa a quantidade é 3n + 4. — Erro de inverter os números da expressão. Para n igual a 2, ela resulta em 10, mas a segunda fileira tem 11.
• ❌ D) A expressão que representa a quantidade é 4n + 7. — Erro de usar o primeiro termo como valor adicional. Para n igual a 1, essa expressão resulta em 11, não em 7.
• ❌ E) A expressão que representa a quantidade é n + 3. — Erro de ignorar a variação de 4 estandes entre fileiras. Essa expressão aumenta apenas uma unidade a cada posição.

Questão 5: irrigação e a expressão do n-ésimo dia

Uma comunidade do interior mantém um sistema de irrigação que libera um volume de água crescente a cada dia. No primeiro dia, foram liberados 5 litros; no segundo, 8 litros; no terceiro, 11 litros; e assim por diante. A sequência descreve a quantidade total de litros liberados ao final de cada dia de operação do sistema. Observa-se que a diferença entre dias consecutivos permanece constante. Está em estudo uma forma de expressar esse padrão de crescimento por meio de uma expressão algébrica, em que n representa o número do dia.

Com base no texto-base, expresse em forma algébrica a quantidade de litros liberados no n-ésimo dia de operação do sistema.

• ❌ A) 3n + 5 — Esse raciocínio soma 3 litros para cada um dos n dias aos 5 litros iniciais, sem descontar o aumento que não ocorre antes do primeiro dia.
• ❌ B) 8 + 3*n — Esse raciocínio considera 8 litros como valor inicial e ainda acrescenta 3 litros para cada um dos n dias, sem ajustar a contagem.
• ✅ C) 5 + 3*(n - 1) — O primeiro dia corresponde a 5 litros. Como a quantidade aumenta 3 litros por dia, do primeiro ao n-ésimo dia há n - 1 aumentos. Assim, a expressão é 5 + 3*(n - 1).
• ❌ D) 2 + 3*(n - 1) — Esse raciocínio usa 2 litros como quantidade inicial e acrescenta 3 litros a cada dia seguinte, embora o primeiro dia tenha 5 litros.
• ❌ E) 5 + 2*n — Esse raciocínio mantém 5 litros como valor inicial, mas usa 2 como aumento diário em vez de calcular a diferença de 3 litros entre os dias.

Questão 6: cartões de uma campanha por rodada

— Cada rodada da campanha precisa ter sua quantidade de cartões registrada sem que alguém conte tudo novamente — explicou a coordenadora aos voluntários. No ponto de arrecadação, os cartões coloridos indicam as cestas já separadas para entrega. Nas três primeiras rodadas, foram usados, respectivamente, 7, 11 e 15 cartões. A coordenadora observou que o mesmo aumento se mantém a cada nova rodada e pediu que o painel digital calcule o total automaticamente. Para evitar confusões, a primeira rodada deve ser indicada por n = 1, e T representa o total de cartões na rodada n.

Avalie a regularidade dos registros e determine a expressão que permite ao painel calcular corretamente T em função de n.

• ❌ A) A expressão T = 4n - 3. — Erro de sinal na constante. Para n = 1, essa expressão fornece 1 cartão, e não os 7 cartões registrados.
• ❌ B) A expressão T = n + 6. — Erro ao usar a variação. Ela inicia em 7, mas aumenta apenas 1 cartão por rodada, não 4.
• ✅ C) A expressão T = 4n + 3. — Correta. A cada rodada, o total aumenta 4 cartões e, para n = 1, a expressão resulta em T = 7.
• ❌ D) A expressão T = 4(n + 3). — Erro na posição da constante. Para n = 1, essa expressão resulta em 16 cartões, contrariando o primeiro registro.
• ❌ E) A expressão T = 3n + 4. — Erro ao ajustar somente o primeiro termo. Ela fornece 7 para n = 1, mas fornece 10, e não 11, para n = 2.

Próximos passos para a sua turma

Depois de trabalhar as questões, sugiro voltar às sequências concretas da sala e pedir que os alunos escrevam a expressão antes de qualquer cálculo. Se quiser revisar o conteúdo completo do código, a consulta completa do código EF07MA15 reúne todas as questões alinhadas à habilidade. Para montar uma prova com esse conteúdo em poucos minutos, use o gerador de provas do GeraProva, e se ainda não tem conta, o cadastro grátis leva menos de um minuto.

As questões deste texto servem de apoio ao seu planejamento, mas a decisão final sobre o que avaliar na sua turma é sempre sua. Use, adapte e compartilhe com seus colegas professores.