Atividades de sistema de equações de 1º grau para a 1ª série do Ensino Médio com gabarito

Quando ensino sistemas e equações de 1º grau na 1ª série do Ensino Médio, procuro fazer a turma transitar entre três registros: a situação descrita, as expressões algébricas e a representação no plano cartesiano. Essa passagem é central para que a resolução não vire apenas uma sequência de operações. Em problemas de comparação, por exemplo, cada modelo representa uma quantidade e a solução indica quando elas se igualam.

Também considero importante conferir a resposta no contexto. Se encontramos um número de dias, caixas ou quilômetros, substituí-lo nas duas expressões mostra se os valores realmente coincidem. A seleção a seguir reúne oito questões validadas, com situações de funções lineares e outras ideias de representação algébrica e gráfica. Algumas ampliam o repertório para além de sistemas de 1º grau; isso permite conversar com a turma sobre como reconhecer o tipo de relação antes de escolher um procedimento.

O que o aluno de 1ª série precisa saber sobre sistema de equações polinomiais de 1º grau: resolução algébrica e representação no plano cartesiano

Para resolver um sistema de equações polinomiais de 1º grau, o estudante precisa compreender que cada equação relaciona variáveis e pode ser representada por uma reta no plano cartesiano. A solução do sistema é o par ordenado que satisfaz simultaneamente as duas equações; no gráfico, quando há uma única solução, corresponde ao ponto de interseção das retas. Na resolução algébrica, é possível usar substituição ou adição para eliminar uma variável, encontrar a outra e, em seguida, determinar o valor restante. Também é necessário interpretar os coeficientes: em modelos do tipo y = ax + b, a indica a variação e b o valor inicial, quando a variável independente é zero. Ao trabalhar com situações concretas, eu peço que a turma nomeie as variáveis, escreva uma expressão para cada quantidade e só então iguale os modelos ou organize o sistema. Por fim, a verificação por substituição e a leitura das coordenadas ajudam a identificar erros de cálculo ou de interpretação.

O que ele precisa saber antes

As questões pressupõem conhecimentos que vale a pena retomar de forma breve: leitura de coordenadas no plano cartesiano, interpretação dos eixos e identificação do valor de uma função quando a variável independente é zero. Para comparar modelos lineares, a turma precisa reconhecer taxa de variação e valor inicial, determinar uma expressão a partir de dados e resolver equações do 1º grau. Também aparecem pré-requisitos específicos em algumas questões: área do quadrado e função básica na atividade das camadas de lona; leitura de uma função quadrática e de suas raízes nas questões sobre lucro. Esse último conteúdo não deve ser confundido com sistema de primeiro grau: pode ser usado como ampliação ou separado da sequência principal.

Uma revisão curta pode partir de dois pontos de uma reta. Peço que os estudantes calculem quanto a variável dependente aumenta quando a independente varia e observem o valor inicial. Em seguida, resolvemos uma equação simples e conferimos substituindo a resposta. Para o plano cartesiano, vale lembrar que o primeiro número do par ordenado corresponde ao eixo horizontal e o segundo ao vertical. Essa distinção é especialmente útil para evitar a inversão das coordenadas da interseção com o eixo y.

Onde os alunos mais erram

Nas atividades de funções lineares, um erro recorrente é misturar a taxa de variação com o valor inicial. No modelo do plano telefônico, por exemplo, R$ 0,50 é o custo por minuto, enquanto R$ 20 é a mensalidade fixa. Para localizar a interseção com o eixo y, é preciso tomar m = 0; o ponto é (0,20), não (20,0). Outro tropeço é comparar expressões sem construir corretamente a lei de cada situação. No problema das transportadoras, usar um valor de custo observado em uma distância diferente como se fosse custo inicial altera a equação e, por consequência, o ponto de igualdade.

Também observo confusões entre escolher um dado do enunciado e responder ao que foi perguntado. Dividir a taxa fixa pela taxa de um único frete, por exemplo, ignora o custo por caixa do outro modelo. A equação correta compara os dois preços. Já nas questões de parábola, lucro e área quadrada, alguns distratores revelam problemas de leitura: confundir raízes com extremos do intervalo, trocar sinais na forma de vértice ou tratar três camadas como uma soma fixa em vez de multiplicar a área de cada camada. São conteúdos diferentes dos sistemas lineares, mas ajudam a discutir uma estratégia geral: identificar o modelo, interpretar seus parâmetros e conferir se a resposta atende ao enunciado.

Como trabalhar em sala

• Parta dos eixos e das coordenadas: apresente uma função afim simples e peça à turma que identifique o que cada eixo representa. Em seguida, calculem o ponto em que a reta cruza o eixo y, substituindo a variável independente por zero.
• Compare duas situações com uma tabela: use, por exemplo, dois modelos de custo ou economia. A turma pode completar valores para alguns números de unidades e observar onde as quantidades se igualam. Depois, formalize a igualdade das expressões e resolva algebricamente.
• Mostre os dois métodos de leitura: resolva um problema por equação e represente as retas em um plano cartesiano. Discuta que a interseção gráfica deve corresponder ao par encontrado nos cálculos. Um esboço feito à mão é suficiente para examinar a relação.
• Peça uma verificação contextual: depois de obter a solução, substitua o valor nas duas expressões e compare os resultados. Também convide os estudantes a escrever uma frase com unidade: “os custos se igualam a 9 km” ou “os preços coincidem para 3 caixas”.
• Separe modelos de 1º e 2º grau: use as questões de lucro quadrático e de área para que a turma reconheça quando há x². Essa comparação evita tratar toda relação algébrica como reta e ajuda a delimitar o que pertence à sequência de sistemas lineares.

Questões prontas de sistema de equações polinomiais de 1º grau: resolução algébrica e representação no plano cartesiano para a 1ª série do Ensino Médio (com gabarito comentado)

As questões abaixo estão transcritas com suas alternativas e comentários. As quatro primeiras e as de comparação de custos oferecem oportunidades diretas para discutir funções, variação ou igualdade entre modelos. As questões de função quadrática e área são mantidas por fazerem parte do conjunto validado; sugiro aplicá-las como extensão ou diagnóstico de conteúdos relacionados, deixando explícito que não são sistemas de primeiro grau.

Questão 1 — Interseção com o eixo y

Boa tarde! Aqui é a Central de Planos Telefônicos. Nosso plano CobraFácil tem uma mensalidade fixa de R$ 20,00 e cobra R$ 0,50 por minuto de ligação. O custo total é C(m) = 0,50m + 20, em que m representa os minutos e C(m), o custo em reais. No plano cartesiano, m está no eixo horizontal e C(m), no vertical. Quais são as coordenadas do ponto de interseção da reta com o eixo y?

• ❌ A) (20,0). O custo quando m = 0 é 20, mas as coordenadas foram invertidas: minutos vêm primeiro e custo, depois.
• ❌ B) (1,20). Esse par indica um minuto de uso; a interseção com o eixo y exige m = 0.
• ✅ C) (0,20). No eixo y, a coordenada horizontal é zero. C(0) = 0,50 × 0 + 20 = 20; logo, o ponto é (0,20).
• ❌ D) (0; 0,5). O valor 0,50 é o custo por minuto, não o custo mensal quando m = 0.
• ❌ E) (0; 0). Essa resposta desconsidera a mensalidade fixa de R$ 20,00 e considera somente a parte variável.

Gabarito comentado: a interseção com o eixo y é obtida calculando o valor da função quando a variável horizontal vale zero. É uma boa oportunidade para distinguir taxa de variação e valor inicial, além de reforçar a ordem das coordenadas.

Questão 2 — Reta paralela ao eixo x

Dados ilustrativos: três fundos apresentam rendimento diário R(t), em reais, após t dias: Fundo A, R(t) = 0,2t + 100; Fundo B, R(t) = 100; Fundo C, R(t) = −0,1t + 100. Cada expressão é representada por uma reta no plano cartesiano. Qual aplicação corresponde a uma reta paralela ao eixo x?

• ❌ A) R(t) = 100 − t/10. É igual a −0,1t + 100 e tem coeficiente angular diferente de zero.
• ❌ B) R(t) = 5t + 100. A inclinação é positiva, portanto a reta não é paralela ao eixo x.
• ❌ C) R(t) = −0,1t + 100. A inclinação é negativa e diferente de zero.
• ❌ D) R(t) = 0,2t + 100. A inclinação é positiva e diferente de zero.
• ✅ E) R(t) = 100. É uma função constante, cujo coeficiente angular é zero; sua representação é horizontal e paralela ao eixo x.

Gabarito comentado: a questão permite revisar o significado do coeficiente angular. Para relacioná-la ao estudo de sistemas, a turma pode observar que uma reta horizontal ainda representa uma equação linear, embora aqui se peça identificar apenas uma reta, não resolver um sistema.

Questão 3 — Função lucro na forma de vértice

Uma pequena gráfica lançou um serviço de impressão. O gráfico do lucro L(x), em centenas de reais, em função de x centenas de pedidos, é uma parábola com raízes em x = 0 e x = 20 e vértice em (10,200). O lucro é zero sem vendas ou com 2 000 pedidos e atinge R$ 20 000 com 1 000 pedidos. Qual é a representação algébrica de L(x) na forma de vértice?

• ❌ A) −2(x + 10)² + 200. O sinal dentro do parêntese desloca o vértice para x = −10, não para x = 10.
• ❌ B) −2x² + 40x. É equivalente após desenvolver a expressão correta, mas não está na forma de vértice solicitada.
• ❌ C) −2(x − 10)² − 200. O valor vertical do vértice seria −200, em desacordo com o ponto (10,200).
• ✅ D) −2(x − 10)² + 200. Na forma L(x) = a(x − h)² + k, o vértice é (h,k). Usando L(0) = 0, obtém-se a = −2.
• ❌ E) 2(x − 10)² + 200. O coeficiente positivo abre a parábola para cima e não corresponde às raízes e ao máximo informados.

Gabarito comentado: esta é uma questão de função quadrática, não de sistema de primeiro grau. Pode funcionar como extensão para comparar uma parábola com as retas estudadas, destacando que o termo ao quadrado muda a representação gráfica.

Questão 4 — Igualdade entre economias de água

Um condomínio acompanha a economia acumulada de água de dois sistemas de reuso. O sistema A economiza 0 litros no dia 0 e 70 litros no dia 10, com crescimento uniforme. O sistema B é modelado por E_B(x) = 3x + 24. Após quantos dias os sistemas economizam a mesma quantidade?

• ❌ A) 8 dias. Esse resultado vem de dividir 24 pela taxa de 3 litros por dia do sistema B, sem considerar o crescimento do sistema A.
• ❌ B) 5 dias. É metade dos 10 dias apresentados, mas não resulta da comparação entre os modelos.
• ❌ C) 12 dias. Divide-se a diferença inicial por 2, embora 2 não seja a diferença entre as taxas corretas.
• ❌ D) 4 dias. O cálculo supõe incorretamente que o sistema B cresce 1 litro por dia.
• ✅ E) 6 dias. O sistema A cresce 70 ÷ 10 = 7 litros por dia, então E_A(x) = 7x. Igualando: 7x = 3x + 24; assim, 4x = 24 e x = 6.

Gabarito comentado: o ponto de encontro das duas retas representa o instante em que as economias são iguais. A leitura do gráfico fornece a taxa do sistema A; a expressão fornece a do sistema B e seu valor inicial. Conferindo em x = 6, ambos os modelos dão 42 litros.

Questão 5 — Zeros de uma função de lucro

Durante uma festa junina, uma barraca estimou seu lucro diário P, em reais, conforme o número x de combos vendidos: P(x) = −2x² + 10x − 8, para x entre 0 e 5. P(x) = 0 indica que a receita cobre os custos, sem lucro nem prejuízo. Em quais quantidades de combos o lucro é zero?

• ❌ A) 4 e 5 combos. Embora 4 seja um zero, P(5) = −8; portanto, 5 não é raiz.
• ❌ B) 2 e 3 combos. Esses valores vêm de fatorar outra expressão, −x² + 5x − 6, que não é o modelo dado.
• ❌ C) 1 e 3 combos. O segundo valor não satisfaz a expressão; as raízes corretas somam 5 e são 1 e 4.
• ✅ D) 1 e 4 combos. A fatoração é P(x) = −2(x − 1)(x − 4), que zera para x = 1 ou x = 4.
• ❌ E) 0 e 5 combos. São os extremos do intervalo, mas P(0) = −8 e P(5) = −8, não zero.

Gabarito comentado: trata-se de uma função quadrática. A leitura dos zeros no gráfico corresponde aos pontos em que a curva cruza o eixo horizontal; não se deve confundir os extremos do intervalo de validade com as raízes.

Questão 6 — Igualdade entre custos de transportadoras

Uma distribuidora compara duas transportadoras. O gráfico da transportadora A informa custos de R$ 14, R$ 24, R$ 34, R$ 44 e R$ 54 para rotas de 0, 2, 4, 6 e 8 km, respectivamente. Entre esses valores, o custo varia linearmente. A transportadora B cobra C_B = 2x + 41, em reais, para x quilômetros. Em que distância os custos se igualam?

• ❌ A) 7 km. Esse resultado aparece ao usar R$ 20 como custo inicial de A, embora o gráfico indique R$ 14 em x = 0.
• ✅ B) 9 km. O custo de A aumenta R$ 10 a cada 2 km, ou R$ 5 por quilômetro. Logo, C_A = 5x + 14. Igualando: 5x + 14 = 2x + 41, então 3x = 27 e x = 9.
• ❌ C) 8 km. Trocar o termo constante 41 do modelo B por 38 altera indevidamente a equação.
• ❌ D) 10 km. O valor de R$ 44 corresponde a uma rota de 6 km, não ao custo inicial de A.
• ❌ E) 11 km. A igualdade conduz a 3x = 27; dividir 27 por 3 resulta em 9, não 11.

Gabarito comentado: primeiro determinamos a função de A com base no custo inicial e na variação por quilômetro. Depois, igualamos os custos. Essa sequência ajuda a evitar comparar valores isolados do gráfico sem considerar a distância correspondente.

Questão 7 — Área total de lona

Uma cooperativa utiliza três camadas quadradas idênticas de lona para cada canteiro. O lado de cada camada coincide com o lado x do canteiro. Foram registrados os pares: lado 2 m, área total 12 m²; lado 3 m, 27 m²; lado 4 m, 48 m²; lado 5 m, 75 m². Qual expressão representa a área total e qual área será necessária para um canteiro de lado 6 m?

• ❌ A) A(x) = 3x; para 6 m, 18 m². A área de um quadrado depende de x², não apenas de x.
• ❌ B) A(x) = x² + 3; para 6 m, 39 m². Soma-se 3 em vez de multiplicar a área de cada camada pelo número de camadas.
• ❌ C) A(x) = 6x²; para 6 m, 216 m². O lado 6 m não representa seis camadas; são três.
• ✅ D) A(x) = 3x²; para 6 m, 108 m². Uma camada tem área x²; para três camadas, A(x) = 3x². Assim, A(6) = 3 × 36 = 108 m².
• ❌ E) A(x) = (x + 1)²; para 6 m, 49 m². O modelo acrescenta 1 m ao lado, embora todas as camadas tenham lado x.

Gabarito comentado: esta atividade mobiliza área do quadrado e função quadrática, não um sistema de primeiro grau. É útil para que os estudantes examinem os dados e reconheçam que a área cresce com x²; pode ser aplicada como ampliação ou em uma aula de revisão de funções.

Questão 8 — Comparação de preços de frete

Uma cooperativa organiza transporte de caixas. O frete A cobra taxa fixa de R$ 18,00 mais R$ 3,00 por caixa. O frete B não cobra taxa fixa e custa R$ 9,00 por caixa. Para quantas caixas os dois fretes apresentam o mesmo preço?

• ❌ A) 12 caixas. O resultado vem de uma manipulação incorreta; a taxa fixa deve ser comparada à diferença entre os valores cobrados por caixa.
• ✅ B) 3 caixas. Os preços são 18 + 3x e 9x. Igualando: 18 + 3x = 9x; portanto, 18 = 6x e x = 3.
• ❌ C) 36 caixas. Multiplicar a taxa fixa pela diferença de preço por caixa não resolve a equação; é preciso dividir 18 por 6.
• ❌ D) 4 caixas. A equação é 18 = 6x, e 18 ÷ 6 = 3, não 4.
• ❌ E) 6 caixas. Esse valor surge de resolver 18 = 3x e ignorar que o frete B também cobra R$ 9,00 por caixa.

Gabarito comentado: para x = 3, o frete A custa 18 + 3 × 3 = R$ 27,00 e o B custa 9 × 3 = R$ 27,00. Essa conferência torna visível por que a solução da igualdade representa a mesma quantidade cobrada pelos dois modelos.

Próximos passos

Depois de aplicar as questões, eu separaria os resultados por habilidade: leitura de gráfico e interseção, construção de expressão e resolução de igualdade. As atividades também podem servir como diagnóstico para decidir se a turma precisa retomar coordenadas, taxa de variação ou equações do 1º grau. Para ampliar o trabalho, consulte as questões da habilidade EM13MAT401, as questões da habilidade EM13MAT402 e as questões da habilidade EM13MAT302. Você também pode preparar uma prova selecionando conteúdos e níveis no gerador de provas do GeraProva ou fazer o cadastro grátis para conhecer a plataforma.

Use as questões como ponto de partida e ajuste a sequência ao que sua turma já estudou. O GeraProva pode ajudar a montar avaliações; revise sempre enunciados, alternativas e alinhamento ao seu planejamento antes de aplicar.