Atividades de retas paralelas cortadas por transversais: proporcionalidade para o 9º ano com gabarito

Quando trabalho retas paralelas cortadas por transversais no 9º ano, procuro fazer a turma enxergar primeiro quais segmentos correspondem uns aos outros. É comum que uma conta pareça simples e, ainda assim, a proporção seja montada com lados em posições diferentes. Por isso, gosto de alternar a leitura de diagramas, a justificativa geométrica e a verificação do resultado.

As atividades abaixo percorrem situações com triângulos semelhantes, segmentos proporcionais e aplicações com sombras. Elas ajudam a observar se o estudante reconhece a relação entre as medidas ou se tenta resolver por soma, subtração ou comparação direta. Incluí o gabarito comentado para facilitar a correção coletiva e a retomada dos raciocínios.

O que o aluno de 9º ano precisa saber sobre retas paralelas cortadas por transversais: teoremas de proporcionalidade e verificações experimentais

O estudante precisa reconhecer que, quando retas paralelas cortam transversais, os segmentos correspondentes mantêm uma relação de proporcionalidade. Em triângulos, quando um segmento interno é paralelo a um dos lados, o triângulo menor e o triângulo original são semelhantes: seus ângulos correspondentes são iguais e seus lados correspondentes aparecem na mesma razão. Assim, se D está em AB, E está em AC e DE é paralelo a BC, podemos escrever AD/AB = AE/AC = DE/BC, escolhendo as razões na mesma ordem. O Teorema de Tales também permite comparar os trechos correspondentes em duas transversais que partem de um vértice. Para resolver, é essencial identificar os pares correspondentes antes de substituir os valores. A verificação experimental ou por estimativa complementa a demonstração: um segmento interno deve caber no lado maior correspondente, e a resposta precisa ser compatível com a figura e com as unidades.

O que ele precisa saber antes

As questões pressupõem familiaridade com razões e proporções, proporcionalidade entre segmentos e semelhança de triângulos. Também é útil que a turma saiba identificar lados correspondentes em figuras semelhantes e resolver uma proporção simples, inclusive por multiplicação cruzada. Na primeira questão, aparece ainda o Teorema de Pitágoras como informação para estabelecer o comprimento BC; o valor já é fornecido no enunciado, mas vale retomar quando necessário. Antes da atividade, posso propor uma revisão breve: marcar com a mesma cor os lados que ocupam posições correspondentes e escrever as razões antes de efetuar qualquer cálculo.

Onde os alunos mais erram

O erro central é montar uma proporção com segmentos que não correspondem ou inverter uma razão no meio da resolução. Isso pode produzir uma medida incompatível com a figura, ainda que as operações aritméticas estejam corretas. Em triângulos com uma paralela ao lado, por exemplo, é preciso manter a ordem entre o lado do triângulo menor e o correspondente do maior: AD/AB deve ser comparado a AE/AC ou DE/BC.

Outro desvio que aparece nas questões é tratar a relação como aditiva: somar ou subtrair trechos de transversais, em vez de comparar suas razões. A questão sobre as hastes e as sombras permite observar uma confusão parecida: alturas e sombras correspondentes são proporcionais, não se obtêm por diferença. Também merece atenção o uso da parte DB como se fosse o lado inteiro AB. Quando os segmentos são AD = x e DB = 2x, o total AB é 3x; portanto, AD corresponde a um terço do total, e não à metade. Peço que os alunos confiram se o resultado respeita essa proporção e se faz sentido em relação às medidas dadas.

Como trabalhar em sala

• Marcação de correspondências: apresente uma figura no quadro e peça que a turma destaque, com cores ou símbolos, os lados correspondentes antes de montar a proporção. Isso torna visível a ordem das razões.
• Estimativa antes da conta: em exemplos com triângulos encaixados, converse sobre se a medida desconhecida deve ser maior ou menor que o lado correspondente do triângulo original. A estimativa não substitui o cálculo, mas ajuda a revisar resultados.
• Verificação com desenho: desenhe duas paralelas e duas transversais no caderno ou no quadro, indicando medidas simples. Os estudantes podem medir os trechos com régua e comparar razões; como o desenho não precisa estar em escala perfeita, deixe claro que a medição serve para explorar, e a demonstração depende da proporcionalidade.
• Comparação de estratégias: peça que dois alunos mostrem como organizaram a proporção. A turma pode conferir se os pares escolhidos ocupam posições correspondentes, em vez de avaliar apenas o resultado numérico.
• Correção pelo erro: use distratores como 12 cm ou 6,67 m para perguntar qual relação poderia ter produzido aquele valor. Isso ajuda a identificar inversões de razão, comparações diretas e operações aditivas sem transformar a correção em mera marcação de alternativa.

Questões prontas de retas paralelas cortadas por transversais: teoremas de proporcionalidade e verificações experimentais para o 9º ano (com gabarito comentado)

1. No triângulo ABC com ângulo reto em A, AB = 15 m, AC = 20 m (logo BC = 25 m). Seja D ponto em AB com AD = 9 m e E ponto em AC tal que DE é paralelo a BC. Calcule o comprimento DE.

• ❌ A) DE = 5 m. Subtrair AB de AC não determina o comprimento de DE; é preciso usar a proporção entre os lados correspondentes.
• ❌ B) DE = 10 m. Subtrair AB de BC não aplica a semelhança. Essa alternativa é um bom ponto para retomar a identificação das correspondências.
• ✅ C) DE = 15 m. Como DE é paralelo a BC, os triângulos ADE e ABC são semelhantes. Assim, DE/BC = AD/AB = 9/15 e DE = 25 × 9/15 = 15 m.
• ❌ D) DE = 20 m. Esse é o comprimento de AC, não o de DE. A alternativa confunde segmentos distintos.
• ❌ E) DE = 25 m. Esse é o comprimento de BC; ignora que DE corresponde ao lado do triângulo menor e deve ser reduzido pela razão 9/15.

2. No triângulo ABC, a reta DE é paralela a BC, com D em AB e E em AC. Sabendo AB = 20 cm, AC = 15 cm, BC = 24 cm e AD = 8 cm, determine o comprimento de DE.

• ❌ A) DE = 12 cm. Não corresponde à razão de semelhança determinada por AD/AB, que é 8/20.
• ❌ B) DE = 6 cm. Não é o resultado da proporção entre AD e AB e entre DE e BC. A comparação intuitiva, sem manter os lados correspondentes, não basta.
• ✅ C) DE = 9,6 cm. Pela semelhança, AD/AB = DE/BC; portanto, DE = 24 × 8/20 = 9,6 cm.
• ❌ D) DE = 10 cm. Esse valor não satisfaz a proporção correta entre os lados correspondentes.
• ❌ E) DE = 8 cm. Reutiliza o valor de AD sem considerar que DE corresponde a BC, e não a AB.

3. No triângulo ABC, o ponto D em AB divide AB em AD = x e DB = 2x. A reta DE, com E em AC, é paralela a BC. Se AC = 18 cm, determine AE.

• ✅ A) AE = 6 cm. Como AB = x + 2x = 3x, AD é um terço de AB. Pela semelhança, AE também é um terço de AC: 18/3 = 6 cm.
• ❌ B) AE = 9 cm. Esse resultado vem de dividir AC ao meio, mas AD não é metade de AB: é um terço.
• ❌ C) AE = 3 cm. O divisor 6 não representa a razão entre AD e AB; a razão correta é 1/3.
• ❌ D) AE = 2 cm. O divisor 9 não corresponde à divisão de AB indicada no enunciado.
• ❌ E) AE = 12 cm. Esse valor aplica a fração DB/AB = 2/3 a AC. Para encontrar AE, usamos AD/AB = 1/3.

4. No triângulo ABC, o segmento DE é paralelo a BC, com D em AB e E em AC. Sabe-se AB = 10, AC = 8 e AD = 6. Determine AE.

• ❌ A) AE = 6,0 unidades. Igualar AE a AD ignora a relação entre os lados correspondentes.
• ❌ B) AE = 2,5 unidades. Esse valor não resulta da razão AD/AB aplicada a AC.
• ❌ C) AE = 5,0 unidades. A medida não satisfaz a proporção 6/10 = AE/8.
• ❌ D) AE = 8,0 unidades. Esse é o comprimento de AC; AE é apenas uma parte correspondente do lado no triângulo menor.
• ✅ E) AE = 4,8 unidades. Pela semelhança, AD/AB = AE/AC; então 6/10 = AE/8 e AE = 8 × 6/10 = 4,8.

5. No triângulo ABC, a reta DE é paralela a BC, com D em AB e E em AC. Sabendo AB = 25 cm, AC = 40 cm e AD = 15 cm, determine o comprimento AE.

• ❌ A) AE = 20 cm. Não é o resultado da razão 15/25 aplicada ao lado AC.
• ❌ B) AE = 10 cm. Esse valor não mantém a proporção entre AD e AB e entre AE e AC.
• ✅ C) AE = 24 cm. Como os triângulos são semelhantes, AE/AC = AD/AB. Logo, AE = 40 × 15/25 = 24 cm.
• ❌ D) AE = 30 cm. Embora seja menor que AC, não corresponde à razão de semelhança dada pelos segmentos de AB.
• ❌ E) AE = 15 cm. Repetir o valor de AD não atende à proporção entre os lados correspondentes.

6. Em uma planta baixa, duas retas paralelas são cortadas por duas transversais que partem de um mesmo vértice. Em uma transversal, os trechos entre o vértice e as paralelas medem 3 cm e 9 cm. Na outra, os trechos correspondentes medem 5 cm e y. Qual relação deve ser usada para determinar y?

• ✅ A) Igualar as razões entre os segmentos correspondentes nas duas transversais, pois eles formam partes proporcionais. É a aplicação do Teorema de Tales: primeiro identificamos quais trechos ocupam posições correspondentes e então comparamos suas razões.
• ❌ B) Somar os trechos de cada transversal e igualar os totais. A configuração não afirma que os comprimentos totais são iguais; a relação relevante é de proporcionalidade.
• ❌ C) Usar a diferença entre os trechos, porque as distâncias entre as paralelas são iguais. A distância entre paralelas não transforma os segmentos das transversais em diferenças constantes.
• ❌ D) Comparar apenas os trechos menores. Isso deixa de lado o outro par correspondente e não permite estabelecer a relação completa para y.
• ❌ E) Igualar os produtos dos trechos de cada transversal. A figura exige comparar razões de segmentos correspondentes; a igualdade de produtos apresentada não é a regra geométrica descrita.

7. Em terreno plano, duas hastes verticais paralelas H1 e H2 têm alturas 2,5 m e 4 m. No mesmo instante, as sombras no solo medem, respectivamente, 1,5 m e x. Admitindo raios solares paralelos, determine x usando relações de proporcionalidade entre segmentos.

• ❌ A) x = 2,5 − 1,5 = 1 m. A subtração não relaciona as alturas com as sombras correspondentes.
• ❌ B) x = 2,5/4 + 1,5 = 1,625 m. Essa combinação de divisão e soma não representa a proporção entre os lados dos triângulos semelhantes.
• ❌ C) x = 4·2,5/1,5 = 6,67 m. A razão foi organizada de maneira inadequada: a altura de 4 m corresponde à sombra x, e a de 2,5 m à sombra de 1,5 m.
• ✅ D) x = 4·1,5/2,5 = 2,4 m. Os raios paralelos formam triângulos semelhantes; x/1,5 = 4/2,5. Assim, x = 4 × 1,5/2,5 = 2,4 m.
• ❌ E) x = 1,5 − 4/2,5 = −2,5 m. Além de não aplicar a proporção, o resultado negativo não pode representar o comprimento de uma sombra.

8. Um poste projeta sombra de 6,0 m ao meio-dia. Uma régua de 1,2 m é colocada verticalmente e projeta sombra de 0,9 m. Usando retas paralelas (raios solares), calcule a altura do poste.

• ❌ A) A altura do poste é 6,0 m, igual à sombra. A sombra não é a altura; é preciso relacionar as medidas dos dois triângulos semelhantes.
• ❌ B) O poste mede 5,0 m, pois a sombra é sempre menor que a altura. Não há uma regra geral desse tipo; o que determina a resposta é a proporção entre altura e sombra.
• ✅ C) 8,0 m. Pela semelhança, h/6 = 1,2/0,9. Portanto, h = 6 × 1,2/0,9 = 8 m.
• ❌ D) A altura é 7,2 m, calculada pela média das sombras. A média não expressa a relação entre os lados correspondentes dos triângulos.
• ❌ E) O poste mede 9,0 m. Esse resultado não decorre da proporção correta entre as alturas e as sombras.

Fechamento: da proporção à verificação

Ao corrigir, vale pedir que a turma explique por que cada medida corresponde à outra, não apenas que apresente a conta. Para ampliar a prática, consulte as questões da habilidade EF09MA14, conheça o gerador de provas do GeraProva ou faça seu cadastro grátis para organizar atividades conforme o que deseja avaliar.

Use estas questões como ponto de partida e adapte a seleção ao ritmo da sua turma. O GeraProva pode ajudar a preparar novas atividades e provas para sua aula.