Atividades de problemas com grandezas diretamente e inversamente proporcionais para o 7º ano com gabarito

Quando ensino problemas envolvendo grandezas diretamente proporcionais e grandezas inversamente proporcionais no 7º ano, procuro começar por situações em que a relação entre as quantidades fique visível: preço e quantidade, litros e distância, ou ingredientes e número de porções. Na prática, percebo que apresentar apenas uma regra pronta nem sempre ajuda o estudante a decidir qual operação faz sentido. Por isso, gosto de pedir que expliquem primeiro o que acontece com uma grandeza quando a outra aumenta.

As questões desta seleção trabalham relações diretas, com contextos cotidianos e valores que permitem discutir taxa por unidade, razão, cálculo e escrita de uma relação entre variáveis. Elas também ajudam a observar erros como somar quando é preciso multiplicar, manter a quantidade inicial ou inverter uma razão. Embora o assunto inclua relações inversamente proporcionais, as oito questões apresentadas aqui se concentram em proporcionalidade direta. Posso usar essa distinção para reforçar que reconhecer o tipo de relação vem antes de escolher uma conta.

O que o aluno de 7º ano precisa saber sobre problemas envolvendo grandezas diretamente proporcionais e grandezas inversamente proporcionais

No 7º ano, o aluno precisa identificar quais grandezas aparecem em um problema, compreender como elas se relacionam e verificar se a situação é de proporcionalidade direta ou inversa. Na relação direta trabalhada nas questões abaixo, quando uma grandeza é multiplicada por um fator, a outra também é multiplicada pelo mesmo fator: dobrar a quantidade de pessoas em uma receita, por exemplo, dobra os ingredientes, se a receita mantiver o mesmo padrão. Também é importante encontrar o valor por unidade, interpretar uma taxa como 12 quilômetros por litro e representar relações simples por expressões, como d = 12g ou y = 2x. Já na relação inversa, o aumento de uma grandeza corresponde à diminuição da outra, mantendo-se o produto constante em situações apropriadas. O estudante deve justificar a escolha da operação, conferir unidades e avaliar se o resultado combina com o contexto, em vez de aplicar mecanicamente uma regra de três.

O que ele precisa saber antes

Para resolver esta seleção, os pré-requisitos são operações com números naturais, em especial multiplicação e divisão, e compreensão de relações entre grandezas. Algumas questões também pedem leitura de uma taxa por unidade, como quilômetros por litro ou preço por lápis, cálculo de razões e identificação de variáveis. Na questão que apresenta P(n) = 2n, é necessário interpretar uma expressão e resolver uma equação simples, 2n = 16. Nas questões com tinta e camisetas, calcular quanto corresponde a uma unidade facilita escalar a quantidade. Vale conferir se a turma distingue o valor unitário da quantidade total: saber que cada lápis custa dois reais não responde sozinho quantos lápis cabem em um orçamento de 16 reais; é preciso dividir o total pelo preço de cada unidade.

Onde os alunos mais erram

Um erro recorrente nas questões é escolher uma operação sem interpretar o que cada número representa. No problema do carro, por exemplo, dividir 45 por 12 não corresponde à situação: 12 quilômetros é a distância por litro, e 45 é o número de litros disponíveis, então a distância total vem de uma multiplicação. Em receitas e pintura, pode acontecer de manter a quantidade inicial mesmo quando o número de pessoas ou a área aumenta. Também aparece a associação direta entre números do enunciado: oito pessoas não significam oito xícaras de farinha.

Outro ponto de atenção é trocar a taxa ou inverter a razão. No problema dos lápis, multiplicar 16 por 2 em vez de dividir confunde o preço unitário com o total disponível. Na relação entre frutas, a razão 2 para 3 se refere aos preços unitários informados, não a uma diferença a somar. Já em d = 12g, 12 representa quilômetros por litro; usar 10 como fator confunde os dez litros do exemplo com a taxa. Peço que indiquem unidade e significado antes de calcular: essa pausa costuma tornar o raciocínio mais claro e permite revisar a operação.

Como trabalhar em sala

1. Comece pela previsão. Antes de calcular, proponha que a turma diga se o resultado deve aumentar ou diminuir e por quê. Em uma receita ampliada para mais pessoas, a quantidade de farinha aumenta; essa previsão ajuda a perceber respostas que mantêm o valor inicial.
2. Organize uma tabela de duas colunas. Registre, por exemplo, litros e quilômetros ou camisetas e mililitros. Inclua as unidades e compare os pares. A tabela torna visível o fator de ampliação e ajuda a conferir se ele foi aplicado às duas grandezas.
3. Peça o valor por unidade. Em preços, consumo e cobertura de tinta, primeiro calcule quanto corresponde a uma unidade. Depois, multiplique pelo total necessário. Compare esse método com a ampliação por razão para mostrar que são caminhos diferentes para a mesma relação direta.
4. Discuta os distratores sem constrangimento. Peça que os estudantes expliquem qual ideia pode ter levado a cada alternativa incorreta. Manter a quantidade, somar um acréscimo ou inverter uma razão são oportunidades para retomar o sentido das operações, não apenas para marcar um erro.
5. Contraste relações diretas e inversas. Use exemplos simples e verifique as condições de cada situação. Se uma grandeza cresce junto com a outra na mesma proporção, a relação é direta; se uma aumenta enquanto a outra diminui de maneira correspondente, pode ser inversa. Evite classificar uma situação apenas porque os números parecem variar em sentidos opostos: é preciso analisar a relação apresentada.

Questões prontas de problemas envolvendo grandezas diretamente proporcionais e grandezas inversamente proporcionais para o 7º ano (com gabarito comentado)

As questões abaixo podem ser aplicadas como atividade, tarefa ou avaliação formativa. Mantive todas as alternativas e acrescentei comentários para apoiar a correção e a conversa sobre os caminhos de resolução.

1. Um carro consome 12 km/l. Se você tem um tanque de 45 litros, qual a distância máxima que pode percorrer?

• ✅ A) 540 km. Correta: cada litro permite percorrer 12 km; então, 12 × 45 = 540 km.
• ❌ B) 480 km. Incorreta: é menor que o resultado obtido ao multiplicar a taxa pela quantidade de litros; não corresponde aos dados.
• ❌ C) 600 km. Incorreta: excede a distância indicada pelo consumo de 12 km por litro em 45 litros.
• ❌ D) 500 km. Incorreta: não resulta da multiplicação 12 × 45; é preciso calcular a relação apresentada.
• ❌ E) 550 km. Incorreta: também não corresponde ao produto da taxa pelo total de litros.

Gabarito comentado: é uma relação direta: mantendo o consumo, mais litros permitem percorrer proporcionalmente mais quilômetros. O distrator B pode revelar que o estudante escolheu uma operação ou um cálculo sem conferir o significado dos valores. Pergunte: “Quantos quilômetros correspondem a cada litro?” e depois “Quantas vezes usamos essa quantidade?”.

2. Uma receita para 4 pessoas usa 2 xícaras de farinha. A turma quer preparar a mesma receita para 8 pessoas. Quantas xícaras de farinha serão necessárias?

• ❌ A) 2 xícaras. Incorreta: mantém o ingrediente inicial, embora o número de pessoas tenha dobrado.
• ❌ B) 8 xícaras. Incorreta: confunde o número de pessoas com a quantidade de farinha.
• ✅ C) 4 xícaras. Correta: 8 pessoas é o dobro de 4; a farinha também dobra, de 2 para 4 xícaras.
• ❌ D) 3 xícaras. Incorreta: é um aumento intermediário, mas não preserva a proporção de dobra.
• ❌ E) 6 xícaras. Incorreta: aumenta a quantidade sem usar o mesmo fator que ampliou a receita.

Gabarito comentado: o fator de ampliação é 2. Aplicá-lo às duas grandezas dá 2 × 2 = 4 xícaras. A alternativa A é um bom ponto de partida para conversar sobre o efeito de manter fixa uma quantidade enquanto a outra muda.

3. Se a relação entre o número de lápis e o preço total é dada pela função P(n) = 2n, sendo n o número de lápis, quantos lápis podem ser comprados com R$ 16,00?

• ❌ A) 5 lápis. Incorreta: a expressão indica que cada lápis custa R$ 2,00; cinco custariam R$ 10,00, não R$ 16,00.
• ✅ B) 8 lápis. Correta: resolvemos 2n = 16; dividindo por 2, obtemos n = 8.
• ❌ C) 10 lápis. Incorreta: dez lápis custariam R$ 20,00, acima do valor disponível.
• ❌ D) 12 lápis. Incorreta: doze lápis custariam R$ 24,00.
• ❌ E) 15 lápis. Incorreta: quinze lápis custariam R$ 30,00.

Gabarito comentado: P(n) = 2n significa que o preço total é duas vezes o número de lápis. Como o total é 16 reais, dividir 16 pelo preço unitário de 2 reais fornece a quantidade. O erro de multiplicar 16 por 2 troca o valor disponível pela quantidade de unidades.

4. Se x representa o número de maçãs e y o total em reais que se gasta, como podemos expressar essa relação se cada maçã custa R$ 2,00?

• ❌ A) y = x + 2. Incorreta: soma um valor fixo ao número de maçãs, em vez de multiplicar cada unidade pelo preço.
• ❌ B) y = x − 2. Incorreta: a subtração não representa o custo de duas unidades monetárias por maçã.
• ✅ C) y = 2x. Correta: o custo total é o preço de R$ 2,00 multiplicado pelo número x de maçãs.
• ❌ D) y = 2 + x. Incorreta: é uma soma e não faz o preço crescer duas vezes para cada maçã.
• ❌ E) y = x². Incorreta: elevar a quantidade ao quadrado não representa o preço unitário informado.

Gabarito comentado: vale pedir que a turma teste a expressão com um valor simples. Para três maçãs, por exemplo, o total deve ser R$ 6,00. A expressão 2x produz esse resultado; as opções aditivas não representam o custo de cada unidade repetido x vezes.

5. Para pintar um mural da escola, 3 litros de tinta cobrem 18 m² de parede, mantendo o mesmo padrão de aplicação. Quantos litros são necessários para cobrir 30 m²?

• ❌ A) 3 litros. Incorreta: mantém a quantidade inicial e ignora que a área aumentou.
• ✅ B) 5 litros. Correta: 3 litros cobrem 18 m², portanto 1 litro cobre 6 m²; 30 ÷ 6 = 5 litros.
• ❌ C) 6 litros. Incorreta: trata 30 m² como se fosse o dobro de 18 m²; a razão é 30/18 = 5/3.
• ❌ D) 10 litros. Incorreta: a taxa é 6 m² por litro, mas 30 m² divididos por 6 resultam em 5 litros, não 10.
• ❌ E) 12 litros. Incorreta: soma um acréscimo arbitrário aos 3 litros, sem calcular a proporção.

Gabarito comentado: a quantidade de tinta varia diretamente com a área quando o padrão de aplicação permanece igual. O cálculo por unidade deixa explícito o sentido: cada litro cobre 6 m²; para 30 m², são necessários cinco desses litros.

6. Em uma oficina de serigrafia da escola, 6 camisetas são estampadas com 450 mL de tinta concentrada. Mantendo o mesmo padrão, qual quantidade é necessária para 10 camisetas?

• ❌ A) 900 mL. Incorreta: dobra a quantidade de tinta sem dobrar o número de camisetas.
• ❌ B) 600 mL. Incorreta: considera apenas a diferença de quatro camisetas, sem preservar a razão.
• ❌ C) 700 mL. Incorreta: cria um acréscimo sem justificativa na relação entre tinta e camisetas.
• ✅ D) 750 mL. Correta: 450 ÷ 6 = 75 mL por camiseta; 75 × 10 = 750 mL.
• ❌ E) 300 mL. Incorreta: reduz a quantidade, embora o número de camisetas aumente, aplicando a relação de modo incoerente.

Gabarito comentado: calcular a quantidade por camiseta evita confundir o acréscimo de unidades com um acréscimo fixo de tinta. A turma pode conferir também pelo fator: de 6 para 10, multiplica-se por 10/6; aplicar o mesmo fator a 450 mL resulta em 750 mL.

7. Na feira, o preço de uma maçã e o de uma laranja seguem a relação 2 para 3. Se 10 maçãs custam R$ 20,00, quanto custam 15 laranjas?

• ❌ A) R$ 25,00. Incorreta: soma a diferença entre 15 e 10 ao preço conhecido, sem relação proporcional.
• ❌ B) R$ 20,00. Incorreta: repete o custo das maçãs sem calcular o preço das laranjas.
• ❌ C) R$ 35,00. Incorreta: soma valores que representam grandezas diferentes, em vez de determinar o preço unitário.
• ❌ D) R$ 30,00. Incorreta: aplica às laranjas o preço unitário da maçã, ignorando a relação 2 para 3.
• ✅ E) R$ 45,00. Correta: cada maçã custa R$ 2,00; pela razão dos preços, cada laranja custa R$ 3,00. Quinze laranjas custam 15 × 3 = R$ 45,00.

Gabarito comentado: primeiro, encontre o preço de uma maçã: 20 ÷ 10 = 2 reais. Interprete então a relação 2:3 como preço da maçã para preço da laranja. Essa leitura evita inverter a razão ou confundi-la com a quantidade de frutas.

8. Um carro percorre 120 km com 10 litros de gasolina. Qual é a relação entre a distância percorrida (d) e a quantidade de gasolina (g)?

• ❌ A) g = 12d. Incorreta: coloca a quantidade de gasolina como 12 vezes a distância, invertendo as grandezas.
• ❌ B) d = 10g. Incorreta: usa os 10 litros como se fossem a distância percorrida por litro.
• ❌ C) d = g/12. Incorreta: divide a gasolina por 12, embora a taxa indicada seja de 12 km por litro.
• ❌ D) g = 10d. Incorreta: inverte a relação e usa 10 como fator entre distância e gasolina.
• ✅ E) d = 12g. Correta: 120 ÷ 10 = 12 km por litro; assim, para g litros, a distância é 12g quilômetros.

Gabarito comentado: a relação começa pelo cálculo da taxa unitária: 120 km divididos por 10 litros resultam em 12 km por litro. A letra d representa a distância e g, a quantidade de gasolina; manter essa correspondência ajuda a escrever a equação na ordem correta.

Fechamento: retome o raciocínio, não só a conta

Depois de aplicar as questões, peça que os estudantes expliquem como identificaram a relação e por que escolheram multiplicar, dividir ou escrever uma expressão. Você também pode consultar mais questões da habilidade EF07MA17, preparar uma lista personalizada no gerador de provas do GeraProva ou fazer o cadastro grátis para organizar suas atividades. Ao discutir as respostas incorretas com atenção aos significados, fica mais fácil decidir qual ideia retomar na aula seguinte.

Use estas questões como ponto de partida e adapte a aplicação ao ritmo da sua turma. No GeraProva, você pode criar provas com IA para apoiar seu planejamento; a revisão pedagógica e a escolha final continuam com você.