Atividades de Probabilidade e independência para a 3ª série do Ensino Médio com gabarito

Quando trabalho probabilidade com a 3ª série do Ensino Médio, procuro deixar claro que a sequência dos acontecimentos, por si só, não determina se os eventos são independentes. O que importa é verificar se conhecer o resultado de uma etapa altera a probabilidade da outra. Essa distinção aparece com nitidez em situações de retirada com e sem reposição, em lançamentos de moeda e em eventos simultâneos.

Também observo que os cálculos ficam mais consistentes quando os estudantes primeiro descrevem o evento pedido em palavras. “Apenas o primeiro equipamento detectar”, por exemplo, exige considerar tanto a detecção do primeiro quanto a não detecção do segundo. Nas atividades abaixo, reuni diferentes formas de abordar essa ideia: identificar independência, calcular probabilidades conjuntas e analisar como uma retirada altera a seguinte. Incluí gabarito comentado para apoiar a correção e a retomada.

O que o aluno de 3ª série precisa saber sobre Probabilidade e independência

Na 3ª série, o estudante precisa reconhecer que dois eventos são independentes quando a ocorrência de um não altera a probabilidade do outro. Em termos de probabilidade condicional, isso significa que a chance de B sabendo que A ocorreu permanece igual à chance de B; para eventos independentes, também podemos calcular a ocorrência simultânea multiplicando P(A) por P(B). Essa regra deve ser lida à luz das condições do experimento. Em retiradas com reposição, a composição do conjunto é restaurada e a chance da próxima retirada pode permanecer igual; sem reposição, a composição muda e a probabilidade condicional pode mudar. O estudante também precisa distinguir “e”, que costuma indicar ocorrência conjunta, de “ou”, e considerar o complemento quando o enunciado exige que um evento não aconteça. A independência não decorre apenas de dois resultados ocorrerem em momentos diferentes, nem de terem probabilidades iguais: é preciso verificar se a informação sobre um evento altera a chance do outro.

O que ele precisa saber antes

As questões pressupõem conhecimentos que vale a pena revisar brevemente antes da avaliação. O primeiro é a probabilidade simples: identificar casos favoráveis e o total de resultados possíveis, como calcular 4/10 para retirar um cartão vermelho de uma caixa com dez cartões. Também é importante compreender o espaço amostral e interpretar probabilidades decimais, por exemplo, reconhecer que 0,4 representa uma probabilidade de quatro décimos.

Para resolver os itens de probabilidade conjunta, o aluno precisa multiplicar frações ou números decimais. Já nos problemas sobre “apenas um” equipamento funcionar ou detectar, precisa conhecer o evento complementar: se a chance de detectar é 0,5, a chance de não detectar é 0,5. Por fim, deve conseguir acompanhar como a composição de uma urna ou amostra se altera quando não há reposição. Uma revisão rápida desses pontos ajuda a separar dificuldade de cálculo de dificuldade em interpretar o contexto.

Onde os alunos mais erram

Um erro recorrente nas questões é tratar toda retirada em sequência como dependente. A ordem dos acontecimentos não basta para concluir isso: na retirada com reposição, a caixa ou urna retorna à composição inicial. O distrator que calcula 3/9 depois de tirar um vermelho, por exemplo, corresponderia ao cenário sem reposição, não ao enunciado em que o cartão é devolvido.

Outro tropeço é somar probabilidades quando a pergunta pede que dois eventos independentes ocorram juntos. Multiplicar 0,6 por 0,4 resulta em 0,24; somá-los não representa a aprovação simultânea nas duas verificações. Em itens de “apenas o primeiro”, também é comum considerar somente a chance do primeiro evento e esquecer que o segundo precisa falhar. O cálculo correto combina 0,4 com o complemento de 0,5, isto é, 0,5.

Há ainda confusões conceituais: eventos independentes não são necessariamente complementares ou mutuamente exclusivos. Cara no primeiro e cara no segundo lançamento podem ocorrer juntas. Quando corrijo essas respostas, peço ao estudante que retorne à condição concreta do problema: houve reposição? O evento pede “e”, “ou” ou “apenas”? O que acontece com a composição do conjunto?

Como trabalhar em sala

• Compare com e sem reposição: use cartões de papel de duas cores. Faça uma retirada e devolva o cartão antes da próxima; depois repita sem devolvê-lo. Peça que a turma explique o que mudou nas probabilidades.
• Represente os dois lançamentos: construa com a turma o espaço amostral da moeda: cara-cara, cara-coroa, coroa-cara e coroa-coroa. A lista ajuda a discutir por que os eventos podem ocorrer simultaneamente e ainda ser independentes.
• Traduza palavras em eventos: antes do cálculo, peça que os alunos reescrevam expressões como “ambas as verificações” e “apenas o primeiro detecta”. Assim, podem identificar quando precisam multiplicar probabilidades e quando devem usar um complemento.
• Faça análise de alternativas: em duplas, peça que expliquem não só a resposta correta, mas o raciocínio que pode levar a cada distrator. A prática ajuda a diferenciar erro de operação e interpretação incorreta do enunciado.
• Retome com uma pergunta de verificação: ao fim da atividade, proponha que a turma responda: “A primeira etapa muda a chance da segunda? Como sabemos?”. Essa justificativa curta permite avaliar a compreensão antes de passar a problemas mais longos.

Questões prontas de Probabilidade e independência para a 3ª série do Ensino Médio (com gabarito comentado)

1. Cartões com reposição

Durante uma atividade, uma caixa contém 4 cartões vermelhos e 6 azuis. Um estudante retira um cartão, registra a cor e o devolve antes da segunda retirada. Qual é a probabilidade de o segundo cartão ser vermelho, sabendo que o primeiro foi vermelho e sabendo que o primeiro foi azul? Como se classificam os eventos?

• ❌ A) 4/9 se o primeiro for vermelho e 3/9 se for azul; são dependentes. Esses valores pressupõem retirada sem reposição e ainda associam incorretamente as quantidades restantes.
• ❌ B) 5/10 nos dois casos; são independentes. A conclusão sobre igualdade não corrige a quantidade: há 4 cartões vermelhos, não 5.
• ✅ C) 4/10 nos dois casos; são independentes. A devolução recompõe a caixa. A probabilidade condicional de vermelho no segundo sorteio é 4/10, qualquer que tenha sido a primeira cor.
• ❌ D) 6/10 nos dois casos; são independentes. 6/10 é a probabilidade de azul, mas o enunciado pergunta pela probabilidade de vermelho.
• ❌ E) 3/9 se o primeiro for vermelho e 4/9 se for azul; são dependentes. Esses resultados seriam possíveis sem devolução, ao contrário do que diz o enunciado.

2. Duas verificações independentes

Uma pessoa passa por duas verificações independentes. A primeira aprova com probabilidade 0,6 e a segunda, com probabilidade 0,4. Qual é a probabilidade de aprovação simultânea nas duas?

• ❌ A) 0,6. Considera apenas a primeira verificação e ignora que a aprovação na segunda também é necessária.
• ❌ B) 1,0, obtido por 0,6 + 0,4. A soma não calcula a ocorrência simultânea dos dois eventos.
• ✅ C) 0,24, pois 0,6 × 0,4 = 0,24. Como as verificações são independentes, multiplicamos as probabilidades para obter a probabilidade conjunta.
• ❌ D) 0,2, obtido por 0,6 − 0,4. A subtração não representa aprovação nas duas verificações.
• ❌ E) 0,4. Considera somente a segunda verificação e desconsidera a exigência de aprovação na primeira.

3. Dois marcadores verdes com reposição

Uma caixa contém 2 marcadores verdes e 3 azuis. Um marcador é retirado ao acaso e devolvido antes da segunda retirada. Qual é a probabilidade de os dois marcadores retirados serem verdes?

• ❌ A) 2/5. Esse valor considera apenas uma retirada verde, sem incluir a segunda.
• ✅ B) 4/25. Em cada retirada, a chance de verde é 2/5. Como há reposição, as retiradas são independentes: (2/5) × (2/5) = 4/25.
• ❌ C) 3/5. Esse é o valor da probabilidade de retirar um marcador azul em uma retirada, não de obter dois verdes.
• ❌ D) 6/25. Corresponde ao produto de 2/5 por 3/5, isto é, a uma combinação de verde e azul, não a dois verdes.
• ❌ E) 4/5. Soma as chances de verde nas duas retiradas, em vez de multiplicá-las para calcular a ocorrência conjunta.

4. Lançamento de uma moeda duas vezes

Uma moeda honesta é lançada duas vezes. Considere A: “obter cara no primeiro lançamento” e B: “obter cara no segundo”. Qual relação entre A e B é adequada?

• ✅ A) São independentes, pois o primeiro lançamento não altera a probabilidade de cara no segundo, que continua sendo 1/2. Ter probabilidades iguais, isoladamente, não seria suficiente para provar independência.
• ❌ B) São dependentes porque acontecem em sequência. A ordem temporal não faz o primeiro lançamento alterar o resultado do segundo.
• ❌ C) São complementares. Cara no primeiro não determina coroa no segundo; cara-cara é um resultado possível.
• ❌ D) A é condição necessária para B. B pode ocorrer mesmo que o primeiro lançamento seja coroa, como em coroa-cara.
• ❌ E) São mutuamente exclusivos. É possível que ambos ocorram, no resultado cara-cara.

5. Bolas verdes e amarelas com reposição

Uma urna tem 5 bolas verdes e 5 amarelas. Retira-se uma bola, registra-se a cor e ela é devolvida antes da segunda retirada. A chance de a segunda bola ser verde depende da cor da primeira?

• ✅ A) Não. Com a reposição, a urna volta à composição inicial e a probabilidade da segunda retirada permanece igual, seja qual for a primeira cor.
• ❌ B) Sim, porque duas retiradas seguidas sempre mudam a chance. Essa generalização ignora que a bola foi devolvida.
• ❌ C) Não, porque as cores tinham quantidades iguais no início. O motivo decisivo é a reposição, não apenas a igualdade inicial entre as quantidades.
• ❌ D) Sim, porque o acaso acumula informação. A ideia não descreve o mecanismo: com reposição, a primeira retirada não altera a composição da urna.
• ❌ E) Sim, porque a primeira cor altera a chance mesmo após a devolução. A devolução restaura a composição; portanto, essa influência não permanece.

6. Probabilidade de apenas o primeiro equipamento detectar

Em um teste, o primeiro equipamento detecta um sinal com probabilidade 0,4 e o segundo, com probabilidade 0,5. Os equipamentos funcionam independentemente. Qual é a probabilidade de apenas o primeiro detectar?

• ❌ A) 0,4. Esse valor considera a detecção do primeiro, mas não exige que o segundo deixe de detectar.
• ❌ B) 0,8. A soma não representa o caso específico em que o primeiro detecta e o segundo não.
• ❌ C) 0,9. Soma a chance de detecção do primeiro à chance de não detecção do segundo, quando os dois eventos precisam ocorrer juntos.
• ❌ D) 0,5. A independência não torna irrelevante o segundo equipamento; é necessário considerar que ele não detecta.
• ✅ E) 0,2. O segundo não detectar tem probabilidade 1 − 0,5 = 0,5. Assim, 0,4 × 0,5 = 0,2 para o primeiro detectar e o segundo não.

7. Seleção sem reposição em uma amostra

Uma amostra tem 8 elementos, dos quais 3 possuem certa característica. Dois elementos são selecionados sem reposição. Se A é “o primeiro elemento tem a característica” e B é “o segundo tem a característica”, A e B são independentes?

• ❌ A) Sim, porque o primeiro evento não interfere no segundo quando são escolhidos apenas dois elementos. Sem reposição, a primeira escolha pode mudar a composição restante.
• ❌ B) Não, porque haver 3 elementos com a característica torna os eventos sempre dependentes em qualquer seleção. A dependência aqui decorre da retirada sem reposição, não de uma regra absoluta sobre essa quantidade.
• ❌ C) Sim, porque só importa o total de 8 elementos e não a ordem. A composição e a retirada sem reposição alteram as probabilidades condicionais.
• ❌ D) Sim, porque a retirada sem reposição mantém as probabilidades iguais. Na verdade, a composição muda após a primeira escolha.
• ✅ E) Não, porque a retirada sem reposição pode alterar a probabilidade do segundo evento conforme o resultado da primeira escolha. Assim, conhecer A pode modificar a chance de B.

8. Alteração da composição entre retiradas

Em um experimento, a primeira retirada altera a composição do conjunto para a segunda. O que isso implica, em geral, sobre a independência entre os eventos?

• ✅ A) Os eventos deixam de ser independentes, porque a primeira retirada modifica as chances da segunda. A probabilidade do segundo evento pode depender do resultado da primeira.
• ❌ B) A independência depende de as peças terem cores diferentes e quantidades iguais. Essas condições não são o critério: importa saber se a primeira etapa altera as probabilidades da segunda.
• ❌ C) Os eventos ficam dependentes apenas quando há reposição. A reposição não é o que descreve o cenário apresentado, em que a composição muda.
• ❌ D) Os eventos continuam independentes desde que a peça seja devolvida. Essa condição contradiz a situação proposta, na qual a composição foi alterada.
• ❌ E) Os eventos continuam independentes porque ocorrem em momentos diferentes. A separação temporal não garante independência quando a primeira retirada muda as chances seguintes.

Próximos passos

Depois da correção, vale pedir que os alunos classifiquem cada situação como independente ou dependente e justifiquem a escolha antes de refazer as contas. Você também pode explorar itens relacionados às questões da habilidade EM13MAT312, às questões da habilidade EM13MAT511 e às questões da habilidade EM13MAT311. Para adaptar a lista ao conteúdo que sua turma está estudando, conheça o gerador de provas do GeraProva ou faça seu cadastro grátis.

Use estas questões como ponto de partida e ajuste a seleção ao ritmo da sua turma. No GeraProva, você pode montar provas com questões de Matemática e revisar o material antes de aplicar.