Atividades de princípio multiplicativo e soma das probabilidades para a 2ª série do Ensino Médio com gabarito

Quando trabalho contagem na 2ª série do Ensino Médio, procuro deixar explícito o que está sendo escolhido em cada etapa. Em uma senha, placa ou configuração, a pergunta central é quantas opções existem para cada posição e se a repetição é permitida. Essa leitura cuidadosa evita que a turma aplique uma multiplicação automática sem verificar as condições do problema.

Também conecto a contagem à organização de possibilidades que pode aparecer no estudo de probabilidade: antes de calcular probabilidades, é importante reconhecer o espaço amostral e contar seus elementos corretamente. A seguir, reuni questões para observar essas decisões, conversar sobre os distratores e retomar o princípio multiplicativo com situações variadas.

O que o aluno de 2ª série precisa saber sobre princípio multiplicativo e soma das probabilidades dos elementos de um espaço amostral

Na 2ª série, espero que o estudante consiga decompor uma situação em etapas, identificar as opções disponíveis em cada uma e decidir se a ordem importa ou se há repetição. Quando uma escolha de cada categoria forma um resultado completo, multiplicamos as quantidades de opções; quando existem casos alternativos, como usar ou não um acessório, contamos cada caso de modo organizado e somamos os resultados. Em senhas e códigos, é essencial distinguir posições de símbolos e ajustar as opções após cada escolha quando não se pode repetir. Em placas com repetição permitida, por outro lado, o número de opções permanece igual em cada posição. Essa organização também ajuda a determinar quantos resultados compõem um espaço amostral, etapa necessária para estudar probabilidades. A turma deve conferir se respondeu ao total de possibilidades ou apenas a um dos casos descritos no enunciado.

O que ele precisa saber antes

As questões pressupõem multiplicação de números naturais e compreensão de que etapas independentes se combinam. Também é útil revisar potenciação, como em 26³, e contagem sem repetição: depois de escolher um elemento, pode haver uma opção a menos para a posição seguinte. Para problemas com senhas, códigos e placas, vale retomar a diferença entre escolher símbolos e distribuí-los em posições ordenadas. Reconhecer padrões simples e calcular diferenças também aparece na questão das identificações por cor.

Onde os alunos mais erram

Um erro recorrente nas situações apresentadas é somar quantidades quando o enunciado descreve escolhas combinadas. No plano de voo, por exemplo, somar regiões, altitudes e velocidades não conta planos completos; cada plano reúne uma escolha de cada categoria, por isso usamos o produto. O distrator que apresenta a soma é útil para tornar essa diferença visível.

Em outros itens, o risco é ignorar uma condição: permitir repetição quando ela é proibida, reduzir o conjunto de letras ou dígitos, esquecer uma posição ou deixar de incluir a opção “nenhuma”. Na senha de quatro posições, contar apenas escolhas de símbolos sem distribuir as letras nas posições não contempla todas as ordens possíveis. Já na placa, a repetição é permitida, portanto retirar opções a cada posição altera indevidamente a contagem.

Também é comum confundir o total de um caso com o total pedido. No problema das cores, calcular as identificações correspondentes a nove cores não responde quantas novas surgem ao passar de seis para nove. E, quando há casos separados — com ou sem chapéu, por exemplo —, é preciso contar cada caso e depois somá-los, sem esquecer nenhum.

Como trabalhar em sala

• Marque as etapas: peça que a turma sublinhe cada categoria de escolha e anote ao lado quantas opções existem. Só depois decidam se devem multiplicar ou separar casos.
• Compare condições: use dois enunciados curtos, um que permita repetição e outro que a proíba. A turma pode escrever a sequência de fatores e explicar por que os números mudam.
• Separe os casos: para opções como “com acessório” e “sem acessório”, faça uma linha de cálculo para cada possibilidade e some os resultados ao final.
• Use os distratores como diagnóstico: em vez de apenas marcar a alternativa correta, peça aos estudantes que expliquem que raciocínio poderia levar a cada resposta incorreta.
• Peça uma estimativa de conferência: antes de finalizar, confira se o resultado é compatível com as escolhas descritas e se a pergunta pede total, diferença ou apenas um caso.

Questões prontas de princípio multiplicativo para a 2ª série do Ensino Médio (com gabarito comentado)

As questões abaixo percorrem escolhas ordenadas, repetição, casos alternativos e interpretação de padrões. Ao corrigir, vale pedir que a turma justifique não só a resposta certa, mas também a condição que torna cada distrator inadequado.

1. Senha com letras e dígitos

Uma senha tem 4 posições e usa-se apenas as letras A, B, C, D, E e os dígitos 1, 2, 3. A senha deve conter exatamente 2 letras e 2 dígitos, sem repetir nenhum símbolo. Quantas senhas diferentes são possíveis?

• ❌ A) 120 senhas. Conta 5×4×3×2, mas não escolhe quais duas das quatro posições serão ocupadas pelas letras.
• ✅ B) 720 senhas. Há 6 maneiras de escolher as posições das letras; depois, as escolhas sem repetição dão 5×4×3×2. Assim, 6×5×4×3×2 = 720.
• ❌ C) 360 senhas. Deixa de considerar uma das opções para o segundo dígito, embora ainda haja 2 dígitos disponíveis.
• ❌ D) 600 senhas. Usa 5 opções para o segundo dígito, mas o conjunto oferece apenas 3 dígitos, sem repetição.
• ❌ E) 540 senhas. Usa 3 opções para a segunda letra, quando restam 4 letras após a primeira escolha.

Gabarito comentado: B. É preciso contar tanto a escolha das posições quanto a ordem dos símbolos, respeitando a proibição de repetição.

2. Placas com repetição permitida

Uma placa é formada por 3 letras (A–Z) seguidas de 2 dígitos (0–9). Letras e dígitos podem repetir. Quantas placas distintas podem ser criadas?

• ❌ A) 5.000 placas. O enunciado permite usar qualquer letra de A a Z, não apenas A e B.
• ❌ B) 2.500 placas. Não representa as três posições de letras e as duas posições de dígitos descritas.
• ❌ C) 1.000 placas. Desconsidera que a repetição é permitida e não aplica as opções corretas em cada posição.
• ❌ D) 100.000 placas. Usa 10 opções para as letras, embora cada posição de letra tenha 26 possibilidades.
• ✅ E) 26³×10² = 1.757.600 placas. Há 26 opções para cada letra e 10 para cada dígito; como pode repetir, as quantidades permanecem iguais.

Gabarito comentado: E. Multiplicamos as opções de todas as posições e mantemos a quantidade de possibilidades em cada uma porque a repetição está autorizada.

3. Código com caracteres distintos

Quantos códigos diferentes de 5 caracteres podem ser formados se os dois primeiros são letras distintas (A–Z) e os três últimos são dígitos distintos (0–9)?

• ❌ A) 13.000. Não corresponde à contagem ordenada das duas letras e dos três dígitos distintos.
• ❌ B) 3.125. Trata as escolhas sem respeitar as condições de distinção e a quantidade de opções em cada posição.
• ❌ C) 10.020. Combina letras e números sem seguir a estrutura de duas letras seguidas de três dígitos.
• ❌ D) 100.000. Não considera corretamente as restrições de caracteres distintos e excede a contagem adequada.
• ✅ E) 468.000. Para as letras, há 26×25 escolhas ordenadas; para os dígitos, 10×9×8. O produto é 26×25×10×9×8 = 468.000.

Gabarito comentado: E. A ordem importa porque posições diferentes formam códigos diferentes, e as escolhas seguintes diminuem por não haver repetição.

4. Identificações por cor

Uma cooperativa de entregas identifica coletes combinando uma cor com uma região fixa de atuação. O gráfico mostra alguns cenários entre número de cores e total de identificações possíveis. Com base no padrão mostrado, ao passar de 6 para 9 cores, quantas novas identificações surgem?

• ❌ A) 3 novas identificações. Considera apenas o aumento no número de cores, sem relacioná-lo às identificações geradas por cor.
• ❌ B) 9 novas identificações. Multiplica o aumento por um fator que não corresponde ao padrão observado no gráfico.
• ❌ C) 18 novas identificações. Usa uma razão incorreta para estimar o acréscimo.
• ❌ D) 63 novas identificações. Calcula o total associado a 9 cores, não a diferença entre as situações.
• ✅ E) 21 novas identificações. Cada cor gera 7 identificações; o aumento de 3 cores gera 3×7 = 21 novas identificações.

Gabarito comentado: E. É preciso interpretar o padrão e responder ao acréscimo, não ao total final.

5. Montagem de marmitas

Em um refeitório de fábrica, o gráfico mostra quantas opções existem em cada etapa da montagem da marmita. O cliente escolhe 1 base, 1 proteína e 1 bebida, que pode ser quente ou gelada. De acordo com o gráfico, quantas marmitas diferentes podem ser montadas?

• ❌ A) 14 marmitas. Soma as opções das etapas, mas cada marmita combina uma opção de cada etapa.
• ❌ B) 25 marmitas. Multiplica algumas etapas e soma bebidas ao final, misturando regras de contagem.
• ❌ C) 43 marmitas. Conta a bebida quente de modo multiplicativo e acrescenta a gelada separadamente, sem seguir o total indicado pelas opções do gráfico.
• ✅ D) 100 marmitas. Há 4 opções de base, 5 de proteína e 5 bebidas ao todo; portanto, 4×5×5 = 100.
• ❌ E) 200 marmitas. Duplica o resultado como se fosse escolhida mais de uma bebida, embora o cliente escolha uma.

Gabarito comentado: D. Uma escolha de cada etapa forma a marmita, então multiplicamos as quantidades correspondentes. O gráfico fornece os valores necessários para o cálculo.

6. Configurações de tela de um aplicativo

Um aplicativo oferece três layouts distintos para a tela, quatro pacotes de ícones e duas paletas de cores. Além disso, o usuário pode optar por não aplicar nenhuma paleta. Cada escolha é independente. Quantas configurações distintas podem ser obtidas?

• ❌ A) 18 configurações. Não considera adequadamente todas as opções de layout e pacote de ícones.
• ✅ B) 36 configurações. Para cada layout e pacote, há 3 possibilidades de paleta: duas cores ou nenhuma. Assim, 3×4×(2+1) = 36.
• ❌ C) 48 configurações. Usa quatro opções de paleta, confundindo a quantidade de pacotes de ícones com as paletas disponíveis.
• ❌ D) 24 configurações. Multiplica layouts por pacotes, mas ignora a escolha de paleta ou de nenhuma paleta.
• ❌ E) 30 configurações. Não organiza corretamente a alternativa sem cor junto às escolhas independentes.

Gabarito comentado: B. A possibilidade de não aplicar uma paleta é uma terceira opção nessa etapa. Depois, o total resulta do produto das três categorias.

7. Planos de voo de drone

Um sistema define cada configuração de rota por três escolhas: região de atuação (cinco opções), faixa de altitude (três opções) e velocidade de cruzeiro (quatro opções). Quantas configurações de plano de voo podem ser geradas?

• ❌ A) 24. O cálculo apresentado considera quantidades diferentes das três opções descritas e não usa as cinco regiões.
• ✅ B) 60. Pelo princípio multiplicativo, 5×3×4 = 60 configurações distintas.
• ❌ C) 48. Usa quatro opções no lugar das cinco regiões, deixando de contar uma categoria conforme descrita.
• ❌ D) 12. Soma 5+3+4, mas cada plano combina uma escolha de cada categoria.
• ❌ E) 32. Não corresponde ao produto das três quantidades nem a uma contagem que respeite as escolhas indicadas.

Gabarito comentado: B. Como cada configuração reúne uma região, uma altitude e uma velocidade, multiplicamos as possibilidades independentes.

8. Combinações de avatar

No menu de customização de um jogo, o usuário escolhe um penteado entre cinco estilos, uma pintura facial entre três modelos e pode usar um chapéu entre quatro tipos ou não usar acessório na cabeça. Quantas combinações de avatar podem ser criadas?

• ❌ A) 60 combinações. Conta apenas as possibilidades com chapéu: 5×3×4, sem incluir avatares sem acessório.
• ❌ B) 15 combinações. Conta penteado e pintura, mas deixa de fora todas as opções de chapéu.
• ✅ C) 75 combinações. Sem chapéu há 5×3 = 15 possibilidades; com chapéu há 5×3×4 = 60. Somando os casos, 75.
• ❌ D) 12 combinações. Soma quantidades de opções, sem contar as combinações completas de cada caso.
• ❌ E) 32 combinações. Calcula (5+3)×4, operação que não representa as escolhas independentes descritas.

Gabarito comentado: C. Separar “sem chapéu” e “com chapéu” torna a contagem clara. Também é possível considerar cinco opções na etapa do acessório — quatro chapéus e a opção de não usar — e calcular 5×3×5 = 75.

Para continuar

Depois da correção, peça que cada estudante escolha um distrator e explique qual condição do enunciado foi esquecida ou interpretada de outro modo. Para ampliar a prática, consulte as questões da habilidade EM13MAT310. Você também pode montar novas combinações de itens no gerador de provas do GeraProva e conhecer o cadastro grátis.

Use as questões como ponto de partida e ajuste a seleção ao percurso da sua turma. O GeraProva ajuda a organizar atividades e provas com mais praticidade.