Atividades de grandezas diretamente e inversamente proporcionais

Quando trabalho grandezas proporcionais com uma turma, começo por situações que os estudantes conseguem imaginar: dividir tarefas, comparar preços ou analisar o tempo de uma atividade. Já vi alunos classificarem qualquer relação crescente como diretamente proporcional; por isso, faço questão de separar a ideia de “aumentam juntas” da condição mais específica de manter uma razão constante.

Também uso questões com contextos variados para que a turma não dependa de decorar uma regra. Abaixo reuni explicações práticas e questões comentadas sobre a habilidade EF08MA12. Elas ajudam a identificar relações diretas, inversas e não proporcionais — e a conversar sobre os limites de cada exemplo.

O que são grandezas diretamente e inversamente proporcionais?

Grandezas são diretamente proporcionais quando variam na mesma razão: se uma dobra, a outra também dobra, e a razão entre os valores permanece constante. Por exemplo, a um preço fixo por unidade e sem taxa adicional, comprar o dobro de itens custa o dobro. Já duas grandezas são inversamente proporcionais quando, para uma mesma quantidade de trabalho, o aumento de uma reduz a outra na mesma razão: dobrar o número de trabalhadores pode reduzir pela metade o tempo. Nesse caso, o produto dos valores correspondentes é constante. Nem toda relação crescente ou decrescente é proporcional; a nota e as horas de estudo, por exemplo, podem ter uma tendência crescente, sem uma razão constante. Eu ensino a verificar os dados antes de classificar. Essa distinção é central na habilidade EF08MA12 e evita que os estudantes confundam associação entre grandezas com proporcionalidade.

Na lousa, comparo os dois testes:

• Direta: calcule a razão entre valores correspondentes. Se ela se mantém, há proporcionalidade direta.
• Inversa: calcule o produto dos valores correspondentes. Se ele se mantém, há proporcionalidade inversa.
• Não proporcional: se nenhum padrão se sustenta, não force a classificação.

É importante explicitar as condições do problema. O tempo de montagem, por exemplo, só tende a ser inversamente proporcional ao número de pessoas se o trabalho for o mesmo e as equipes conseguirem trabalhar sem interferir umas nas outras.

Como ensinar a diferença entre tendência e proporcionalidade?

Eu ensino essa diferença pedindo que os estudantes justifiquem a classificação com um teste numérico, uma tabela ou uma frase sobre o contexto. A afirmação “mais horas de estudo, melhor nota” descreve uma tendência crescente, mas não prova que as grandezas sejam diretamente proporcionais: não sabemos se dobrar o tempo dobra a nota nem se existe uma razão constante. Para começar, proponho duas ou três situações e pergunto o que aconteceria se uma grandeza dobrasse. Depois, apresento dados que permitam calcular razões ou produtos. Na proporcionalidade direta, o quociente entre valores correspondentes permanece igual; na inversa, o produto permanece igual. Se os dados não sustentam essas condições, classificamos a relação como não proporcional ou reconhecemos que faltam informações. Esse caminho simples ajuda a turma a argumentar, em vez de marcar uma resposta com base apenas nas palavras “aumenta” e “diminui”.

Uma sequência curta que costumo testar:

1. Peço que a turma descreva o que muda e o que permanece fixo no contexto.
2. Organizo os pares de valores em uma tabela, sem antecipar a resposta.
3. Comparo razões ou produtos e peço uma conclusão escrita com evidências.
4. Fecho com um contraexemplo: uma relação crescente que não seja proporcional.

Esse último passo é especialmente útil para discutir que correlação, tendência e proporcionalidade não são sinônimos. A atividade também abre espaço para representar relações no plano cartesiano e observar, por exemplo, que uma relação direta do tipo y = kx passa pela origem.

Como avaliar essa habilidade na prática?

Para avaliar a habilidade EF08MA12, eu combino identificação, cálculo e explicação: uma boa atividade pede que o estudante classifique a relação, demonstre o critério usado e interprete o resultado no contexto. Em uma lista curta, incluo pelo menos um exemplo diretamente proporcional, um inversamente proporcional e outro que apenas pareça proporcional à primeira vista. Posso pedir uma tabela, o cálculo da razão ou do produto e, quando fizer sentido, um gráfico. Avalio não só a alternativa escolhida, mas também se a justificativa reconhece as condições do problema. Uma resposta como “diminui, então é inversa” não basta: é preciso verificar se a variação segue uma razão inversa. Para poupar tempo na preparação de versões com dados e contextos diferentes, uso o GeraProva como apoio e reviso cada questão antes de levar à turma.

Na correção, procuro erros que revelam o raciocínio: confundir relação decrescente com proporcionalidade inversa, ou supor que toda relação crescente é direta. Você pode criar uma atividade inicial na página inicial do GeraProva e, se quiser experimentar os recursos para professores, fazer o cadastro grátis.

Questões prontas com gabarito comentado

As seis questões a seguir exploram diferentes contextos e níveis de raciocínio para trabalhar a habilidade EF08MA12. Eu recomendo pedir que os estudantes registrem primeiro a estratégia e só depois confiram o gabarito: assim, a correção vira uma oportunidade de discutir por que uma alternativa está errada, não apenas de localizar a letra certa. Observe que algumas questões distinguem uma tendência crescente de proporcionalidade direta, enquanto outras permitem testar o produto das grandezas. Cada item inclui a dica de resolução, o conceito central, a habilidade da BNCC e o nível de Bloom, informações que ajudam a selecionar questões de acordo com o objetivo da aula. A questão final também aproxima a proporcionalidade da representação gráfica. Use-as como estão ou adapte os contextos e números para dialogar com o que sua turma já estudou.

1. Altura, peso, horas de estudo e nota

Identifique se as grandezas a seguir são diretamente proporcionais, inversamente proporcionais ou não proporcionais: altura e peso de uma pessoa e o número de horas de estudo e a nota em uma prova.

• ❌ A) Altura e peso são não proporcionais; horas e nota são proporcionais. A primeira relação foi identificada corretamente, mas mais horas não garantem uma nota que aumente sempre na mesma proporção.
• ❌ B) Ambas são diretamente proporcionais. Aumentar uma grandeza não significa que a outra aumente na mesma proporção.
• ❌ C) Ambas são inversamente proporcionais. Não há indicação de que o produto das grandezas permaneça constante.
• ✅ D) Altura e peso são não proporcionais; horas e nota são não proporcionais. Nenhuma relação mantém uma razão constante ou apresenta um produto constante. Estudar mais não garante aumento proporcional da nota.
• ❌ E) Altura e peso são diretamente proporcionais; horas e nota são não proporcionais. A segunda classificação faz sentido, mas altura e peso não mantêm razão constante.

Dica de resolução: verifique se uma grandeza varia sempre em razão constante ou inversa da outra. Conceito central: grandezas proporcionais e não proporcionais. Conceito para revisão: critérios de proporcionalidade e diferença entre associação e proporcionalidade. BNCC: EF08MA12. Bloom: Analisar.

2. Trabalhadores e tempo de carregamento

Gestores de uma empresa de transporte monitoram diferentes pares de grandezas. Quando a distância percorrida dobra, o combustível consumido também dobra. Ao dobrar o número de trabalhadores responsáveis pela carga, o tempo de carregamento reduz-se pela metade. Aumentos no peso da carga resultam em maior potência exigida do motor, mas sem um fator constante. Qual par apresenta variação inversamente proporcional?

• ✅ A) Número de trabalhadores e tempo de carregamento. Dobrar os trabalhadores reduz o tempo pela metade.
• ❌ B) Distância percorrida e tempo de carregamento. O texto não apresenta relação entre essas grandezas.
• ❌ C) Tempo de carregamento e combustível consumido. Não há informação que relacione essas duas grandezas.
• ❌ D) Peso da carga e potência exigida do motor. Há relação, mas não uma razão constante que caracterize proporcionalidade inversa.
• ❌ E) Distância percorrida e combustível consumido. As duas grandezas dobram juntas, o que indica variação direta.

Dica de resolução: procure a relação em que uma grandeza aumenta enquanto a outra diminui na mesma razão. Conceito central: variação inversamente proporcional. Conceito para revisão: características da variação inversa. BNCC: EF08MA12. Bloom: Aplicar.

3. Voluntários e tempo de montagem

Com 5 voluntários, a montagem de um palco leva 8 dias; com 10 pessoas, leva 4 dias; e com 20 pessoas, leva 2 dias. Considerando a mesma quantidade de trabalho, identifique a natureza da relação entre o número de voluntários e o tempo de montagem.

• ❌ A) Diretamente proporcional. Na relação direta, as grandezas variam juntas; aqui, quando uma aumenta, a outra diminui.
• ❌ B) Não proporcional, mas crescente. O tempo diminui à medida que o número de voluntários aumenta.
• ❌ C) Não proporcional, mas decrescente. A relação tem um padrão mais específico: o produto dos valores é constante.
• ❌ D) Não se relacionam, pois o tempo é constante. Os dados mostram que o tempo muda.
• ✅ E) Inversamente proporcionais. Os produtos 5 × 8, 10 × 4 e 20 × 2 são todos iguais a 40.

Dica de resolução: analise como o aumento dos voluntários afeta o tempo. Conceito central: relação de grandezas inversamente proporcionais. Conceito para revisão: grandezas diretamente e inversamente proporcionais. BNCC: EF08MA12. Bloom: Aplicar.

4. Tempo de estudo e nota

Uma pesquisa mostra que quanto mais tempo uma pessoa estuda, melhor é sua nota. Como se classifica a relação entre essas grandezas?

• ✅ A) Crescente, sem proporção garantida. A nota aumenta com o tempo de estudo, mas não há dados que garantam uma razão constante.
• ❌ B) Proporcionalidade complexa. A descrição não fornece elementos para identificar uma relação desse tipo.
• ❌ C) Constantes entre si. Isso contradiz a informação de que a nota melhora quando o tempo aumenta.
• ❌ D) Inversamente proporcionais. Essa classificação exigiria que uma grandeza diminuísse quando a outra aumentasse.
• ❌ E) Não proporcionais. A descrição não fornece dados suficientes para afirmar que inexiste proporcionalidade; apenas permite identificar uma tendência crescente.

Dica de resolução: diferencie uma tendência crescente de uma proporcionalidade direta garantida. Conceito central: relação entre grandezas. Conceito para revisão: crescimento e proporcionalidade direta. BNCC: EF08MA12. Bloom: Analisar.

5. Pizzaria, entregas e motoboys

Uma pizzaria móvel registra três situações: o custo total C varia com o número de pizzas n, cobrando R$ 20 por unidade e sem taxa fixa; o tempo médio de entrega T depende do número de motoboys m, que repartem igualmente as entregas; e o valor V pago por entregas inclui uma taxa fixa de R$ 5 mais R$ 2 por quilômetro. Qual relação apresenta variação inversamente proporcional?

• ❌ A) Custo total C e número de pizzas n. O custo aumenta na mesma razão que o número de pizzas, portanto é uma relação direta.
• ❌ B) Tempo médio de entrega T e distância percorrida d. O texto não indica que essas grandezas tenham variação inversa; o tempo aumenta com a distância.
• ❌ C) Custo total C e distância percorrida d. O custo das pizzas não depende da distância, de acordo com a situação descrita.
• ❌ D) Valor pago V e distância percorrida d. A taxa fixa somada à parte variável não caracteriza proporcionalidade inversa.
• ✅ E) Tempo médio de entrega T e número de motoboys m. Ao dividir igualmente as entregas, mais motoboys reduzem o tempo na mesma razão.

Dica de resolução: identifique a relação inversa entre as variáveis descritas. Conceito central: variação inversamente proporcional. Conceito para revisão: variação direta e inversa. BNCC: EF08MA12. Bloom: Entender.

6. Representação gráfica de y = 3x

Dadas as grandezas x e y, em que y = 3x, como representar graficamente essa relação em um plano cartesiano?

• ❌ A) Gráfico linear que não passa pela origem. Como y = 3x, quando x = 0, y também é zero.
• ❌ B) Gráfico exponencial. A expressão mostra uma relação linear, não exponencial.
• ✅ C) Gráfico linear que passa pela origem. Por exemplo, os pontos (0, 0), (1, 3) e (2, 6) pertencem à reta.
• ❌ D) Gráfico circular. A relação entre x e y é representada por uma reta.
• ❌ E) Gráfico aleatório. Os valores seguem uma regra definida, y = 3x.

Dica de resolução: calcule alguns valores de x e encontre os correspondentes de y. Conceito central: função linear. Conceito para revisão: representação gráfica de funções lineares. BNCC: EF08MA12. Bloom: Aplicar.

Como adaptar as atividades para diferentes turmas?

Para adaptar essas atividades, eu começo identificando o que a turma já domina: leitura de tabelas, cálculo de razões, multiplicação de valores ou interpretação de gráficos. Com quem está começando, uso números pequenos e situações familiares, como preço por unidade e divisão de tarefas. Para estudantes que já reconhecem os padrões, retiro as pistas do enunciado e peço que justifiquem por que uma relação não é proporcional. Também posso solicitar que criem um exemplo próprio e representem os pares ordenados no plano cartesiano. A habilidade EF08MA12 permite trabalhar a identificação da natureza da variação, sua expressão algébrica e sua representação gráfica. Por isso, não trato a lista como uma sequência de contas isoladas: alterno interpretação, cálculo e comunicação matemática. O GeraProva pode ajudar a preparar novas questões e versões, mas a escolha final depende do objetivo da aula e das necessidades observadas na turma.

Uma boa aula não precisa ter dezenas de itens. Seis questões bem escolhidas, com correção comentada e oportunidade de rever uma justificativa, podem render uma conversa matemática mais produtiva do que uma lista extensa. As questões podem ser adaptadas à sua turma, e a revisão pedagógica do professor continua essencial. Se quiser economizar tempo na criação de novas atividades, experimente o GeraProva e veja se ele se encaixa na sua rotina.