Atividades de Funções: representações numérica, algébrica e gráfica para a 3ª série do Ensino Médio com gabarito

Quando trabalho funções na 3ª série, procuro fazer os estudantes transitarem entre diferentes formas de representar uma relação. Uma tabela pode revelar um padrão; a expressão algébrica ajuda a generalizá-lo; e o gráfico permite observar como a função se comporta. Na prática, não basta aplicar uma fórmula: é preciso compreender o que cada variável representa e quais condições limitam a regra.

Reuni nesta proposta situações de progressões, tarifas, funções por partes e funções inversas. Elas podem servir para uma avaliação, uma revisão ou uma atividade de discussão coletiva. Ao comentar as alternativas, dou atenção aos passos que costumam exigir cuidado: localizar o valor inicial, calcular apenas o excedente, interpretar intervalos e distinguir uma taxa por semana de uma taxa por intervalo de semanas.

O que o aluno de 3ª série precisa saber sobre Funções: representações numérica, algébrica e gráfica

Na 3ª série, o aluno precisa interpretar uma relação funcional em diferentes registros e reconhecer o que cada um evidencia. Em uma sequência numérica, deve identificar o primeiro termo e a variação constante para escrever uma regra geral e projetar valores. Em situações de tarifa, precisa traduzir condições do enunciado em expressões algébricas, distinguindo parcela fixa, quantidade excedente, arredondamento e limites. Quando há mais de uma faixa, deve organizar a função por partes, respeitando os intervalos e o domínio. Também é importante relacionar tabela e gráfico, perceber a taxa de variação e usar os dados para estimar quando uma quantidade atingirá determinado valor. Em relações exponenciais e logarítmicas, deve identificar a correspondência entre função direta e inversa. O objetivo não é apenas calcular: é verificar se a expressão representa os dados e se o resultado faz sentido no contexto descrito.

O que ele precisa saber antes

As questões pressupõem conhecimentos que vale retomar brevemente quando necessário. Para as sequências, os pré-requisitos são reconhecer padrões numéricos, calcular a razão constante e interpretar uma taxa de variação. Para as tarifas, entram expressões algébricas com variável, função afim, regra de três simples, operações de multiplicação e soma, leitura de intervalos e domínio. A questão do estacionamento ainda pede compreender a função teto, que arredonda para cima a contagem de horas adicionais iniciadas, e a função piso, que conta apenas unidades completas. Por fim, a relação entre as rotinas A e B exige reconhecer funções diretas e inversas, além da relação entre potências e logaritmos.

Uma forma simples de perceber se a turma está pronta é propor uma substituição de valores antes de partir para as questões mais longas. Se a expressão representa uma tarifa, por exemplo, peça que confiram o custo no limite da franquia e logo acima dele. Esse teste ajuda a verificar se a regra respeita as condições do enunciado.

Onde os alunos mais erram

Em sequências, um erro recorrente é confundir o índice da sequência com o ano civil ou usar o segundo termo como se fosse o primeiro. Isso desloca a expressão e produz um valor inicial incorreto. Nas tarifas por faixa, é comum cobrar a taxa adicional sobre o consumo inteiro, em vez de aplicá-la somente ao excedente. Outra confusão aparece quando se troca hora adicional iniciada por hora completa: a função piso deixa de cobrar parte do tempo que o enunciado considera iniciado, enquanto aplicar teto ao tempo total pode contar uma hora a mais desde o começo.

Em funções por partes, os intervalos e suas fronteiras precisam ser lidos com cuidado. Usar porcentagens erradas, omitir um intervalo ou esquecer a parcela fixa altera a regra. Já em tabelas com dados espaçados, como a quantidade acumulada a cada duas semanas, tomar o aumento entre registros como se fosse um aumento semanal leva a uma previsão incorreta. Ao corrigir, peço que os estudantes expliquem a unidade da taxa e testem a expressão em um dado conhecido. Esse hábito frequentemente mostra de onde veio o erro, sem reduzir a correção a marcar uma alternativa.

Como trabalhar em sala

• Comece por uma tabela curta: apresente os pares de valores da questão da taxa de inscrição ou da reciclagem. Peça que a turma encontre a diferença entre termos consecutivos e explique em que unidade essa variação acontece.
• Traduza tarifas em partes: destaque no quadro a parcela fixa, o limite e o custo do excedente. Antes de escrever a expressão, os alunos podem explicar em palavras o que será multiplicado e o que deve ser somado.
• Compare casos próximos ao limite: para franquias ou faixas de consumo, examine valores imediatamente abaixo, no limite e acima dele. Assim fica mais fácil discutir qual trecho da função vale em cada caso.
• Peça uma checagem por substituição: depois de montar uma regra, use um dos valores informados no enunciado. Se a expressão não reproduz o dado, a turma pode revisar o índice, o excedente ou a tarifa empregada.
• Conecte a tabela à representação gráfica: marque os pontos de uma sequência ou de uma função tarifária em um plano cartesiano simples. Converse sobre o que a inclinação representa e se o contexto permite ligar os pontos continuamente.

Questões prontas de Funções: representações numérica, algébrica e gráfica para a 3ª série do Ensino Médio (com gabarito comentado)

As atividades a seguir podem ser usadas em conjunto ou selecionadas conforme o objetivo da aula. Em cada questão, o comentário explica não só a resposta correta, mas também o equívoco associado às demais alternativas.

1. Termo geral para a taxa anual

Em 2018, a taxa anual de inscrição de uma biblioteca municipal era R$ 50,00. Em cada ano seguinte, aumentou R$ 15,00: em 2019 passou a R$ 65,00, em 2020 a R$ 80,00 e em 2021 a R$ 95,00. Considerando que n = 1 corresponde a 2018, qual expressão calcula a taxa no ano n?

• ❌ A) aₙ = 65 + 15·(n − 1). Usa R$ 65,00 como primeiro termo, embora o valor em n = 1 seja R$ 50,00.
• ✅ B) aₙ = 50 + 15·(n − 1). O primeiro termo é 50 e a razão é 15; a cada posição acrescenta-se uma parcela de 15.
• ❌ C) aₙ = 95 − 15·(5 − n). Para n = 1, a expressão resulta em 35, não em 50.
• ❌ D) aₙ = 50 + 20·(n − 1). Mantém o valor inicial, mas usa aumento anual de 20, diferente da sequência.
• ❌ E) aₙ = 50n + 15. Para n = 1, resulta em 65 e não representa o crescimento de 15 a partir de 50.

Gabarito: B. Identifique o primeiro termo e a razão constante, lembrando que o índice 1 representa 2018. É uma boa questão para discutir como a numeração escolhida para n interfere na expressão.

2. Tarifa de estacionamento com limite diário

Um estacionamento fictício cobra R$ 10,00 pela primeira hora e R$ 6,00 por cada hora adicional iniciada, até o limite diário de R$ 50,00. Para t > 1, em horas, qual expressão representa o valor C(t)?

• ❌ A) C(t) = min(50, 10 + 6·⌈t⌉). O teto é aplicado ao tempo total, contando horas desde o início em vez de contar apenas as adicionais.
• ❌ B) C(t) = min(60, 10 + 6·⌈t − 1⌉). Conta corretamente as horas após a primeira, mas usa limite de R$ 60,00.
• ❌ C) C(t) = min(50, 10 + 6·(t − 1)). Cobra proporcionalmente ao tempo, embora cada hora adicional iniciada seja cobrada integralmente.
• ❌ D) C(t) = min(50, 10 + 6·⌊t − 1⌋). A função piso conta horas adicionais completas e não considera integralmente a hora já iniciada.
• ✅ E) C(t) = min(50, 10 + 6·⌈t − 1⌉). Conta para cima as horas iniciadas depois da primeira, soma a tarifa inicial e aplica o teto de R$ 50,00.

Gabarito: E. O ponto decisivo é aplicar o arredondamento ao tempo que excede a primeira hora, não ao tempo total. O operador min representa o limite máximo da cobrança.

3. Conta de energia acima de 100 kWh

Uma tarifa fictícia cobra R$ 30,00 para consumo de até 100 kWh. Acima de 100 kWh, cada quilowatt excedente custa R$ 0,50. Qual expressão calcula a conta para consumo c superior a 100 kWh?

• ❌ A) 30 + 0,5·(c − 80). Subtrai 80, embora a cobrança adicional comece acima de 100 kWh.
• ❌ B) 30 + 0,005·(c − 100). Usa R$ 0,005 por quilowatt, em vez de R$ 0,50.
• ✅ C) 30 + 0,5·(c − 100). Soma a parcela fixa ao custo dos quilowatts que ultrapassam 100.
• ❌ D) 0,5·(c − 100). Calcula o excedente corretamente, mas omite a parcela fixa de R$ 30,00.
• ❌ E) 30 + 0,5·c. Aplica a tarifa adicional a todo o consumo, não somente ao excedente.

Gabarito: C. A expressão c − 100 representa apenas o consumo que ultrapassa o limite. Essa leitura da variável é tão importante quanto a operação algébrica.

4. Imposto representado por uma função por partes

Um programa calcula o imposto sobre uma renda r, em reais, pelas regras: imposto zero para 0 ≤ r ≤ 2000; imposto igual a 10% de r para 2000 < r ≤ 5000; e imposto igual a 20% de r para r > 5000. Qual opção representa a função e seu domínio presumido?

• ❌ A) f(r) = 0 para r = 2000; 0,15r para 2000 < r ≤ 5000; e 0,25r para r > 5000. As porcentagens não correspondem às regras apresentadas.
• ❌ B) f(r) = 0 para r = 1000; 0,10r para r > 1000. Os limites e as faixas foram alterados.
• ❌ C) Inclui r negativo como entrada e aplica 10% entre zero e 2000. A regra não respeita a condição de imposto zero até 2000 nem o domínio de renda não negativa.
• ❌ D) Usa 0 para r < 2000, 10% para r > 2000 e 20% para r > 5000. As condições se sobrepõem e não definem corretamente a faixa intermediária.
• ✅ E) f(r) = 0 para 0 ≤ r ≤ 2000; 0,10r para 2000 < r ≤ 5000; 0,20r para r > 5000. O domínio presumido é r ≥ 0.

Gabarito: E. É importante preservar os limites informados e explicitar que a renda não pode ser negativa. A escrita por intervalos evita lacunas e sobreposições entre as regras.

5. Plano de dados móveis com franquia

Um plano custa R$ 50,00 por mês e inclui até 10 GB. Para consumo d superior a 10 GB, cada gigabyte excedente custa R$ 5,00. Qual expressão representa a fatura C(d)?

• ❌ A) 50 + 5d. Cobra R$ 5,00 sobre todo o consumo, não apenas sobre o que excede 10 GB.
• ❌ B) 45 + 5d. Altera o valor fixo e continua aplicando a cobrança ao consumo total.
• ✅ C) 50 + 5(d − 10). Mantém o custo fixo e cobra a tarifa extra somente pelo consumo acima da franquia.
• ❌ D) 5d + 10. Confunde o limite de 10 GB com o custo fixo de R$ 50,00.
• ❌ E) 5(d − 10). Calcula o excedente, mas deixa de incluir o valor mensal do plano.

Gabarito: C. A estrutura separa custo fixo e custo adicional. Ao avaliar a resposta, peça que a turma localize cada número no enunciado e explique o papel que desempenha.

6. Tarifa progressiva de água acima de 20 m³

Uma tarifa ilustrativa cobra R$ 2,00 por m³ nos primeiros 10 m³, R$ 3,00 por m³ entre 10 e 20 m³ e R$ 5,00 por m³ acima de 20 m³. Para x > 20, qual expressão calcula o custo total f(x)?

• ❌ A) f(x) = 5x + 50. Soma R$ 50,00 ao custo da faixa superior, em vez de incluir corretamente o custo das duas primeiras faixas.
• ❌ B) f(x) = 3x − 10. Usa a tarifa intermediária para representar todo o consumo acima de 20 m³.
• ✅ C) f(x) = 5x − 50. Os primeiros 20 m³ custam 10·2 + 10·3 = 50; o restante custa 5(x − 20), totalizando 5x − 50.
• ❌ D) f(x) = 2x. Estende a tarifa inicial a todo o consumo.
• ❌ E) f(x) = 5(x − 20). Calcula o custo do excedente, mas omite o que já foi pago pelas primeiras faixas.

Gabarito: C. Em uma tarifa progressiva por faixas, o total acima de 20 m³ inclui o custo acumulado das faixas anteriores e o custo dos metros cúbicos excedentes.

7. Relação entre uma função exponencial e sua inversa

Uma tabela associa n = 1, 2, 3, 4, 5 aos fatores x = 1/4, 1/2, 1, 2, 4. Uma rotina transforma n em x e outra recebe x e recupera n. Qual par de funções representa as rotinas A e B, nessa ordem?

• ❌ A) A: f(n) = 2ⁿ⁺³; B: g(x) = log₂(x) − 3. A expressão de A daria 64 quando n = 3, mas a tabela associa 3 ao fator 1.
• ❌ B) A: f(n) = 2ⁿ⁻³; B: g(x) = log₂(x) − 3. A função A corresponde à tabela, mas B(1) seria −3, não 3.
• ❌ C) A: f(n) = 2ⁿ − 3; B: g(x) = log₂(x + 3). O deslocamento fora do expoente faz a função A não reproduzir os valores da tabela.
• ✅ D) A: f(n) = 2ⁿ⁻³; B: g(x) = log₂(x) + 3. A primeira função reproduz os fatores; a segunda desfaz a relação e recupera n.
• ❌ E) A: f(n) = 2³⁻ⁿ; B: g(x) = 3 − log₂(x). A função A diminuiria quando n aumentasse, contrariando a tabela.

Gabarito: D. Para n = 3, temos x = 1; na inversa, log₂(1) + 3 = 3. Essa checagem também ajuda a distinguir log₂(x) + 3 de log₂(x + 3).

8. Extrapolação de uma quantidade acumulada

Uma cooperativa registrou 140 L de óleo reciclado ao final de 2 semanas, 200 L em 4 semanas, 260 L em 6, 320 L em 8 e 380 L em 10 semanas. Mantendo-se o padrão, em quantas semanas o volume atingirá 500 L?

• ❌ A) 16 semanas. Considera aumento de 20 L por semana; os 120 L restantes levariam 6 semanas, chegando a 16.
• ❌ B) 12 semanas. Trata os 60 L de aumento entre registros como se fossem acumulados em uma semana.
• ❌ C) 13 semanas. Usa, incorretamente, 40 L por semana para alcançar os 120 L restantes em três semanas.
• ✅ D) 14 semanas. O aumento é de 60 L a cada duas semanas, isto é, 30 L por semana. Faltam 120 L após a semana 10, o que corresponde a mais quatro semanas.
• ❌ E) 18 semanas. Considera aumento de 15 L por semana e, por isso, calcula oito semanas adicionais.

Gabarito: D. A diferença entre registros consecutivos é 60 L, mas os registros estão separados por duas semanas. Dividir pela duração do intervalo dá a taxa semanal correta.

Próximos passos

Use as questões conforme o foco da sua turma: progressões e taxa de variação, tarifas e funções por partes, ou funções inversas. Você também pode consultar questões da habilidade EM13MAT507, questões da habilidade EM13MAT404 e questões da habilidade EM13MAT403. Para organizar uma avaliação com outros itens, acesse o gerador de provas do GeraProva ou faça seu cadastro grátis.

As atividades podem ser adaptadas ao ritmo e ao planejamento da sua turma. Use o gabarito como apoio à discussão e explore o GeraProva para preparar novas versões da avaliação.