Atividades de análise de probabilidade de eventos aleatórios: eventos dependentes e independentes para o ENEM com gabarito

Quando ensino probabilidade para o ENEM, procuro levar a turma além da escolha de uma fórmula. O ponto decisivo costuma ser entender o que muda entre uma etapa e outra: houve reposição? A informação sobre um evento altera a chance do seguinte? Em situações com dados de pesquisas, testes ou sorteios, também preciso garantir que os estudantes identifiquem o universo considerado antes de calcular.

Organizei este material para usar como atividade, revisão orientada ou diagnóstico. As questões percorrem probabilidade experimental, interseção, independência, retirada sem reposição e probabilidade condicional. Ao corrigir, vale pedir que a turma explique não só qual alternativa está certa, mas também por que os denominadores e as condições mudam em cada caso.

O que o aluno de ENEM precisa saber sobre análise de probabilidade de eventos aleatórios: eventos dependentes e independentes

Para resolver questões de eventos dependentes e independentes, o estudante precisa reconhecer os eventos descritos, calcular suas probabilidades e observar se a ocorrência de um altera a chance do outro. Em eventos independentes, a probabilidade conjunta é o produto das probabilidades: P(A ∩ B) = P(A) · P(B). Já em eventos dependentes, usa-se a probabilidade condicional: P(A ∩ B) = P(A) · P(B|A). Um sorteio com reposição tende a manter a composição do conjunto; sem reposição, ela pode mudar. Também é importante distinguir interseção, probabilidade condicional e probabilidade total. A independência pode ser verificada comparando P(A ∩ B) com P(A)P(B), ou, quando apropriado, comparando P(B|A) com P(B). Em problemas com dados em tabela, o estudante deve identificar corretamente o total da amostra e os grupos envolvidos. Em questões de teste diagnóstico, precisa separar sensibilidade de probabilidade posterior e considerar a prevalência.

O que ele precisa saber antes

Antes de começar, reviso como calcular a probabilidade de um evento em casos equiprováveis e como interpretar uma frequência relativa. Também é útil que os estudantes saibam multiplicar frações e porcentagens e ler informações organizadas em categorias, como os dados de uma pesquisa. Para questões sem reposição, é necessário acompanhar a mudança no total de elementos e na quantidade favorável depois da primeira retirada.

Nas situações de probabilidade condicional, retomo a ideia de que uma informação pode restringir o universo considerado. Por exemplo, “entre os estudantes do grupo M” significa usar esse grupo como denominador, e não o total da pesquisa. Quando a questão pede P(A ∩ B), por outro lado, a referência é a amostra total. Essa distinção ajuda a turma a não trocar uma probabilidade conjunta por uma condicional.

Onde os alunos mais erram

Um erro recorrente neste conjunto de habilidades é aplicar a mesma regra a sorteios com e sem reposição. Se o primeiro elemento não volta ao conjunto, a composição muda; manter o mesmo denominador para a segunda etapa apaga justamente a dependência que o enunciado quer avaliar. Também pode haver confusão entre a probabilidade de cada evento e a probabilidade de os dois ocorrerem juntos: considerar apenas a chance de cara, por exemplo, não responde à pergunta sobre cara e seis simultaneamente.

Outro ponto delicado é reconhecer a condição de independência. A interseção existir não torna dois eventos independentes; é preciso verificar a igualdade P(A ∩ B) = P(A)P(B). Em tabelas, alguns estudantes podem usar o total de uma linha como denominador mesmo quando a questão pede uma probabilidade sobre toda a amostra. Em testes, um resultado positivo em 95% dos doentes não significa que 95% das pessoas com resultado positivo estejam doentes: são probabilidades condicionais diferentes. Por fim, em probabilidade experimental, inverter ocorrências e número de tentativas ou usar o número indicado na face do dado como divisor não produz frequência relativa.

Como trabalhar em sala

• Compare dois sorteios: use papelitos ou cartões numerados e faça uma rodada com reposição e outra sem. Antes do cálculo, peça que a turma diga o que muda na composição do conjunto.
• Peça uma justificativa curta: após cada resposta, solicite uma frase sobre a relação entre os eventos. “O segundo resultado depende do primeiro porque...” torna visível se a escolha da fórmula veio de uma leitura correta.
• Explore tabelas de dupla entrada: organize dados simples, como os grupos de uma pesquisa, e peça P(A), P(B), P(A ∩ B) e a comparação entre a interseção e o produto.
• Separe os denominadores: peça aos estudantes que sublinhem o universo de referência de cada probabilidade. Em seguida, compare a amostra total com o grupo condicionado.
• Faça correção por distrator: em vez de apenas informar o gabarito, discuta qual passo poderia gerar cada alternativa incorreta. Isso ajuda a localizar se a dificuldade está na leitura, no denominador ou na operação.

Questões prontas de análise de probabilidade de eventos aleatórios: eventos dependentes e independentes para o ENEM (com gabarito comentado)

Questão 1 — Vacinação e sorteio com ou sem reposição

Em uma pesquisa sobre a vacinação contra uma doença, uma equipe visitou uma residência com cinco moradores, dos quais três estavam vacinados. Para simular diferentes procedimentos de seleção, foram considerados dois cenários: no primeiro, o morador sorteado é recolocado antes do segundo sorteio, permitindo que a mesma pessoa seja sorteada novamente; no segundo, o morador sorteado não é recolocado, de modo que os dois moradores selecionados são necessariamente distintos. Determine a probabilidade de os dois moradores sorteados estarem vacinados em cada cenário e classifique a relação entre os eventos.

• ❌ A) Com reposição: 6/25 (0,24), independentes; sem reposição: 1/2 (0,50), dependentes. Usa 2/5 no segundo sorteio com reposição e combina inadequadamente as probabilidades no caso sem reposição.
• ✅ B) Com reposição: 9/25 (0,36), independentes; sem reposição: 3/10 (0,30), dependentes. Com reposição, (3/5)(3/5)=9/25. Sem reposição, depois de sair um vacinado, restam dois vacinados entre quatro: (3/5)(2/4)=3/10.
• ❌ C) Com reposição: 1/5 (0,20), independentes; sem reposição: 3/5 (0,60), dependentes. Confunde a probabilidade conjunta com um resultado específico e ignora a composição dos quatro restantes.
• ❌ D) Com reposição: 3/5 (0,60), dependentes; sem reposição: 1/5 (0,20), independentes. Considera só o primeiro sorteio no primeiro caso e inverte a classificação.
• ❌ E) Com reposição: 8/25 (0,32), dependentes; sem reposição: 2/5 (0,40), independentes. Os valores não representam os produtos corretos, e a relação de dependência foi trocada.

Gabarito comentado: A reposição conserva a proporção de vacinados e torna os eventos independentes; a retirada sem reposição muda o grupo disponível. A alternativa correta é B.

Questão 2 — Uso de tablet e curso on-line

Uma escola pesquisou 80 estudantes: 20 utilizavam tablet para estudar e participavam de curso on-line; 10 pertenciam apenas ao grupo que utilizava tablet; 15 apenas ao grupo que participava de curso; e 35 não pertenciam a nenhum grupo. Os eventos T (utilizar tablet) e O (participar de curso on-line) são independentes?

• ✅ A) Não: P(T ∩ O)=20/80=0,25, enquanto P(T)P(O)=(30/80)(35/80)=0,1640625. Como os valores diferem, não há independência.
• ❌ B) Sim, pois P(T ∩ O)=0,25. A interseção isolada não comprova independência; é necessário compará-la ao produto das probabilidades.
• ❌ C) Sim, pois P(T ∩ O)=P(T)P(O)=20/80. O produto é 0,1640625, não 0,25.
• ❌ D) Não é possível decidir porque não há informação sobre o número de entrevistados. O total de 80 está informado.
• ❌ E) Sim, porque eventos independentes são os que têm estudantes em comum. Ter interseção não vazia não define independência.

Gabarito comentado: T reúne 30 estudantes e O reúne 35. A comparação da interseção com P(T)P(O) mostra que os eventos não são independentes. Alternativa A.

Questão 3 — Aprovação e grupo de estudantes

Em uma avaliação com 100 estudantes, 40 eram do sexo masculino e 60 do feminino. Entre os primeiros, 24 foram aprovados; entre as estudantes, 36 foram aprovadas. Considere M = “o estudante selecionado é do sexo masculino” e A = “foi aprovado”. Determine se M e A são independentes e calcule P(M ∩ A).

• ✅ A) São independentes e P(M ∩ A)=24/100=0,24. P(A|M)=24/40=0,6 e P(A)=60/100=0,6; além disso, a interseção corresponde aos 24 aprovados do grupo M.
• ❌ B) Não são independentes, e a interseção é 24/100. A interseção está correta, mas as probabilidades condicionais e total de aprovação são ambas 0,6.
• ❌ C) São independentes e P(M ∩ A)=36/100. O 36 corresponde às aprovadas do grupo feminino, não à interseção pedida.
• ❌ D) Não são independentes e P(M ∩ A)=24/40. Essa fração é P(A|M), não a probabilidade conjunta sobre o total.
• ❌ E) São independentes e P(M ∩ A)=24/60. Para a interseção na amostra, o denominador é 100, não o total de aprovados.

Gabarito comentado: A taxa de aprovação entre homens coincide com a taxa geral, o que confirma a independência neste caso. A interseção é 24/100. Alternativa A.

Questão 4 — Probabilidade experimental em lançamentos

Uma turma realizou 200 lançamentos de um dado equilibrado e registrou a face 6 em 46 deles. Qual é a estimativa da probabilidade experimental de obter 6, usando a frequência relativa observada?

• ❌ A) 7,67. Divide as ocorrências pelo número da face, operação sem relação com a frequência relativa.
• ✅ B) 0,23. A frequência relativa é 46/200=0,23, ou 23%.
• ❌ C) 4,35. Inverte a razão e calcula 200/46.
• ❌ D) 2,00. Dividir o total de lançamentos por 100 não usa as ocorrências do evento.
• ❌ E) 0,46. Usa 100 como denominador, em vez dos 200 lançamentos observados.

Gabarito comentado: A estimativa experimental é o número de ocorrências dividido pelo total de observações. Portanto, 46/200=0,23. Alternativa B.

Questão 5 — Cara na moeda e seis no dado

Uma moeda equilibrada é lançada e, em seguida, um dado equilibrado. O resultado da moeda não interfere no resultado do dado. Se A é obter cara e B é obter 6, os eventos são independentes? Quanto vale P(A ∩ B)?

• ❌ A) Sim, e P(A ∩ B)=1/6. Considera apenas a probabilidade de sair 6, sem incluir cara.
• ✅ B) Sim, e P(A ∩ B)=1/12. Os eventos são independentes; (1/2)(1/6)=1/12.
• ❌ C) Não, e P(A ∩ B)=1/2. Esse valor considera somente cara e contradiz a informação de que as etapas não interferem.
• ❌ D) Não, e P(A ∩ B)=1/3. A dependência não decorre do experimento, e o valor não é o produto das probabilidades.
• ❌ E) Sim, e P(A ∩ B)=1/4. Trata o evento do dado como se também tivesse probabilidade 1/2, mas obter 6 tem probabilidade 1/6.

Gabarito comentado: A informação de que uma etapa não interfere na outra indica independência. Multiplicamos as probabilidades dos dois eventos. Alternativa B.

Questão 6 — Dois números primos sem reposição

São sorteados, sem reposição, dois números distintos do conjunto dos inteiros de 1 a 20. Um número primo possui exatamente dois divisores positivos: 1 e ele mesmo. Qual é a probabilidade de ambos serem primos e os eventos serem independentes?

• ❌ A) 7/19, e não são independentes. 7/19 é a probabilidade condicional do segundo ser primo dado que o primeiro foi primo, não a probabilidade conjunta.
• ✅ B) 14/95, e não são independentes. Há oito primos: (8/20)(7/19)=14/95. Sem reposição, P(B|A)=7/19 difere de P(B)=8/20.
• ❌ C) 7/50, e não são independentes. Usa 20 como denominador no segundo sorteio, embora um número já tenha sido retirado.
• ❌ D) 8/20, e são independentes. Essa é só a chance de um sorteio ser primo, e a retirada altera a composição.
• ❌ E) 16/95, e são independentes. Usa 8/19 como se o primeiro primo ainda estivesse disponível e classifica incorretamente os eventos.

Gabarito comentado: A lista de primos tem oito elementos. Após retirar um primo, restam sete entre 19 números; multiplicar as etapas resulta em 14/95. Alternativa B.

Questão 7 — Teste diagnóstico e probabilidade condicional

Uma doença está presente em 1% da população. Para quem tem a doença, o teste dá positivo em 95% dos casos. Para quem não tem a doença, dá negativo em 90% dos casos. Qual é a probabilidade de uma pessoa ter a doença dado que o teste deu positivo? Os eventos “ter a doença” e “resultado positivo” são independentes?

• ❌ A) P(D|+)=0,01. Mantém a prevalência inicial e não atualiza a probabilidade diante do resultado positivo.
• ❌ B) P(D|+)=0,95. Confunde sensibilidade, P(+|D), com P(D|+).
• ❌ C) P(D|+)=0,50 e os eventos são independentes. A probabilidade posterior não é arbitrária, e a especificidade não estabelece independência.
• ❌ D) P(D|+)=0,0095. Esse produto é P(D e +); para obter a condicional, é preciso dividir pela probabilidade total de positivo.
• ✅ E) P(D|+)≈0,0876, ou 8,76%; os eventos não são independentes. Como P(+|D)=0,95 e P(+|Dᶜ)=0,10, as condicionais diferem. P(+)=0,95·0,01+0,10·0,99=0,1085; logo P(D|+)=(0,95·0,01)/0,1085≈0,0876.

Gabarito comentado: Primeiro calculamos a probabilidade total de positivo, incluindo positivos verdadeiros e falsos positivos. Depois aplicamos Bayes. Alternativa E.

Questão 8 — Vacinação e efeitos colaterais

Uma reportagem indica que 30% da população está vacinada; entre os vacinados, 20% apresentaram efeitos colaterais. Se uma pessoa é escolhida ao acaso, qual é a probabilidade de ela estar vacinada e ter efeitos colaterais?

• ✅ A) 0,06 (6%). É um evento composto: 0,30·0,20=0,06.
• ❌ B) 0,30 (30%). Considera apenas a probabilidade de estar vacinada, sem incluir a condição dos efeitos.
• ❌ C) 0,20 (20%). Essa é a proporção com efeitos entre vacinados, não na população toda.
• ❌ D) 0,05 (5%). Não resulta do produto das proporções informadas.
• ❌ E) 0,10 (10%). Não incorpora corretamente a proporção de vacinados e a probabilidade condicional de efeitos.

Gabarito comentado: A chance conjunta é a probabilidade de vacinação multiplicada pela chance de efeitos entre vacinados: 30% de 20%, ou 6%. Alternativa A.

Próximos passos para sua revisão

Você pode aplicar as questões em blocos: primeiro frequência relativa e multiplicação, depois independência e dependência, e por fim probabilidade condicional. Peça que os estudantes registrem o universo de cada cálculo e justifiquem a classificação dos eventos. Para ampliar a prática, acesse questões da habilidade EM13MAT312, questões da habilidade EM13MAT511 e questões da habilidade EM13MAT311. Também é possível montar uma avaliação no gerador de provas do GeraProva e fazer o cadastro grátis.

Use este material como ponto de partida e adapte a seleção ao ritmo da sua turma. No GeraProva, você pode criar e ajustar atividades para apoiar seu planejamento.