Projete a bobina de um motor CC de uma única bobina retangular (N voltas, área A = 4,0×10^-4 m²) alimentado…

Questão

Projete a bobina de um motor CC de uma única bobina retangular (N voltas, área A = 4,0×10^-4 m²) alimentado por fonte V = 12,0 V, cujo rotor tem momento de inércia I_rot = 5,0×10^-2 kg·m². A bobina gira em campo magnético uniforme B = 0,15 T; a resistência total da bobina é R = N·r, com r = 2,0×10^-5 O/volta. Determinar o número de voltas N necessário para que o rotor atinja ? = 200 rad/s em t = 0,50 s a partir do repouso. Considere torque t = N·I·A·B (t em N·m), força contra-eletromotriz E = N·A·B·? (E em V) e I = (V-E)/R. Forneça equações e cálculos.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Modelagem e solução: 1) Relações fundamentais: t = N·I·A·B ; E = N·A·B·? ; R = N·r ; I = (V-E)/R. 2) Equação do movimento rotacional: I_rot·(d?/dt) = t = N·A·B·(V-N·A·B·?)/(N·r) = (A·B/r)·(V - N·A·B·?). Reescrevendo: d?/dt + (N·A^2·B^2)/(r·I_rot)·? = (A·B·V)/(r·I_rot). Solução (condição ?(0)=0): ?(t) = ?_ss·(1 - exp(-t/t_e)), onde ?_ss = V/(N·A·B) e t_e = r·I_rot/(N·A^2·B^2). 3) Impor ?(t) = ?_req dá equação transcendente para N: ?_req = V/(N·A·B) · (1 - exp(-t·N·A^2·B^2/(r·I_rot))). 4) Substituir dados: V=12, A=4,0×10^-4 m², B=0,15 T, r=2,0×10^-5 O/volta, I_rot=5,0×10^-2 kg·m², t=0,50 s, ?_req=200 rad/s. Calcule K = A·B = 4,0×10^-4·0,15 = 6,0×10^-5. A^2·B^2 = (6,0×10^-5)^2 = 3,6×10^-9. A forma reduzida: 200 = (12/(N·6,0×10^-5))·(1 - exp(-0,0018·N)), que simplifica para N/1000 = 1 - exp(-0,0018·N). 5) Resolver numericamente (método iterativo ou gráfico) fornece N ˜ 7,32×10^2 voltas (N ˜ 732). 6) Verificação e cálculos auxiliares: - Corrente inicial (?˜0): I0 ˜ V/(N·r) = 12/(732·2,0×10^-5) ˜ 8,20×10^2 A. - Torque inicial: t0 = N·I0·A·B ˜ 732·820·6,0×10^-5 ˜ 3,6×10^1 N·m. - Aceleração angular inicial: a0 = t0/I_rot ˜ 36/0,05 ˜ 7,2×10^2 rad/s². Observações práticas: o resultado mostra N ˜ 7,3×10^2 voltas, mas a corrente inicial muito elevada (~8,2×10^2 A) é impraticável sem projeto de fio de baixa resistência e controle; em projeto real deve-se ajustar r (seção do fio), número de voltas, engrenagens ou usar controle de corrente para obter parâmetros compatíveis com limites térmicos e elétricos.

Explicação

A solução apresentada utiliza as equações fundamentais do motor CC para relacionar torque, força contra-eletromotriz e corrente, permitindo determinar o número de voltas necessário para atingir a velocidade desejada. A abordagem inclui a substituição de dados e a simplificação da equação, resultando em uma relação que pode ser resolvida numericamente. Além disso, a análise dos resultados fornece insights sobre a viabilidade prática do projeto, considerando a corrente inicial e suas implicações.

Raio-X da questão

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