Transformações geométricas: exercícios resolvidos e comentados

Quando comecei a trabalhar transformações geométricas, percebi que muitos alunos decoravam as regras, mas se confundiam assim que uma questão combinava duas ou três operações. Na minha turma, ajudou bastante pedir que acompanhassem um ponto da figura antes de tentar transformar o desenho inteiro. Assim, rotação, reflexão, translação e homotetia deixaram de parecer nomes soltos e passaram a descrever movimentos que eles conseguiam verificar.

Também aprendi que a ordem importa: aplicar uma reflexão e depois uma translação pode produzir um resultado diferente de inverter essas etapas. Reuni aqui seis exercícios resolvidos, com alternativas e comentários dos distratores, para você adaptar ao seu planejamento. As questões incluem habilidades da BNCC e diferentes níveis de raciocínio; eu as uso tanto para discutir estratégias quanto para identificar em que etapa a turma está errando.

O que são transformações geométricas e como diferenciar cada tipo?

Transformações geométricas são operações que levam pontos de uma figura a novas posições no plano, podendo conservar ou alterar medidas e orientação. Na translação, todos os pontos se deslocam pelo mesmo vetor; na rotação, giram em torno de um centro por determinado ângulo; na reflexão, cada ponto aparece do outro lado de um eixo, à mesma distância. Essas três são isometrias: preservam comprimentos e forma. Já a homotetia amplia ou reduz a figura em relação a um centro, multiplicando as distâncias por uma razão k. Se k=2, os lados dobram; se k=1/2, ficam pela metade. Para ensinar, eu marco um vértice e acompanho suas coordenadas antes e depois da operação. Também peço que a turma observe o que permanece igual. Essa comparação concreta ajuda a distinguir uma figura apenas deslocada de uma figura ampliada e prepara os alunos para analisar composições, como as cobradas na habilidade EM13MAT105.

Uma tabela no quadro pode organizar as ideias: translação muda a posição; rotação muda a orientação em torno de um centro; reflexão produz uma imagem espelhada; e homotetia altera o tamanho proporcionalmente. Vale reforçar que rotação, reflexão e translação preservam distâncias, enquanto a homotetia geralmente não.

Como resolver composições de transformações no plano?

Para resolver uma composição, eu leio a ordem indicada e aplico cada transformação, uma de cada vez, aos mesmos pontos. Primeiro registro as coordenadas iniciais; depois atualizo cada ponto após a primeira operação e só então avanço para a próxima. Por exemplo, uma rotação de 90° anti-horária em torno da origem segue (x,y)→(−y,x), enquanto a horária segue (x,y)→(y,−x). Refletir na reta x=a transforma (x,y) em (2a−x,y). Uma translação pelo vetor (u,v) soma u à abscissa e v à ordenada. Na homotetia de centro C, uso C+k(X−C). Conferir dois ou três vértices evita confiar apenas na aparência do desenho. Também verifico se as medidas finais fazem sentido: uma escala de razão 2 dobra os lados, mas uma isometria não. Se a questão descreve um processo, a ordem do enunciado é parte da resposta, não um detalhe. Esse passo a passo torna os erros mais visíveis e facilita uma correção comentada.

Quando os alunos erram, costumo pedir que expliquem o que aconteceu com um ponto específico. Se ele não chegou à coordenada esperada, a turma consegue localizar se houve confusão no sentido da rotação, no eixo de reflexão ou na ordem. Para praticar, você pode gerar e adaptar atividades na página inicial do GeraProva e fazer seu cadastro grátis.

Questões prontas com gabarito comentado

As seis questões abaixo permitem trabalhar leitura de enunciado, coordenadas e composição de movimentos, em níveis diferentes. Eu recomendo pedir que os estudantes justifiquem cada etapa, em vez de marcar somente uma alternativa. Nas questões com pontos no plano, confira pelo menos um vértice em cada transformação; nas situações descritas verbalmente, destaque palavras como “horário”, “espelho”, “dobrar” e “depois”. Esse cuidado ajuda a separar uma resposta correta por compreensão de um acerto por tentativa. As questões também trazem referências à BNCC, conceitos centrais e dicas de resolução para apoiar a retomada. Você pode aplicá-las como revisão, usar alguns itens como sondagem ou selecionar apenas os distratores que revelam as dificuldades mais comuns da sua turma. A seguir, mantenho as alternativas comentadas, inclusive explicando por que as opções incorretas não atendem às condições do enunciado.

1. Qual sequência transforma ABC no triângulo A'B'C'?

Durante as expedições cartográficas de 1840, equipes registraram um triângulo ABC no plano, com vértices próximos ao marco zero. Para marcar uma nova área, o coordenador definiu A'B'C', com lados duas vezes maiores, orientação obtida por rotação de 90° no sentido horário e deslocamento de três unidades a leste e duas ao norte. Qual sequência reproduz a figura?

BNCC: EM13MAT105. Bloom: Criar. Conceito central: transformações isométricas e homotéticas. Dica de resolução: analise a ordem e os efeitos das operações. Para revisar: rotação, homotetia e translação.

• ❌ A) Rotação anti-horária, homotetia 2 e translação. O sentido está invertido: o enunciado determina rotação horária.
• ❌ B) Homotetia 1/2, rotação horária e translação. A escala reduz a figura, mas os lados finais devem dobrar.
• ❌ C) Homotetia e rotação com centro em A. Os centros indicados são a origem, não o vértice A.
• ✅ D) Homotetia de centro na origem e razão 2, rotação horária de 90° em torno da origem e translação três unidades a leste e duas ao norte. Amplia, orienta e posiciona a figura conforme pedido.
• ❌ E) Translação, rotação e homotetia. A sequência troca a ordem definida para escala e rotação, alterando o resultado final.

2. Qual sequência produz exatamente os vértices P'(9,8), Q'(9,10) e R'(7,8)?

O triângulo PQR tem vértices P(1,1), Q(2,1) e R(1,2). O sistema aplica operações para compor uma identidade visual e registra como resultado P'(9,8), Q'(9,10) e R'(7,8). Qual sequência de transformações reproduz essas coordenadas?

BNCC: EM13MAT105. Bloom: Entender. Conceito central: transformações geométricas planas. Dica: aplique as operações e confira as coordenadas. Para revisar: rotação, homotetia e translação no plano cartesiano.

• ❌ A) Translação (6,3), rotação anti-horária e homotetia de razão 2, centro C(1,0). Transladar antes muda o efeito da rotação e não gera os pontos registrados.
• ✅ B) Rotação anti-horária de 90° na origem, translação (6,3) e homotetia de razão 2 com centro C(1,0). A rotação produz (−1,1), (−1,2), (−2,1); a translação, (5,4), (5,5), (4,4); e a homotetia dá os vértices finais. Como o centro não é a origem, a ordem importa.
• ❌ C) Rotação horária, translação e homotetia. O sentido da rotação não corresponde às coordenadas finais.
• ❌ D) Rotação anti-horária, homotetia e translação. A homotetia deveria ocorrer depois da translação.
• ❌ E) Homotetia, rotação e translação. Antecipar a homotetia em relação à rotação altera as coordenadas, pois seu centro não coincide com a origem.

3. Que transformações levam a posição A até a posição D?

Na posição A, um triângulo tem vértices (0,1), (1,1) e (0,2). As posições seguintes são B: (4,1), (5,1), (4,2); C: (1,−4), (1,−5), (2,−4); e D: (−1,−4), (−1,−5), (−2,−4). Cada posição vem da anterior por uma transformação. Qual sequência leva de A a D?

BNCC: EM13MAT105. Bloom: Aplicar. Conceito central: transformações geométricas no plano. Dica: siga a ordem indicada pelas posições. Para revisar: translação, rotação e reflexão.

• ✅ A) Transladar 4 unidades à direita, girar 90° no sentido horário e refletir no eixo y. A→B soma 4 a x; B→C segue (x,y)→(y,−x); C→D troca o sinal de x.
• ❌ B) Transladar à esquerda, depois girar e refletir. O ponto (0,1) vai para (4,1), portanto a primeira translação é à direita.
• ❌ C) Girar, transladar à direita e refletir. A comparação entre A e B mostra que a translação deve vir primeiro.
• ❌ D) Refletir, transladar e girar. A primeira etapa observada é um acréscimo de 4 nas abscissas, não uma reflexão.
• ❌ E) Transladar, refletir e girar. Troca a ordem das duas últimas etapas; transformações não podem ser permutadas livremente.

4. Qual composição leva a impressão P até Q?

Uma artesã usa um molde em forma de seta assimétrica e risca uma reta-guia vertical. O centro da impressão P está 3 cm à esquerda da reta. Ela quer uma impressão Q na mesma altura, como a imagem de P em um espelho sobre a reta-guia, e com centro 9 cm à direita. Qual composição deve usar?

BNCC: EF08MA18. Bloom: Entender. Conceito central: composições de transformações. Dica: analise a reflexão e a translação. Para revisar: reflexão e translação no plano.

• ❌ A) Rotação de 180° e translação de 6 cm à direita. Girar não produz a imagem espelhada pedida.
• ❌ B) Refletir numa reta horizontal e transladar 6 cm. O eixo deve ser vertical; o horizontal altera a posição para cima ou para baixo.
• ❌ C) Refletir na guia e transladar 12 cm. Após refletir, o centro já fica 3 cm à direita; 12 cm o levariam a 15 cm.
• ❌ D) Transladar 6 cm e depois refletir. O centro passa a 3 cm à direita e retorna a 3 cm à esquerda.
• ✅ E) Refletir na reta-guia e transladar 6 cm à direita. A reflexão leva o centro a 3 cm à direita; a translação completa os 9 cm.

5. Qual composição gera as cópias do triângulo equilátero?

Em uma oficina de arte, um triângulo equilátero de lado 2 cm é a peça central de um padrão. Para produzir cada cópia, o artesão gira o triângulo original 120° no sentido horário, em torno do centro, e depois dobra o comprimento de todos os lados, que passam a medir 4 cm. Qual composição foi aplicada?

BNCC: EM13MAT105. Bloom: Analisar. Conceito central: rotação e homotetia. Dica: relacione as operações e a razão de ampliação. Para revisar: rotação e homotetia.

• ❌ A) Rotação horária de 120° e homotetia de razão 4. A razão é 4/2=2, não 4.
• ✅ B) Rotação horária de 120°, seguida de homotetia de razão 2. O ângulo corresponde ao giro descrito e a razão dobra o lado de 2 cm para 4 cm.
• ❌ C) Rotação anti-horária e homotetia 2. A escala está certa, mas o sentido do giro foi trocado.
• ❌ D) Rotação horária de 60° e homotetia 2. O ângulo informado é 120°, não 60°.
• ❌ E) Homotetia 2 antes da rotação. A alternativa inverte as etapas descritas pelo artesão.

6. Que transformações levam A, B e C aos pontos indicados?

Uma grafiteira marcou A(1,1), B(4,1) e C(2,3) no símbolo original. Após um comando composto, obteve A'(7,3), B'(4,3) e C'(6,5). Para reproduzir o efeito com régua e esquadro, qual sequência de transformações deve aplicar a qualquer ponto do desenho?

BNCC: EF08MA18. Bloom: Analisar. Conceito central: composição de transformações. Dica: aplique cada operação aos três pontos. Para revisar: reflexão em retas verticais, translação e ordem.

• ❌ A) Refletir em y=3 e transladar 2 à direita. A transforma-se em (1,5) e depois (3,5), não em (7,3).
• ❌ B) Girar 180° em (4,2) e subir 2. A vai a (7,3)? A rotação dá (7,3), mas subir 2 leva a (7,5), diferente do destino.
• ❌ C) Refletir em x=3 e subir 2. A passa a (5,1) e depois (5,3), não (7,3).
• ❌ D) Refletir em x=4 e mover 2 à direita. A passa a (7,1) e depois (9,1), não (7,3).
• ✅ E) Refletir em x=4 e transladar 2 para cima. A reflexão aplica (x,y)→(8−x,y); depois, somamos 2 a y. Assim, A vai a (7,3), B a (4,3) e C a (6,5).

Na correção, eu costumo pedir que cada aluno escolha um distrator e explique qual dado do enunciado o elimina. Esse exercício revela se ele compreendeu o movimento ou apenas reconheceu uma palavra-chave. Se quiser montar uma lista com outros níveis de dificuldade e gabarito, experimente as ferramentas do GeraProva para economizar tempo na preparação.

As questões podem ser adaptadas ao nível e ao contexto da sua turma. Se fizer sentido para seu planejamento, teste o GeraProva e explore maneiras de criar atividades com mais agilidade, sem abrir mão da sua revisão pedagógica.