Questões Enem: grandezas diretamente e inversamente proporcionais

Eu já corrigi muita questão em que o estudante aplicou regra de três porque viu dois números no enunciado, sem antes perguntar se havia proporcionalidade. Em grandezas diretamente e inversamente proporcionais, esse é o tropeço mais comum — e ele aparece tanto no Ensino Fundamental quanto em questões com cara de Enem.

Na minha prática, passou a funcionar melhor propor situações curtas, pedir que a turma justifique a relação e só depois calcular. Assim, eu consigo enxergar quem compreendeu a razão constante, quem percebeu o produto constante e quem apenas decorou um procedimento.

Como identificar grandezas diretamente e inversamente proporcionais?

Para identificar a relação, eu observo o que permanece constante: em grandezas diretamente proporcionais, o quociente entre os valores correspondentes é fixo, como em y = 3x; se uma grandeza dobra, a outra também dobra. Em grandezas inversamente proporcionais, o produto é constante: ao dobrar o número de pessoas em uma tarefa fixa, o tempo cai pela metade. Mas aumentar junto ou diminuir em sentidos opostos não basta para afirmar proporcionalidade; é preciso haver uma taxa ou produto invariável. Essa distinção é central na habilidade EF08MA12. No GeraProva, eu posso buscar ou gerar itens por habilidade e variar o contexto — trabalho, transporte, geometria — para verificar se a turma reconhece a estrutura matemática, e não apenas uma história já conhecida.

Um roteiro que eu uso antes da conta

• Direta: teste se y/x se mantém constante.
• Inversa: teste se x·y se mantém constante.
• Não proporcional: desconfie de relações reais em que muitos fatores interferem, como altura e peso ou horas de estudo e nota.
• Quadrática: quando uma grandeza depende do quadrado da outra, como área de quadrado e lado, teste A/l².

Eu também peço uma frase antes do cálculo: “quando uma aumenta, a outra...”. Isso não prova tudo, mas obriga o estudante a interpretar a situação.

Como avaliar proporcionalidade na prática?

Eu avalio proporcionalidade com uma sequência de três movimentos: classificação da relação, justificativa com razão ou produto e representação por tabela, expressão ou gráfico. Em uma atividade de 8 a 10 itens, costumo equilibrar 3 casos de proporcionalidade direta, 3 de inversa e 2 ou 4 relações não proporcionais; assim, a turma não cria a falsa expectativa de que todo problema aceita regra de três. Também alterno questões objetivas e uma ou duas abertas, nas quais o aluno explica o critério usado. O GeraProva ajuda porque entrega questões associadas à BNCC, ao nível de Bloom e à dificuldade, o que facilita montar uma avaliação que vá de aplicar a analisar. Para a correção, eu olho especialmente os distratores: eles revelam se o erro foi de leitura, de operação ou de conceito.

Critérios simples de correção

• Reconhece a grandeza que varia e a que depende dela.
• Usa razão constante ou produto constante de modo justificável.
• Diferencia correlação cotidiana de proporcionalidade matemática.
• Lê o gráfico sem confundir reta crescente com qualquer relação proporcional.

Para montar variações rápidas desses critérios, eu uso a página inicial do GeraProva como ponto de partida e ajusto o comando à realidade da minha turma.

Questões prontas com gabarito comentado

As seis questões abaixo formam uma progressão útil para trabalhar grandezas diretamente e inversamente proporcionais com evidências pedagógicas concretas. Elas cobrem identificação de relações não proporcionais, interpretação de contextos, verificação por produto constante, expressão algébrica, leitura de gráfico e proporcionalidade quadrática. Eu as aplicaria em dois momentos: primeiro, as questões 1 a 5 para consolidar a habilidade EF08MA12; depois, a questão 6 como ampliação para EM13MAT314. Cada item traz dificuldade, nível de Bloom e código BNCC, dados que me ajudam a decidir se ele serve para diagnóstico, prática ou avaliação. Mais importante: os comentários de cada alternativa mostram onde está o raciocínio equivocado, permitindo uma devolutiva mais precisa do que simplesmente informar a letra correta.

1. Altura, peso, estudo e nota

Enunciado: Identifique se as grandezas a seguir são diretamente proporcionais, inversamente proporcionais ou não proporcionais: altura e peso de uma pessoa e o número de horas de estudo e a nota em uma prova.

• ❌ A) Altura e peso são não proporcionais; horas e nota são proporcionais. Mais estudo não garante aumento da nota sempre na mesma proporção.
• ❌ B) Ambas são diretamente proporcionais. Nenhuma relação mantém razão constante garantida.
• ❌ C) Ambas são inversamente proporcionais. Não há produto constante entre as grandezas.
• ✅ D) Altura e peso são não proporcionais; horas e nota são não proporcionais. Nenhuma das relações tem proporcionalidade fixa.
• ❌ E) Altura e peso são diretamente proporcionais; horas e nota são não proporcionais. Altura e peso não mantêm razão constante.

Dica de resolução: Verifique se uma grandeza varia sempre em razão constante ou inversa da outra. Conceito central: Grandezas proporcionais e não proporcionais. Para revisão: critérios de proporcionalidade direta e inversa e diferença entre associação e proporcionalidade. BNCC: EF08MA12. Bloom: Analisar.

2. Transporte, trabalhadores e tempo

Enunciado: Em uma empresa de transporte, a distância dobra e o combustível também dobra; ao dobrar os trabalhadores da carga, o tempo de carregamento cai pela metade; peso e potência aumentam sem fator constante. Qual par apresenta variação inversamente proporcional?

• ✅ A) Número de trabalhadores e tempo de carregamento. Dobrar trabalhadores reduz o tempo pela metade.
• ❌ B) Distância percorrida e tempo de carregamento. O texto não relaciona essas grandezas.
• ❌ C) Tempo de carregamento e combustível consumido. Não há relação indicada entre elas.
• ❌ D) Peso da carga e potência exigida do motor. Há relação, mas sem constante de proporcionalidade.
• ❌ E) Distância percorrida e combustível consumido. Elas são diretamente proporcionais, pois dobram juntas.

Dica de resolução: Identifique a relação em que dobrar uma grandeza reduz a outra à metade. Conceito central: variação inversamente proporcional. Para revisão: características da variação inversa. BNCC: EF08MA12. Bloom: Aplicar.

3. Voluntários e montagem do palco

Enunciado: Com 5 pessoas, a montagem leva 8 dias; com 10, leva 4 dias; com 20, leva 2 dias. Identifique a natureza da relação entre voluntários e tempo, para a mesma quantidade de trabalho.

• ❌ A) Diretamente proporcional. Na direta, ambas aumentam ou diminuem juntas.
• ❌ B) Não proporcional e crescente. O tempo diminui quando aumentam os voluntários.
• ❌ C) Não proporcional e decrescente. A queda segue padrão inverso, não é apenas decrescente.
• ❌ D) Não se relacionam, pois o tempo é constante. O tempo varia de 8 para 4 e 2 dias.
• ✅ E) Inversamente proporcional. Os produtos 5×8, 10×4 e 20×2 são todos 40.

Dica de resolução: Multiplique o número de voluntários pelo tempo em cada caso. Conceito central: grandezas inversamente proporcionais. Para revisão: proporcionalidade direta e inversa. BNCC: EF08MA12. Bloom: Aplicar.

4. A expressão y = 3x

Enunciado: Dadas as grandezas X e Y, onde Y = 3X, determine a natureza da relação entre elas.

• ✅ A) Diretamente proporcionais. A razão Y/X é sempre 3.
• ❌ B) Inversamente proporcionais. Na inversa, uma aumenta enquanto a outra diminui.
• ❌ C) Não proporcionais. A expressão estabelece uma relação fixa.
• ❌ D) Constantes. X e Y variam; uma depende da outra.
• ❌ E) Relativas. Isso não caracteriza a relação matemática apresentada.

Dica de resolução: Analise a relação fixa entre as variáveis. Conceito central: relação entre grandezas. Para revisão: proporcionalidade direta. BNCC: EF08MA12. Bloom: Aplicar.

5. O gráfico de y = 3x

Enunciado: Dadas as grandezas x e y, onde y = 3x, represente graficamente essa relação em um plano cartesiano.

• ❌ A) Gráfico linear que não passa pela origem. Como x = 0 produz y = 0, ele passa pela origem.
• ❌ B) Gráfico exponencial. A relação é linear.
• ✅ C) Gráfico linear que passa pela origem. É uma reta de proporcionalidade direta.
• ❌ D) Gráfico circular. Não há relação circular na expressão.
• ❌ E) Gráfico aleatório. Os pontos seguem um padrão linear.

Dica de resolução: Calcule pares como (0,0), (1,3) e (2,6). Conceito central: função linear. Para revisão: representação de funções lineares. BNCC: EF08MA12. Bloom: Aplicar.

6. Área de tampos quadrados

Enunciado: Uma marcenaria compara a área A de tampos quadrados com o lado l da peça. Qual razão permanece constante e confirma que A é diretamente proporcional ao quadrado de l?

• ❌ A) A/l. Os valores 1, 2, 3, 4 e 5 não são constantes.
• ❌ B) A - l. Os resultados 0, 2, 6, 12 e 20 variam.
• ❌ C) l/A. A razão cai de 1 para 0,2.
• ✅ D) A/l². Para todos os dados, A/l² = 1.
• ❌ E) A²/l. Os valores crescem e não permanecem fixos.

Dica de resolução: Compare a área com o quadrado do lado, não apenas com o lado. Conceito central: proporcionalidade direta quadrática. Para revisão: área do quadrado e proporcionalidade direta. BNCC: EM13MAT314. Bloom: Analisar.

Como montar uma prova equilibrada sobre proporcionalidade?

Para montar uma prova equilibrada, eu começaria com 6 a 10 questões e distribuiria os objetivos: duas de identificação, duas de cálculo ou verificação, uma de gráfico e uma de situação não proporcional. Em turmas que ainda confundem direta e inversa, eu incluiria uma tabela com valores e pediria explicitamente a razão ou o produto; para turmas mais avançadas, acrescentaria relações quadráticas, como a área do quadrado. Também evito usar apenas contextos de trabalho, pois isso pode induzir respostas por memória. Com o cadastro grátis, dá para testar o GeraProva e montar versões com dificuldade, BNCC e Bloom selecionados, poupando tempo de diagramação e preservando meu foco na devolutiva pedagógica.

Antes de aplicar, eu reviso três pontos: se há dados suficientes, se apenas uma alternativa está inequivocamente correta e se o distrator corresponde a um erro plausível. Depois, na correção, agrupo os erros por padrão para retomar exatamente o conceito necessário.