Probabilidade da união de dois eventos: exercícios resolvidos

Eu já percebi que a união de eventos parece simples até aparecer o caso em que os dois acontecimentos ocorrem ao mesmo tempo. Na minha turma, o erro mais frequente é somar duas probabilidades e esquecer que a parte comum foi contada duas vezes. Por isso, prefiro alternar diagramas, tabelas e situações de sorteio antes de cobrar a fórmula.

Também aprendi que bons exercícios não avaliam só uma conta. Eles mostram se o estudante distingue “A ou B”, “A e B”, independência e probabilidade condicional. Abaixo reuni questões que eu usaria como diagnóstico e comentários que ajudam a transformar cada alternativa errada em conversa matemática.

Como calcular a probabilidade da união de dois eventos?

Para calcular a probabilidade de ocorrer o evento A ou o evento B, eu uso a regra P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B). A subtração da interseção é indispensável quando os eventos podem acontecer juntos, pois evita duplicar essa região na contagem. Se A e B forem mutuamente exclusivos, então P(A ∩ B)=0 e basta somar. Com eventos independentes, a interseção pode ser obtida por P(A)·P(B), mas independência não significa ausência de interseção: dois eventos independentes podem ocorrer simultaneamente. No GeraProva, eu consigo selecionar habilidade, dificuldade e nível cognitivo para montar uma sequência que começa na leitura de “ou” e chega a problemas sucessivos, sem depender de uma lista aleatória.

Eu costumo escrever no quadro uma tradução curta:

• união (A ∪ B): acontece A, B ou ambos;
• interseção (A ∩ B): acontecem A e B simultaneamente;
• complemento: não acontece o evento considerado.

Quando o espaço amostral é pequeno, listar os resultados ou desenhar um diagrama de Venn impede que a fórmula vire decoração.

Como avaliar a união de eventos na prática?

Para avaliar união de eventos na prática, eu proponho de 4 a 6 itens com representações diferentes e observo o procedimento, não apenas a resposta final. Incluo uma questão de dados em tabela, uma de dois lançamentos, uma em que os eventos são mutuamente exclusivos e outra que exige descontar a interseção. Assim descubro se o estudante sabe identificar P(A ∩ B), se confunde “ou” com soma simples e se reconhece o complemento como estratégia. Em uma questão de dado lançado duas vezes, por exemplo, o aluno pode calcular diretamente 1/6+1/6−1/36 ou usar o complemento de “não sair 1 em nenhuma vez”. As duas trilhas são válidas. Com o GeraProva, eu organizo itens por BNCC e Bloom, o que deixa a avaliação mais coerente com o objetivo.

Na correção, eu marco três sinais de atenção:

• somou probabilidades sem verificar a sobreposição;
• confundiu pelo menos um com exatamente um;
• usou produto em uma situação que pede união.

Esses erros orientam minha retomada melhor do que uma revisão genérica de fórmulas.

Questões prontas com gabarito comentado

As seis questões a seguir formam uma progressão útil para trabalhar probabilidade da união, interseção e independência. Elas trazem BNCC, nível de Bloom, conceito central e distratores explicados, dados que eu considero valiosos para identificar a origem do erro. Eu começaria pelas relações de independência, passaria pela regra do produto e fecharia com a união de eventos. Mesmo as questões que pedem interseção ajudam diretamente a ensinar a fórmula da união, porque é justamente P(A ∩ B) que precisa ser retirada da soma. No GeraProva, esse tipo de informação pedagógica evita que eu escolha itens apenas pelo tema: consigo equilibrar dificuldade média, aplicação e análise em uma mesma prova.

1. Primos em dois sorteios sem reposição

Em uma atividade de Matemática sobre a segurança de códigos numéricos, uma turma sorteia, sem reposição, dois números distintos do conjunto de 1 a 20. A é “o primeiro número é primo” e B é “o segundo número é primo”. Assinale a alternativa correta sobre a probabilidade de ambos serem primos e a independência.

• ❌ A) 7/19; é apenas P(B|A), não a probabilidade conjunta.
• ✅ B) 14/95, e A e B não são independentes; há 8 primos, então (8/20)·(7/19)=14/95, e 7/19≠8/20.
• ❌ C) 7/50; usa 20 no segundo denominador, ignorando a retirada.
• ❌ D) 8/20; calcula somente um sorteio e afirma independência indevida.
• ❌ E) 16/95; mantém 8 primos no segundo sorteio, como se houvesse reposição.

Dica de resolução: conte os 8 primos e atualize o conjunto após o primeiro sorteio. Conceito central: probabilidade de eventos. Conceito para revisão: independência. BNCC: EM13MAT312. Bloom: Analisar.

2. Cara em dois lançamentos

Uma moeda honesta é lançada duas vezes. A é “cara no primeiro lançamento” e B é “cara no segundo”. Qual relação é adequada?

• ✅ A) São independentes; o primeiro resultado não altera a chance de cara no segundo, que permanece 1/2.
• ❌ B) São dependentes; sequência de lançamentos não cria dependência em moeda honesta.
• ❌ C) São complementares; cara no primeiro não determina coroa no segundo.
• ❌ D) A é necessária para B; coroa-cara mostra que B pode ocorrer sem A.
• ❌ E) São mutuamente exclusivos; cara-cara permite a ocorrência simultânea.

Dica de resolução: pergunte se um resultado muda a chance do outro. Conceito central: independência de eventos. Conceito para revisão: eventos dependentes. BNCC: EM13MAT511. Bloom: Compreensão.

3. Pelo menos um 1 no dado

Um dado justo é lançado duas vezes. A é “o primeiro lançamento mostra 1” e B é “o segundo mostra 1”. Qual é a probabilidade de ocorrer pelo menos um desses eventos?

• ❌ A) 5/36; corresponde a uma leitura inadequada de exatamente um.
• ❌ B) 25/36; é a probabilidade de não ocorrer nenhum 1.
• ❌ C) 1/6; considera apenas um lançamento.
• ✅ D) 11/36; P(A∪B)=1/6+1/6−1/36.
• ❌ E) 1/3; soma os eventos e esquece a interseção.

Dica de resolução: some os casos e retire a interseção. Conceito central: união de eventos independentes. Conceito para revisão: união e interseção. BNCC: EM13MAT312. Bloom: Aplicação.

4. Aprovação e sexo masculino

Em 100 estudantes, 40 eram do sexo masculino e 60 do feminino; foram aprovados 24 do sexo masculino e 36 do feminino. M é “sexo masculino” e A é “aprovado”. Determine independência e P(M ∩ A).

• ✅ A) São independentes e P(M∩A)=24/100=0,24; P(A|M)=24/40=0,6=P(A).
• ❌ B) Não independentes e 0,24; acerta a interseção, mas erra a comparação.
• ❌ C) Independentes e 0,36; 36 são aprovadas do sexo feminino.
• ❌ D) Não independentes e 0,6; 24/40 é condicional, não interseção.
• ❌ E) Independentes e 0,4; 24/60 usa os aprovados como denominador indevido.

Dica de resolução: compare P(A|M) com P(A). Conceito central: probabilidade de eventos. Conceito para revisão: independência. BNCC: EM13MAT511. Bloom: Analisar.

5. Série completa e relógio correto

Em uma academia, a chance de completar a série é 0,8 e a de outro relógio marcar corretamente é 0,95. Os eventos são independentes. Qual a probabilidade de ambos ocorrerem?

• ❌ A) 0,20; ignora a condição do relógio.
• ✅ B) 0,76; em eventos independentes, 0,8·0,95=0,76.
• ❌ C) 0,04; troca o evento pedido por um complemento.
• ❌ D) 0,95; considera apenas o relógio.
• ❌ E) 0,85; soma quando a situação pede produto.

Dica de resolução: independência e “e” indicam multiplicação. Conceito central: probabilidade conjunta. Conceito para revisão: regra do produto. BNCC: EM13MAT312. Bloom: Aplicação.

6. Aprovação em dois testes

Em um laboratório escolar, dois testes independentes têm chances de aprovação 0,8 e 0,5. Qual a probabilidade de ambos serem aprovados?

• ❌ A) 0,5; escolher a menor chance não é uma regra de probabilidade.
• ❌ B) 0,1; a diferença não representa simultaneidade.
• ✅ C) 0,4; 0,8·0,5=0,4 em eventos independentes.
• ❌ D) 0,8; ignora o segundo teste.
• ❌ E) 1,3; soma probabilidades e obtém valor impossível.

Dica de resolução: multiplique as probabilidades. Conceito central: eventos independentes. Conceito para revisão: probabilidade composta. BNCC: EM13MAT312. Bloom: Aplicação.

Como montar uma prova que revele os erros dos alunos?

Para montar uma prova que revele erros reais, eu distribuo itens por habilidade e planejo os distratores antes do enunciado final. Em uma avaliação curta de 5 questões, uso 2 itens de leitura de eventos, 2 de cálculo e 1 problema que combine união e interseção; em uma prova maior, acrescento situações com tabela ou sorteio sem reposição. O ponto é fazer cada alternativa errada corresponder a um raciocínio plausível, como somar sem descontar a interseção ou usar uma probabilidade condicional no lugar da conjunta. Isso transforma a correção em diagnóstico. Quando estou sem tempo, faço meu cadastro grátis no GeraProva e gero uma base editável com habilidades e comentários, mantendo a autoria da adaptação para minha turma.

Minha sequência prática fica assim:

• aquecimento com moeda e dado;
• diagrama de Venn para visualizar a sobreposição;
• exercício com tabela para separar conjunto total, condicional e interseção;
• questão final com justificativa escrita.

Use estas questões como ponto de partida, adapte os contextos à sua turma e teste o GeraProva quando quiser economizar tempo na montagem e na análise da avaliação.