Grandezas diretamente e inversamente proporcionais: exercícios

Quando trabalho grandezas proporcionais com uma turma, percebo que muitos alunos começam tentando aplicar uma regra de três antes de entender o que está variando. Eu prefiro começar por situações que eles conseguem imaginar: mais unidades produzidas podem significar mais custo; mais trabalhadores podem reduzir o tempo de uma tarefa. A pergunta importante é se a relação mantém um padrão constante.

Já usei tabelas, gráficos e problemas curtos para ajudar a turma a distinguir proporcionalidade direta, inversa e relações que não são proporcionais. A seguir, reuni uma explicação prática e seis questões comentadas, alinhadas à habilidade EF08MA12. Elas também mostram como dados pedagógicos bem organizados ajudam a planejar uma sequência de atividades — algo que posso agilizar com o GeraProva.

O que são grandezas diretamente e inversamente proporcionais?

Grandezas são diretamente proporcionais quando a razão entre valores correspondentes permanece constante: se uma dobra, a outra também dobra; se uma triplica, a outra triplica. Podemos escrever essa relação como y = kx, em que k é uma constante. Já duas grandezas são inversamente proporcionais quando o produto entre os valores correspondentes é constante: ao dobrar uma, a outra cai pela metade, como em y = k/x. Para identificar cada caso, eu comparo valores em uma tabela e verifico a razão ou o produto. Se nenhum se mantém constante, a relação pode ser não proporcional, mesmo que as grandezas tenham alguma associação. Por exemplo, mais horas de estudo podem contribuir para uma nota maior, mas não garantem aumento na mesma proporção. Essa distinção é central na habilidade EF08MA12 e evita aplicar regra de três sem verificar o modelo da situação.

Na prática, eu proponho que os alunos completem uma tabela e expliquem o padrão com palavras antes de usar símbolos. Para uma relação direta, podem testar y/x; para uma inversa, x·y. Por exemplo:

• Direta: 2 cadernos custam R$ 10 e 4 custam R$ 20; o preço por caderno é constante.
• Inversa: 3 pessoas concluem uma tarefa em 12 horas e, nas condições adequadas, 6 pessoas em 6 horas; o produto é 36.
• Não proporcional: uma corrida com taxa inicial mais valor por quilômetro não tem razão constante entre distância e custo.

Como diferenciar proporcionalidade direta, inversa e não proporcional?

Para diferenciar os três tipos, eu verifico primeiro o que o enunciado afirma sobre os valores, em vez de me apoiar apenas em expressões como “aumenta” ou “diminui”. Na proporcionalidade direta, calculo a razão entre as grandezas correspondentes e confiro se ela é constante. Na inversa, calculo o produto e verifico se ele não muda. Se as duas verificações falharem, não concluo que a relação é inversa só porque uma grandeza cresce enquanto a outra diminui: pode ser apenas uma relação decrescente. Também observo taxas fixas, limites e condições do problema, pois eles podem impedir a proporcionalidade. Em aula, uso pelo menos três pares de valores sempre que possível, como 5 trabalhadores e 8 dias, 10 e 4, 20 e 2: o produto 40 se repete. Esse procedimento torna o raciocínio verificável e dá ao aluno uma justificativa matemática, não apenas uma impressão visual.

Uma sequência que costuma funcionar é:

1. Identificar as duas grandezas e as condições que permanecem iguais.
2. Organizar os dados em uma tabela, sem misturar unidades.
3. Testar razões para a relação direta ou produtos para a inversa.
4. Verificar se a conclusão vale para todos os pares apresentados.
5. Explicar por que os casos restantes não atendem ao modelo.

Eu também peço que os alunos diferenciem “cresce junto” de “é diretamente proporcional”. Crescer junto, por si só, não prova que a razão é constante. Da mesma forma, uma grandeza diminuir quando a outra aumenta não basta para provar proporcionalidade inversa.

Como avaliar esse conteúdo na prática?

Para avaliar grandezas proporcionais, proponho tarefas em que o estudante precisa classificar a relação, justificar o critério e representar os dados, em vez de apenas calcular um valor desconhecido. Uma boa atividade pode misturar situações diretas, inversas e não proporcionais, além de incluir uma tabela ou um gráfico. Eu observo se o aluno reconhece a constante de proporcionalidade, verifica o produto no caso inverso e percebe quando há taxa fixa ou uma associação sem padrão proporcional. Essa abordagem conversa diretamente com a habilidade EF08MA12: identificar a natureza da variação, expressá-la algebricamente e representá-la no plano cartesiano. Também vale combinar itens de múltipla escolha com uma pergunta aberta, para enxergar o raciocínio por trás da resposta. Ao preparar uma lista, costumo variar contexto e dificuldade; o cadastro grátis no GeraProva pode ajudar a montar questões e liberar tempo para analisar as respostas da turma.

Uma rubrica simples pode considerar três aspectos: classificação correta, justificativa baseada em razão ou produto e representação adequada. Se a turma ainda confunde associação com proporcionalidade, eu incluo exemplos como altura e peso ou horas de estudo e nota, pedindo que expliquem por que não há garantia de uma razão constante. O erro, nesse caso, vira uma oportunidade para revisar o conceito, em vez de apenas marcar a alternativa incorreta.

Questões prontas com gabarito comentado

As seis questões abaixo trabalham classificação, aplicação de contextos e leitura de gráfico, com foco na habilidade EF08MA12. Em cada uma, recomendo pedir que os alunos registrem primeiro o critério usado: razão constante para proporcionalidade direta, produto constante para inversa ou ausência desses padrões para relações não proporcionais. O gabarito comentado ajuda a discutir não só a resposta correta, mas também o motivo de cada distrator não funcionar. A sequência começa com relações cotidianas e avança para interpretação de situações e representação algébrica. Os dados de dificuldade, nível de Bloom, conceito e dica permitem ajustar a atividade ao objetivo da aula. Eu posso usar todas como revisão ou selecionar algumas para uma avaliação formativa. Depois da correção, vale pedir que os estudantes criem um exemplo próprio para cada tipo de relação e expliquem suas escolhas.

1. Altura, peso, horas de estudo e nota

Identifique se as grandezas a seguir são diretamente proporcionais, inversamente proporcionais ou não proporcionais: altura e peso de uma pessoa e o número de horas de estudo e a nota em uma prova.

Dica de resolução: Verifique se uma grandeza varia sempre em razão constante ou inversa da outra. Conceito central: grandezas proporcionais e não proporcionais. Para revisar: critérios de proporcionalidade e diferença entre associação e proporcionalidade. BNCC: EF08MA12. Bloom: Analisar.

• ❌ A) Altura e peso são não proporcionais; horas e nota são proporcionais. A primeira relação foi identificada corretamente, mas mais horas não garantem aumento da nota sempre na mesma proporção.
• ❌ B) Ambas são diretamente proporcionais. A alternativa supõe aumento na mesma proporção, algo que não é garantido em nenhuma das relações.
• ❌ C) Ambas são inversamente proporcionais. Não há motivo para afirmar que o produto das grandezas permaneça constante.
• ✅ D) Altura e peso são não proporcionais; horas e nota são não proporcionais. A altura e o peso não mantêm razão constante, e estudar mais não garante nota proporcionalmente maior.
• ❌ E) Altura e peso são diretamente proporcionais; horas e nota são não proporcionais. A segunda relação está corretamente classificada, mas altura e peso não mantêm razão constante.

2. Trabalhadores e tempo de carregamento

Por que os gestores de uma empresa de transporte monitoram diferentes pares de grandezas para otimizar as operações? Em relatórios, observaram: 1) quando a distância percorrida dobra, o combustível consumido também dobra; 2) ao dobrar o número de trabalhadores responsáveis pela carga, o tempo de carregamento reduz-se pela metade; 3) aumentos no peso da carga resultam em maior potência exigida do motor, mas sem um fator constante de proporção. Qual par apresenta variação inversamente proporcional?

Dica: Identifique a relação inversa descrita. Conceito central: variação inversamente proporcional. Para revisar: características da variação inversa. BNCC: EF08MA12. Bloom: Aplicar.

• ✅ A) Número de trabalhadores e tempo de carregamento. Ao dobrar os trabalhadores, o tempo cai pela metade: é a relação inversa indicada.
• ❌ B) Distância percorrida e tempo de carregamento. O texto não estabelece relação entre essas grandezas.
• ❌ C) Tempo de carregamento e combustível consumido. Não há informação que relacione diretamente essas grandezas.
• ❌ D) Peso da carga e potência exigida do motor. Há uma relação, mas não uma razão constante nem indicação de proporcionalidade inversa.
• ❌ E) Distância percorrida e combustível consumido. Ambas dobram juntas, o que descreve proporcionalidade direta, não inversa.

3. Voluntários e tempo de montagem do palco

Com 5 pessoas, a montagem de um palco leva 8 dias; com 10 pessoas, leva 4 dias; e com 20 pessoas, leva 2 dias. Considerando a mesma quantidade de trabalho, qual é a natureza da relação entre o número de voluntários e o tempo de montagem?

Dica: Analise como o tempo muda quando aumenta o número de voluntários. Conceito central: relação de grandezas inversamente proporcionais. Para revisar: relações diretas e inversas. BNCC: EF08MA12. Bloom: Aplicar.

• ❌ A) Variam de modo diretamente proporcional. Na relação direta, as grandezas variam juntas; aqui, o tempo diminui quando as pessoas aumentam.
• ❌ B) Variam de modo não proporcional, mas crescente. O tempo não cresce com o número de voluntários e os dados apresentam um padrão inverso.
• ❌ C) Variam de modo não proporcional, mas decrescente. A diminuição ocorre, mas há mais do que uma tendência decrescente: os produtos são constantes.
• ❌ D) Não se relacionam, pois o tempo é constante. O tempo varia de 8 para 4 e depois para 2 dias.
• ✅ E) Variam de modo inversamente proporcional. Os produtos 5×8, 10×4 e 20×2 são todos iguais a 40.

4. Relações na operação de uma pizzaria móvel

Uma pizzaria móvel registra três situações: 1) o custo total C varia com o número de pizzas n vendidas, a R$ 20 por unidade, sem taxa fixa; 2) o tempo médio de entrega T depende do número de motoboys m escalados, repartindo igualmente as entregas; 3) o valor V pago por entregas inclui uma taxa fixa de R$ 5 mais R$ 2 por quilômetro. Qual relação entre variáveis apresenta variação inversamente proporcional?

Dica: Identifique a relação inversa no texto. Conceito central: variação inversamente proporcional. Para revisar: variação direta e inversa. BNCC: EF08MA12. Bloom: Entender.

• ❌ A) Custo total C e número de pizzas n. O custo aumenta na mesma razão que o número de pizzas, portanto a relação é direta.
• ❌ B) Tempo médio T e distância d. O texto não descreve essa relação; não é possível classificá-la como inversa com os dados apresentados.
• ❌ C) Custo total C e distância d. O custo das pizzas não depende da distância indicada, portanto não há relação inversa estabelecida.
• ❌ D) Valor pago V e distância d. A taxa fixa faz com que o valor não seja diretamente proporcional à distância; também não é inversamente proporcional.
• ✅ E) Tempo médio T e número de motoboys m. Repartindo igualmente as entregas, mais motoboys reduzem o tempo na mesma razão, caracterizando variação inversa.

5. A relação Y = 3X

Dadas as grandezas X e Y, onde Y = 3X, determine a natureza da relação entre elas.

Dica: Analise a relação entre as variáveis X e Y. Conceito central: relação entre grandezas. Para revisar: relação proporcional entre grandezas. BNCC: EF08MA12. Bloom: Aplicar.

• ✅ A) Diretamente proporcionais. Y é igual a X multiplicado pela constante 3; a razão Y/X permanece constante.
• ❌ B) Inversamente proporcionais. Nessa relação, quando uma grandeza aumenta, a outra deveria diminuir de modo que o produto se mantivesse constante.
• ❌ C) Não proporcionais. A relação tem fator fixo, Y = 3X, que caracteriza proporcionalidade direta.
• ❌ D) Constantes. X e Y dependem uma da outra e podem variar; não são valores fixos.
• ❌ E) Relativas. Essa opção não nomeia uma categoria matemática adequada para a relação apresentada.

6. Representação gráfica de y = 3x

Dadas as grandezas x e y, onde y = 3x, represente graficamente essa relação em um plano cartesiano.

Dica: Calcule alguns valores de x e encontre os correspondentes de y. Conceito central: função linear. Para revisar: representação gráfica de funções lineares. BNCC: EF08MA12. Bloom: Aplicar.

• ❌ A) Gráfico linear que não passa pela origem. Como y = 3x, quando x = 0 também y = 0; o gráfico deve passar pela origem.
• ❌ B) Gráfico exponencial. A expressão é linear, não envolve uma variável no expoente.
• ✅ C) Gráfico linear que passa pela origem. A expressão y = 3x representa uma reta que passa pelo ponto (0, 0).
• ❌ D) Gráfico circular. A relação entre x e y não descreve uma circunferência.
• ❌ E) Gráfico aleatório. Os pontos seguem um padrão linear definido pela expressão y = 3x.

Para fechar a sequência, eu peço aos alunos que escolham uma questão e criem uma variação com outros números, conferindo se o padrão se mantém. As questões são sugestões para adaptar à sua turma e ao seu planejamento; experimente ajustar os contextos e testar o GeraProva para preparar atividades com mais agilidade.