Exercícios sobre princípio multiplicativo com gabarito comentado

Quando trabalho contagem com uma turma, percebo que a dificuldade nem sempre está na multiplicação: muitas vezes, os alunos não identificam se precisam somar casos ou combinar etapas. Por isso, gosto de partir de situações familiares, como montar um cadastro ou planejar uma visita, e pedir que expliquem o que cada número representa.

Também testo questões com alternativas que revelam erros diferentes. Assim, o gabarito vira uma conversa sobre estratégia, não só a divulgação de um resultado. Separei exemplos de níveis variados e incluí dados como habilidade BNCC, conceito e nível de Bloom — informações que ajudam a escolher e organizar atividades, inclusive com apoio do GeraProva.

O que é o princípio multiplicativo?

O princípio multiplicativo, também chamado de princípio fundamental da contagem, permite calcular quantas possibilidades existem quando uma situação acontece em etapas sucessivas e cada escolha de uma etapa pode ser combinada com as escolhas das outras. Se há 3 opções para a primeira decisão, 4 para a segunda e 2 para a terceira, o total é 3 × 4 × 2 = 24. Eu explico aos alunos que cada opção inicial abre novas possibilidades nas etapas seguintes. A multiplicação não é uma regra automática para qualquer problema: é preciso confirmar que estamos formando resultados completos a partir de escolhas em etapas. Quando o enunciado apresenta caminhos alternativos, como “ou isto ou aquilo”, pode ser necessário somar casos. A habilidade EF08MA03 da BNCC aborda problemas de contagem que envolvem essa aplicação.

Uma pergunta que faço antes de calcular é: estou escolhendo uma opção de cada etapa? Se sim, desenho uma árvore pequena ou escrevo as quantidades em sequência. Isso ajuda a enxergar quando uma etapa foi esquecida ou contada duas vezes.

Como ensinar a identificar as etapas de uma contagem?

Para ensinar a identificar etapas, eu peço que a turma destaque no enunciado cada decisão que precisa ser tomada e anote quantas opções há em cada uma. Em seguida, conferimos se o resultado final exige uma escolha em todas elas; se exige, multiplicamos as quantidades. Por exemplo, um cadastro com 3 temas, 4 horários e 2 modalidades gera 24 combinações possíveis. Vale também perguntar se as opções são independentes e se há restrições, como não repetir uma pessoa em dois cargos. Essas restrições podem mudar os fatores da multiplicação ou exigir que separemos a contagem em casos. Uma tabela, um diagrama de árvore ou uma lista organizada são bons apoios antes de apresentar a expressão numérica. O importante é o estudante justificar por que multiplicou, em vez de decorar “palavras-chave”.

Na prática, eu começo com um exemplo de duas etapas e faço a turma listar os pares. Depois acrescento uma terceira etapa e comparo a lista com a multiplicação. Para fechar, proponho um enunciado em que a soma é adequada, para que a diferença fique explícita.

Como avaliar se o aluno compreendeu o princípio multiplicativo?

Eu avalio a compreensão pedindo mais do que o número final: quero ver quais etapas o aluno identificou, que operação escolheu e como verificou se todas as possibilidades foram consideradas. Uma resposta como 24, sem justificativa, pode estar correta por acaso; já a explicação “3 temas para cada um dos 4 horários e das 2 modalidades” mostra a estrutura do raciocínio. Incluo itens simples, problemas com informação irrelevante e situações com restrições, aumentando a complexidade aos poucos. Os distratores do múltipla escolha também são diagnósticos: somar em vez de multiplicar, ignorar uma etapa ou permitir repetição indevida apontam concepções diferentes. Ao revisar, peço que o estudante explique por que cada alternativa incorreta não funciona. Esse procedimento transforma o gabarito em evidência do que precisa ser retomado.

Eu organizo uma devolutiva rápida em três perguntas: quais eram as etapas, por que elas se combinam e que erro poderia explicar outra resposta? Para economizar tempo na elaboração de versões, às vezes uso o GeraProva para gerar questões e depois ajusto o vocabulário e o nível à minha turma.

Questões prontas com gabarito comentado

As seis questões abaixo permitem trabalhar desde combinações independentes até uma contagem dividida em casos. Cada item traz a habilidade BNCC, o nível de Bloom informado na base, uma dica e os conceitos relacionados, além de alternativas comentadas. Eu recomendo pedir que os alunos registrem primeiro a conta e só depois comparem o resultado com as opções: assim, fica mais fácil distinguir compreensão de tentativa por eliminação. Nos problemas mais diretos, a estratégia é multiplicar as opções de cada etapa; no primeiro, é preciso separar duas configurações de turnos e somar os resultados. Ao corrigir, vale explorar também os distratores, porque eles mostram confusões recorrentes entre soma e produto, etapas esquecidas e repetição proibida.

1. Quantos grupos de avaliação podem ser formados com leitores de turnos opostos?

Para cada grupo, escolhe-se um leitor jovem, um adulto e um mediador. Há 3 jovens pela manhã e 2 à tarde; 4 adultos pela manhã e 1 à tarde; e 5 mediadores disponíveis em qualquer turno. Jovem e adulto devem estar em turnos diferentes. Quantos grupos distintos podem ser formados?

Dica de resolução: calcule os casos de turnos opostos e multiplique cada um pelos 5 mediadores. Conceito central: combinatória, turnos e grupos. Para revisar: combinações e análise de casos com restrições de turnos. BNCC: EF08MA03. Bloom: Analisar.

• ❌ A) 55 grupos. Não é a correta? Na verdade, é a correta: 3 × 1 × 5 = 15 e 2 × 4 × 5 = 40; somando, 55.
• ❌ B) 110 grupos. Duplica os casos depois de já separá-los e somá-los.
• ❌ C) 40 grupos. Conta apenas jovem à tarde e adulto pela manhã; esquece o outro caso.
• ❌ D) 45 grupos. Usa 3 adultos pela manhã, mas o enunciado informa 4.
• ❌ E) 15 grupos. Conta somente jovem pela manhã e adulto à tarde.

Gabarito: A. A alternativa A está marcada com ❌ apenas por engano no símbolo? Para evitar dúvida: A é correta; o cálculo é 15 + 40 = 55.

2. De quantas maneiras é possível formar a mesa do fórum?

Cinco delegados concorrem a três cargos distintos: coordenação, vice-coordenação e relatoria. Cada pessoa ocupa apenas um cargo. Determine o número de mesas possíveis.

Dica: calcule as permutações de 3 cargos entre 5 pessoas distintas. Conceito central: permutação e contagem. Para revisar: permutação simples e princípio fundamental da contagem. BNCC: EM13MAT310. Bloom: Aplicar.

• ❌ A) 20. Conta parcialmente dois cargos e deixa a relatoria de fora.
• ❌ B) 125. Faz 5 × 5 × 5, permitindo que a mesma pessoa ocupe cargos diferentes.
• ❌ C) 75. Usa 5 × 5 × 3 e permite repetição indevida.
• ❌ D) 10. Trata os cargos como indistinguíveis e ignora que as funções são diferentes.
• ✅ E) 60. Há 5 escolhas para coordenação, 4 para vice e 3 para relatoria: 5 × 4 × 3 = 60.

Gabarito: E. Como os cargos são diferentes, a ordem das escolhas importa.

3. Quantos cadastros diferentes podem ser feitos para a mostra de ciências?

Cada estudante escolhe 1 tema de oficina entre 3 opções, 1 horário entre 4 e 1 modalidade de participação entre 2. Considerando escolhas independentes, quantos cadastros são possíveis?

Dica: multiplique as opções de cada etapa. Conceito central: princípio multiplicativo. Para revisar: contagem de possibilidades. BNCC: EF08MA03. Bloom: Aplicação.

• ❌ A) 8. Considera apenas as 2 modalidades e ignora tema e horário.
• ❌ B) 9. Soma 3 + 4 + 2, em vez de combinar as etapas.
• ✅ C) 24. 3 × 4 × 2 = 24; considera as três escolhas independentes.
• ❌ D) 12. Ignora as 2 modalidades de participação.
• ❌ E) 72. Acrescenta uma repetição de horários que o enunciado não prevê.

Gabarito: C. Cada tema pode combinar com cada horário e modalidade.

4. Quantas experiências completas podem ser formadas na visita ao campus?

O deslocamento pode ser feito por 2 linhas de ônibus; a visita guiada oferece 3 roteiros; e há 4 modelos de brinde. Cada pessoa escolhe uma opção em cada etapa. Quantas experiências completas existem?

Dica: multiplique as quantidades de opções independentes. Conceito central: princípio multiplicativo da contagem. Para revisar: combinações de escolhas independentes. BNCC: EF08MA03. Bloom: Aplicar.

• ❌ A) 12. Conta roteiro e brinde, mas deixa de fora o transporte.
• ✅ B) 24. 2 × 3 × 4 = 24 possibilidades.
• ❌ C) 8. Combina transporte e brinde, mas ignora os roteiros.
• ❌ D) 9. Soma 2 + 3 + 4, sem formar uma escolha de cada etapa.
• ❌ E) 6. Multiplica transporte e roteiro, mas esquece os brindes.

Gabarito: B. Cada escolha de transporte combina com todos os roteiros e brindes.

5. Quantas inscrições diferentes podem ser feitas no clube de robótica?

O estudante escolhe 1 tema de projeto entre 3 opções, 1 horário entre 4 opções e 1 forma de participação entre presencial e on-line. Quantas inscrições diferentes podem ser formadas?

Dica: multiplique as quantidades de cada etapa. Conceito central: princípio multiplicativo. Para revisar: combinações de etapas independentes. BNCC: EF08MA03. Bloom: Aplicação.

• ❌ A) 9. Soma as opções (3 + 4 + 2) em vez de multiplicá-las.
• ✅ B) 24. 3 × 4 × 2 = 24 inscrições possíveis.
• ❌ C) 12. Desconsidera uma das duas formas de participação.
• ❌ D) 16. Não corresponde ao produto das três etapas indicadas.
• ❌ E) 10. Soma as quantidades, embora seja necessário combinar as escolhas.

Gabarito: B. As três escolhas participam da inscrição completa.

6. De quantas formas o formulário de transporte pode ser preenchido?

Para organizar uma visita pedagógica, é preciso escolher 1 turno de saída entre 2, 1 tipo de ônibus entre 3 e 1 ponto de encontro entre 4. De quantas maneiras diferentes o formulário pode ser preenchido?

Dica: multiplique as quantidades de cada escolha. Conceito central: princípio multiplicativo. Para revisar: contagem de possibilidades. BNCC: EF08MA03. Bloom: Aplicar.

• ❌ A) 36. Dobra opções de ponto de encontro sem justificativa.
• ❌ B) 12. Considera turno e ônibus, mas omite o ponto de encontro.
• ❌ C) 9. Soma 2 + 3 + 4, embora as escolhas sejam combinadas.
• ✅ D) 24. 2 × 3 × 4 = 24 formas de preencher o formulário.
• ❌ E) 20. Soma ônibus e pontos antes de multiplicar pelo turno, operação que não representa as etapas.

Gabarito: D. Cada turno combina com cada ônibus e cada ponto de encontro.

Como adaptar os exercícios à minha turma?

Para adaptar exercícios à turma, eu observo primeiro o que os alunos já conseguem fazer: reconhecer etapas, calcular produtos ou analisar restrições. Depois, ajusto o contexto e a quantidade de decisões sem mudar o objetivo matemático. No início, uso números pequenos e situações de duas ou três etapas; mais adiante, incluo cargos distintos, turnos incompatíveis ou casos que precisam ser somados. Também seleciono questões com diferentes níveis de complexidade e reservo tempo para discutir os erros das alternativas. Uma plataforma como o GeraProva pode ajudar a gerar e organizar questões, mas eu sempre reviso enunciados, respostas e adequação ao planejamento. Se quiser experimentar esse fluxo, o cadastro grátis permite conhecer a ferramenta e poupar parte do tempo de preparação.

Minha sequência costuma ser: resolução individual, comparação em duplas e correção comentada. Assim, percebo se a dificuldade está na leitura, na escolha da operação ou no cálculo. Depois, escolho um problema parecido, mas com contexto novo, para conferir se a estratégia foi compreendida.

Os exercícios podem ser ajustados ao conteúdo e ao ritmo da sua turma; confira sempre as respostas antes de aplicar. Se fizer sentido para o seu planejamento, teste o GeraProva e veja se ele ajuda a preparar suas próximas atividades.