Exercícios sobre grandezas direta e inversamente proporcionais

Quando trabalho proporcionalidade com uma turma, não começo só com a regra de três. Primeiro, peço que os estudantes expliquem o que acontece quando uma grandeza muda: a outra acompanha, diminui ou não segue um padrão fixo? Essa conversa evita que a matemática vire uma sequência de contas sem sentido.

Já usei exemplos de receitas, equipes de trabalho e consumo para tornar a ideia concreta. A seguir, reúno critérios práticos e seis questões com alternativas comentadas. Elas ajudam a identificar não apenas quem acertou, mas também qual confusão pode estar por trás de cada resposta.

O que são grandezas diretamente e inversamente proporcionais?

Grandezas diretamente proporcionais variam na mesma razão: se uma dobra, a outra também dobra; se uma triplica, a outra triplica, desde que a relação mantenha uma constante. Podemos representar essa relação por y = kx, em que k é um número fixo. Já nas grandezas inversamente proporcionais, quando uma aumenta, a outra diminui de modo que o produto entre elas permaneça constante, como em y = k/x. Nem toda relação crescente é direta, nem toda relação decrescente é inversa: é preciso verificar a razão ou o produto. Também existem relações não proporcionais, como altura e peso de uma pessoa, que não seguem uma constante universal. Quando explico isso, insisto em testar alguns pares de valores e perguntar: a razão se conserva ou o produto fica igual?

Uma tabela costuma deixar o padrão visível. Se 1 pacote produz 5 mudas, 2 produzem 10 e 3 produzem 15, a razão mudas/pacotes permanece igual a 5. Para uma relação inversa, posso comparar trabalhadores e tempo para concluir uma tarefa fixa: mais trabalhadores podem reduzir o tempo, e o produto pode permanecer constante.

Como ensinar a reconhecer cada tipo de relação?

Eu ensino a reconhecer proporcionalidade com três verificações simples: observar como as grandezas mudam, comparar razões e, quando uma sobe e a outra desce, testar o produto. Na relação direta, dividir os valores correspondentes deve dar sempre o mesmo resultado; na inversa, multiplicá-los deve resultar em uma constante. Se nenhum padrão se mantém, não devo chamar a relação de proporcional só porque as grandezas parecem associadas. Também vale olhar o gráfico: uma proporcionalidade direta aparece como reta que passa pela origem, enquanto uma inversa ideal tem curva decrescente. Antes de usar a regra de três, peço que a turma explique por que a resposta deveria aumentar ou diminuir. Essa justificativa revela se o estudante compreendeu a situação e ajuda a separar um erro de cálculo de uma interpretação equivocada.

Uma ressalva importante: contextos reais podem ter limites e condições. O tempo de trabalho, por exemplo, não cai necessariamente pela metade ao dobrar a equipe se houver espaço restrito ou tarefas que não possam ser divididas. Por isso, leio com os alunos as hipóteses do enunciado antes de calcular.

Questões prontas com gabarito comentado

As seis questões abaixo exploram proporcionalidade direta, inversa e relações não proporcionais, com situações e níveis de raciocínio variados. Eu sugiro pedir primeiro uma justificativa individual e depois comparar estratégias em duplas; assim, a alternativa escolhida vira ponto de partida para uma conversa matemática. Os comentários explicam cada opção, inclusive os distratores, para ajudar a identificar concepções comuns. As habilidades BNCC e os níveis de Bloom também orientam o planejamento: há itens de análise e aplicação, além de situações que pedem interpretação de gráficos e relações algébricas. Use as dicas como apoio, mas incentive os estudantes a testar razões, produtos e exemplos antes de olhar o gabarito. As questões não servem apenas para nota: podem funcionar como diagnóstico, revisão ou atividade de fechamento.

1. Identifique se as grandezas a seguir são diretamente proporcionais, inversamente proporcionais ou não proporcionais: altura e peso de uma pessoa e o número de horas de estudo e a nota em uma prova.

Dica de resolução: verifique se uma grandeza varia sempre em razão constante ou inversa da outra. Conceito central: grandezas proporcionais e não proporcionais. Para revisar: diferencie associação de proporcionalidade. BNCC: EF08MA12. Bloom: Analisar.

• ❌ A) Altura e peso são não proporcionais; horas e nota são proporcionais. A primeira parte está correta, mas estudar mais não garante aumento constante da nota.
• ❌ B) Ambas são diretamente proporcionais. Aumentar uma grandeza não faz a outra crescer necessariamente na mesma razão.
• ❌ C) Ambas são inversamente proporcionais. Não há produto constante indicado em nenhuma relação.
• ✅ D) Altura e peso são não proporcionais; horas e nota também são não proporcionais. Nenhuma mantém razão constante, e mais estudo não garante nota proporcionalmente maior.
• ❌ E) Altura e peso são diretamente proporcionais; horas e nota não são proporcionais. A segunda classificação está certa, mas altura e peso não mantêm razão constante.

2. Por que gestores de uma empresa de transporte monitoram pares de grandezas? Em relatórios, observaram: 1) ao dobrar a distância, o combustível consumido também dobra; 2) ao dobrar os trabalhadores responsáveis pela carga, o tempo de carregamento cai pela metade; 3) aumentar o peso da carga exige mais potência, mas sem fator constante. Qual par apresenta variação inversamente proporcional?

Dica de resolução: identifique quando uma grandeza aumenta enquanto a outra diminui na mesma razão. Conceito central: variação inversamente proporcional. Para revisar: produto constante. BNCC: EF08MA12. Bloom: Aplicar.

• ✅ A) Número de trabalhadores e tempo de carregamento. Dobrar trabalhadores reduz o tempo pela metade.
• ❌ B) Distância e tempo de carregamento. O texto não apresenta relação entre essas grandezas.
• ❌ C) Tempo de carregamento e combustível consumido. Não há informação que relacione esses valores.
• ❌ D) Peso da carga e potência do motor. Há relação, mas sem razão constante; não é inversa.
• ❌ E) Distância e combustível. Ambas dobram, caracterizando proporcionalidade direta.

3. Uma turma registrou pacotes de sementes e mudas produzidas: 1 pacote → 5 mudas; 2 → 10; 3 → 15; 4 → 20. Se os dados forem representados em um gráfico, qual característica indica proporcionalidade direta?

Dica de resolução: verifique se os pontos formam reta e passam pela origem. Conceito central: proporcionalidade direta. Para revisar: reta pela origem e razão constante. BNCC: EF05MA12. Bloom: Aplicação.

• ❌ A) Linha curva, porque as mudas aumentam mais rápido. Os dados mostram aumento em razão constante, não crescimento acelerado.
• ❌ B) Reta começando acima da origem. Não há produção inicial sem pacotes; na relação direta, zero corresponde a zero.
• ✅ C) Reta que passa pela origem, mostrando razão constante entre pacotes e mudas.
• ❌ D) Pontos espalhados, pois cada pacote produz quantidades diferentes. Os dados seguem o mesmo padrão de 5 mudas por pacote.
• ❌ E) Reta inclinada sem razão constante. Uma reta só representa proporcionalidade direta quando passa pela origem e mantém a razão.

4. Com 5 voluntários, a montagem de um palco leva 8 dias; com 10, leva 4 dias; com 20, leva 2 dias. Considerando a mesma quantidade de trabalho, qual é a relação entre voluntários e tempo?

Dica de resolução: observe como o tempo reage ao aumento de voluntários. Conceito central: relação inversamente proporcional. Para revisar: grandezas diretas e inversas. BNCC: EF08MA12. Bloom: Aplicar.

• ❌ A) Diretamente proporcionais. Na relação direta, as duas aumentariam ou diminuiriam juntas.
• ❌ B) Não proporcionais e crescentes. O tempo diminui quando o número de voluntários aumenta.
• ❌ C) Não proporcionais e decrescentes. A relação não é apenas decrescente: os produtos são iguais.
• ❌ D) Não se relacionam, pois o tempo é constante. O tempo varia de 8 para 4 e depois para 2 dias.
• ✅ E) Inversamente proporcionais. Os produtos 5×8, 10×4 e 20×2 são iguais a 40.

5. Dadas as grandezas X e Y, onde Y = 3X, determine a natureza da relação entre elas.

Dica de resolução: analise a relação algébrica entre X e Y. Conceito central: relação entre grandezas. Para revisar: relação proporcional. BNCC: EF08MA12. Bloom: Aplicar.

• ✅ A) Diretamente proporcionais. Y é X multiplicado por uma constante fixa, 3.
• ❌ B) Inversamente proporcionais. Isso exigiria uma relação do tipo Y = k/X.
• ❌ C) Não proporcionais. A expressão apresenta uma razão constante entre Y e X.
• ❌ D) Constantes. Os valores dependem de X e variam quando X varia.
• ❌ E) Relativas. Essa opção não descreve o tipo de proporcionalidade apresentado.

6. Uma pizzaria móvel registra: 1) custo C de R$ 20 por pizza vendida, sem taxa fixa; 2) tempo médio T de entrega conforme o número m de motoboys, dividindo igualmente as entregas; 3) valor V da entrega com taxa fixa de R$ 5 mais R$ 2 por quilômetro. Qual relação é inversamente proporcional?

Dica de resolução: procure uma grandeza que diminua na mesma razão em que a outra aumenta. Conceito central: variação inversamente proporcional. Para revisar: proporcionalidade direta e inversa. BNCC: EF08MA12. Bloom: Entender.

• ❌ A) Custo e número de pizzas. O custo aumenta na mesma razão que as pizzas, portanto é relação direta.
• ❌ B) Tempo e distância. O texto não estabelece essa relação; a distância não é o par pedido na situação descrita.
• ❌ C) Custo e distância. O custo por pizza não depende da distância, então não há proporcionalidade inversa.
• ❌ D) Valor pago e distância. A taxa fixa de R$ 5 impede que a razão entre valor e distância seja constante; não é relação inversa.
• ✅ E) Tempo médio e número de motoboys. Dividindo igualmente as entregas, mais motoboys reduzem o tempo na mesma razão.

Como aproveitar os exercícios no planejamento da aula?

Eu aproveito questões como estas em momentos diferentes: uma sondagem rápida antes de ensinar, uma discussão durante a explicação ou uma revisão antes da avaliação. Começo pedindo que os alunos justifiquem a alternativa sem fazer conta; em seguida, escolho uma tabela para testar razão ou produto. Os erros comentados ajudam a planejar uma retomada específica: quem confunde relação crescente com proporcionalidade precisa comparar valores, enquanto quem erra o gráfico pode revisar a origem e a razão constante. Para criar variações com outros contextos e níveis, consulto a página inicial do GeraProva e preparo questões sem precisar montar cada alternativa do zero. A ferramenta pode economizar tempo, mas eu sempre confiro se os dados e as hipóteses fazem sentido para a turma e para o objetivo da aula.

Se quiser experimentar esse fluxo, faça o cadastro grátis e adapte as atividades ao conteúdo que está trabalhando. Eu usaria estas questões como ponto de partida, não como substituto da conversa e da mediação docente.

As questões são um apoio e podem ser ajustadas ao nível e ao contexto da sua turma; experimente o GeraProva para gerar e revisar atividades com mais agilidade.