Atividades sobre Competências da área (1ª série, 2ª série, 3ª série) com gabarito — 1ª série, 2ª série, 3ª série, ENEM, FUVEST, UEL, UNESP (EM13MAT404)

Quando recebi o código EM13MAT404 no planejamento do bimestre, confesso que pensei: "mais uma habilidade cheia de termos técnicos". Mas, ao abrir a conta de água da minha própria casa e comparar com a tabela de faixas da concessionária, percebi que os meus alunos já vivem essa matemática todo mês. O desafio é fazê-los enxergar isso na sala.

Então, neste texto, eu conto como traduzo essa habilidade para a aula e para a prova, com exemplos que cabem no dia a dia de uma escola brasileira e seis questões prontas para você usar.

O que a habilidade EM13MAT404 pede, de verdade?

Em linguagem de sala de aula, a habilidade pede que o aluno lide com funções que mudam de regra conforme o valor da variável. Pense na conta de luz, na tabela do Imposto de Renda ou numa tarifa de água por faixas: o preço não segue uma única fórmula, e sim um conjunto de fórmulas, uma para cada trecho. O aluno precisa saber escrever essa função, desenhar seu gráfico, identificar até onde ela vale, onde cresce ou decresce, e passar de uma representação para outra.

"Analisar funções definidas por uma ou mais sentenças (tabela do Imposto de Renda, contas de luz, água, gás etc.), em suas representações algébrica e gráfica, identificando domínios de validade, imagem, crescimento e decrescimento, e convertendo essas representações de uma para outra, com ou sem apoio de tecnologias digitais."

Na prática, eu resumo a habilidade em três verbos que escrevo no quadro: ler a regra, desenhar a regra e comparar regras. Se o aluno consegue fazer essas três coisas com uma conta de gás, ele dominou o núcleo do código EM13MAT404.

Como trabalhar EM13MAT404 em sala?

Algumas ideias que já testei e que não exigem material caro:

Primeiro, trago contas reais (anonimizadas) para a turma. Peço que os alunos descubram a regra de cobrança a partir de dois ou três valores de consumo. Isso transforma a função por partes em um problema de investigação, não em uma fórmula decorada.

Segundo, desenho o gráfico no quadro, sem régua, à mão livre, e pergunto onde o gráfico muda de inclinação e por quê. A resposta costuma ser o ponto de virada da faixa de consumo.

Terceiro, faço uma comparação entre duas empresas de entrega ou dois planos de celular. Quando dois gráficos se cruzam, os alunos entendem sozinhos o que é um ponto de equilíbrio e por que a escolha "mais barata" depende do consumo.

Quarto, uso uma planilha ou o celular para checar os resultados. A tecnologia entra como conferência, e não como atalho: primeiro o aluno calcula, depois confirma no gráfico.

Como avaliar essa habilidade?

Uma boa questão sobre EM13MAT404 precisa cobrar mais do que a substituição de um número na fórmula. Ela deve pedir que o aluno identifique o intervalo de validade de cada sentença, reconheça a faixa certa para um valor dado e, de preferência, converta uma informação escrita em gráfico ou em expressão algébrica.

Os erros mais comuns que vejo nas provas são: aplicar a taxa da última faixa ao consumo inteiro, esquecer a taxa fixa, trocar o sinal da inclinação ao ler um gráfico decrescente e tratar a fronteira entre faixas como se não existisse. Vale a pena montar alternativas que capturem exatamente esses erros, como as das questões abaixo.

Questões prontas de EM13MAT404 (com gabarito comentado)

Abaixo estão seis questões reais do acervo do GeraProva alinhadas ao código. Use-as como estão ou adapte os números para a sua turma.

Questão 1: conta de água com taxa fixa e três faixas

Recentemente, Ana recebeu a fatura mensal de água de sua residência na periferia da cidade. A concessionária cobra uma tarifa composta por uma taxa fixa de R$ 15,00 e valores variáveis conforme o consumo: até 10 m3 a R$ 2,50 por m3; dos 11 m3 aos 30 m3 a R$ 3,50 por m3; e acima de 30 m3 a R$ 5,00 por m3. Na fatura, o consumo total é registrado em metros cúbicos, e o valor final resulta da soma da taxa fixa com os valores variáveis calculados por faixa de consumo.

Analise a tarifação apresentada e calcule o valor da conta de água para um consumo total de 25 m3.

• ❌ A) R$ 115,00 — Multiplica R$ 3,50 pelos 25 m3 sem considerar as diferentes faixas e a taxa fixa.
• ✅ B) R$ 92,50 — 15 + (10×2,5) + (15×3,5) = 15 + 25 + 52,5 = R$ 92,50.
• ❌ C) R$ 77,50 — Aplica R$ 2,50 a todos os 25 m3, ignorando faixas posteriores.
• ❌ D) R$ 102,50 — Considera incorretamente parte do consumo acima de 30 m3 ou aplica mal as faixas de preço.
• ❌ E) R$ 87,50 — Desconsidera a taxa fixa de R$ 15,00, somando apenas os valores variáveis.

Questão 2: quando a empresa A é mais barata que a B

Mercado virtual ExpressoPlus oferece duas modalidades de entrega de encomendas de pequeno porte. Na empresa A, há tarifa fixa de R$ 10 para pacotes de até 5 kg e, a partir do 6º quilograma, cobra-se R$ 3 por quilo adicional. Na empresa B, aplica-se tarifa linear de R$ 4 por quilo transportado, sem valor mínimo. Um cliente deseja comparar custos para diferentes valores de peso w (em kg) a fim de escolher sempre a opção mais econômica.

Analise o texto-base e determine para quais valores de w a empresa A apresenta tarifa estritamente inferior à empresa B.

• ✅ A) w maior que 2,5 kg — Para w>2,5 até 5, 10<4w; para w>5, 10+3(w-5)<4w; portanto para w>2,5 A é mais econômica.
• ❌ B) w maior que 5 kg — Para w>5 A é mais barata, mas A também é mais barata para 2,55.
• ❌ C) w menor que 2,5 kg — Para w<2,5, A:10>B:4w, logo A é mais cara, não inferior.
• ❌ D) w entre 0 kg e 2,5 kg — Nesse intervalo, 10>4w, logo A sempre mais cara, não inferior.
• ❌ E) w igual ou maior que 2,5 kg — Em w=2,5, tarifas iguais (10=10), não estritamente inferior; w>2,5 é condição.

Questão 3: consumo máximo de energia para reduzir a conta em 10%

ENEM - 2014 _Valor do kWh (com tributos)_ x _consumo (em kWh) + Cosip_. O valor da Cosip é fixo em cada faixa de consumo. O quadro mostra o valor cobrado para algumas faixas. Suponha que, em uma residência, todo mês o consumo seja de 150 kWh, e o valor do kWh (com tributos) seja de R$ 0,50. O morador dessa residência pretende diminuir seu consumo mensal de energia elétrica com o objetivo de reduzir o custo total da conta em pelo menos 10%. Qual deve ser o consumo máximo, em kWh, dessa residência para produzir a redução pretendida pelo morador?

Qual deve ser o consumo máximo, em kWh, dessa residência para produzir a redução pretendida pelo morador?

• ❌ A) 134,1 — O consumo de 134,1 kWh não atinge a redução de 10% do custo total.
• ❌ B) 135,0 — O consumo de 135,0 kWh ainda resulta em um custo superior ao desejado.
• ✅ C) 137,1 — O consumo de 137,1 kWh resulta em uma redução de custo de 10%, atingindo o objetivo do morador.
• ❌ D) 138,6 — O consumo de 138,6 kWh não proporciona a redução mínima exigida.
• ❌ E) 143,1 — O consumo de 143,1 kWh é maior que o necessário para a redução de 10%.

Questão 4: tarifa média abaixo de R$ 0,45 por minuto

Dados ilustrativos: pesquisa da Agência Nacional de Telecomunicações (Anatel) revelou que uma operadora oferece um plano de telefonia fixa com cobrança de R$50 mensais que inclui até 100 minutos de chamadas. Para os minutos entre 101 e 200, a tarifa adicional é de R$0,50 por minuto. Acima de 200 minutos, a tarifa cai para R$0,30 por minuto. Esse modelo tarifário define uma função por sentenças que relaciona o total da fatura mensal (R$) ao número de minutos consumidos.

Analise o texto-base e determine para qual intervalo de minutos a tarifa média de ligação fica abaixo de 0,45 R$ por minuto?

• ✅ A) A partir de 267 minutos — Para mais de 200 minutos, a fatura é 100 + 0,30(n - 200), ou seja, 0,30n + 40. A tarifa média é (0,30n + 40)/n. Para que ela fique abaixo de 0,45, é necessário que n seja maior que 266,67. Como os minutos são inteiros, isso ocorre a partir de 267 minutos.
• ❌ B) Entre 200 e 267 minutos — Esse intervalo fica do lado oposto do limite: para a média ficar abaixo de R$ 0,45, o consumo precisa ser maior que 266,67 minutos, e não menor que esse valor.
• ❌ C) Maior que 200 minutos — Esse limite identifica quando começa a tarifa de R$ 0,30 por minuto, mas não considera a cobrança fixa acumulada de R$ 40 na fatura para consumos acima de 200 minutos. A média ainda pode ser superior a R$ 0,45.
• ❌ D) Entre 100 e 200 minutos — Nesse trecho, a fatura inclui R$ 50 fixos e cobra R$ 0,50 por minuto excedente a 100. A média não fica abaixo de R$ 0,45 nesse intervalo.
• ❌ E) Maior que 250 minutos — O limite de 250 minutos é insuficiente: nesse consumo, a fatura é R$ 115 e a média é R$ 0,46 por minuto. Portanto, há consumos acima de 250 minutos em que a média ainda não está abaixo de R$ 0,45.

Questão 5: expressão algébrica da conta de gás progressiva

Em uma pequena cidade serrana, as contas de gás residencial seguem uma tarifa progressiva baseada no consumo mensal. Até 20 m3, o valor é R$ 1,50 por metro cúbico; para o consumo entre 20 e 50 m3, o valor é R$ 2,00 por metro cúbico; e para o consumo acima de 50 m3, o valor é R$ 3,00 por metro cúbico. Para cada cliente, aplica-se essa regra: o consumo é dividido em faixas, e cada faixa é cobrada à sua respectiva tarifa.

Com base no texto-base, identifique a expressão algébrica que define o valor V(x) da conta de gás em função do consumo x (em m3) mensal.

• ❌ A) V(x)= { 1,5x, se 0<=x<=20; 2,0(x-20), se 2050 } — Não inclui valor referente ao consumo das faixas anteriores no cálculo da segunda e terceira faixas.
• ❌ B) V(x)= { 1,5x, se 0<=x<=20; 1,5*20+2,0x, se 2050 } — Aplica o preço inteiro da faixa ao total do consumo em vez de ao consumo excedente.
• ✅ C) V(x)= { 1,5x, se 0<=x<=20; 1,5*20+2,0(x-20), se 2050 } — Correta: expressa as três faixas com acúmulo de valor das faixas anteriores conforme descrito.
• ❌ D) V(x)= { 1,5x, se x<20; 2,0x, se 20<=x<=50; 3,0x, se x>50 } — Ignora cobrança acumulada de faixas anteriores e cobra cada metro ao preço total da faixa.
• ❌ E) V(x)= { 1,5x, se 0<=x<20; 2,0x, se 20<=x<=50; 3,0x, se x>=50 } — Usa os mesmos preços para cada metro cúbico sem considerar a cobrança escalonada por faixa.

Questão 6: gráfico do auxílio de manutenção por partes

Motoristas de uma cooperativa estão testando, em uma simulação fictícia, um auxílio semanal para a manutenção de bicicletas usadas nas entregas. O valor R depende da distância x, em quilômetros, percorrida durante a semana. Para garantir um mínimo, cada motorista recebe R$ 120,00 quando percorre de 0 a 80 km. Acima de 80 km, mantém-se esse valor inicial e acrescentam-se R$ 0,85 por quilômetro excedente. Para fins de planejamento, x pode assumir qualquer valor real não negativo. A cooperativa pretende representar R por um gráfico para verificar se a regra evita redução do auxílio ao ultrapassar 80 km.

Analise as regras de pagamento e identifique a descrição do gráfico de R em função de x que confirma a ausência de redução do auxílio ao superar 80 km.

• ❌ A) Um segmento horizontal em R$ 120,00 até 80 km, ligado a uma semirreta de inclinação R$ 0,85 por km que parte de (80, 0). — Erro de reinicialização do valor: ao superar 80 km, o auxílio inicial é mantido; portanto, a nova parte não pode começar em zero.
• ❌ B) Um segmento horizontal em R$ 120,00 até 80 km, ligado a uma semirreta de inclinação R$ -0,85 por km que parte de (80, 120). — Erro de sinal: o valor é acrescentado a cada quilômetro excedente, o que produz crescimento, e não diminuição, do auxílio.
• ✅ C) Um segmento horizontal em R$ 120,00 até 80 km, ligado a uma semirreta de inclinação R$ 0,85 por km que parte de (80, 120). — Até 80 km, R permanece em R$ 120,00. Depois desse ponto, o acréscimo por quilômetro torna o gráfico crescente, sem salto ou redução.
• ❌ D) Um segmento de inclinação R$ 1,50 por km até (80, 120), ligado a uma semirreta horizontal em R$ 120,00. — Erro de inversão das condições: a regra fixa R$ 120,00 inicialmente e aplica acréscimo somente aos quilômetros excedentes.
• ❌ E) Um segmento de inclinação R$ 0,85 por km a partir de (0, 120), ligado a uma semirreta horizontal em R$ 188,00. — Erro de aplicação antecipada da taxa: R$ 0,85 por km incide apenas sobre a distância que ultrapassa 80 km.

Próximos passos

Se você quer revisar a habilidade inteira com todas as questões do acervo, acesse a consulta completa do código EM13MAT404. Para montar uma prova com essas questões misturadas às suas, use o gerador de provas do GeraProva. Se ainda não tem conta, o cadastro grátis leva menos de dois minutos.

Este material é um ponto de partida: revise os enunciados e os gabaritos com o seu olhar de professor antes de aplicar em turma. Qualquer dúvida sobre a habilidade, o time do GeraProva está por aqui para ajudar.