Atividades sobre Grandezas diretamente proporcionais e grandezas inversamente proporcionais com gabarito — 9º ano (EF09MA08)

Quando recebo o código EF09MA08 no planejamento do bimestre, a primeira sensação é de que ele é grande demais para caber numa aula. Ele fala em proporcionalidade direta e inversa, escalas, divisão em partes proporcionais e taxa de variação, tudo de uma vez. Na prática, preciso decidir por onde começar e como transformar essa frase oficial em algo que os alunos consigam resolver na lousa e numa prova de verdade.

Foi isso que me fez organizar este material. Abaixo explico o que a habilidade pede, trago ideias que testei com materiais simples e seis questões com gabarito comentado, prontas para usar ou para servir de modelo.

O que a habilidade EF09MA08 pede, de verdade?

Resolver e elaborar problemas que envolvam relações de proporcionalidade direta e inversa entre duas ou mais grandezas, inclusive escalas, divisão em partes proporcionais e taxa de variação, em contextos socioculturais, ambientais e de outras áreas.

Em linguagem de sala de aula, a habilidade quer que o aluno reconheça quando duas quantidades crescem juntas, como número de trabalhadores e produção, e quando uma cresce enquanto a outra diminui, como número de torneiras e tempo de enchimento. Ele precisa resolver problemas com regra de três, simples e composta, e também saber montar um problema novo a partir de uma situação do dia a dia. A parte de elaborar é tão importante quanto resolver: um aluno que consegue criar um enunciado com proporção já entendeu o conceito. Essa é a diferença entre decorar a regra e compreendê-la.

Como trabalhar EF09MA08 em sala?

Algumas ideias que funcionam sem material caro:

• Receita da merenda: pergunte quantas porções a receita de bolo rende e como fica a quantidade de ingredientes para mais alunos. É proporção direta na cozinha.
• Mapa da escola: peça para os alunos medirem a quadra no papel e calcularem a escala. Depois, comparem com a medida real.
• Torneiras e baldes: com garrafas PET e água, mostre que mais recipientes enchem o balde em menos tempo. Isso torna a proporção inversa concreta.
• Divisão em partes: divida uma quantia de dinheiro arrecadada na festa junina entre turmas com número diferente de alunos.

Minha dica é alternar situações concretas com o registro em tabela. Quando o aluno monta a tabela e percebe o padrão, a regra de três deixa de ser um truque e vira consequência do que ele viu.

Como avaliar essa habilidade?

Uma boa questão desse código precisa cobrar três coisas: identificar o tipo de relação entre as grandezas, montar a proporção corretamente e interpretar o resultado no contexto. Questões que apenas pedem o cálculo de um número isolado não dão conta da habilidade inteira.

Os erros mais comuns que vejo nas provas são: tratar toda relação como direta, esquecer de inverter a razão numa proporção inversa, e misturar três grandezas sem perceber que o prazo também mudou. Por isso, nas questões abaixo, algumas alternativas erradas foram pensadas justamente para capturar esses equívocos.

Questões prontas de EF09MA08 (com gabarito comentado)

Questão 1: pavimentação de estrada com mais trabalhadores

Durante uma obra de melhoria da mobilidade em uma comunidade brasileira, uma equipe de trabalhadores mantém ritmo constante, e todos realizam a mesma quantidade de serviço por dia. Em determinado trecho, 8 trabalhadores pavimentaram 120 metros de estrada em 7,5 dias. Para concluir outro trecho, a equipe será formada por 12 trabalhadores, que deverão pavimentar 150 metros, nas mesmas condições de trabalho e produtividade.

Com base no texto-base, determine o número de dias necessários para que 12 trabalhadores pavimentem 150 metros de estrada.

• ❌ A) 5 dias — Resulta de aplicar a proporção aos dados de outra situação, em que 8 trabalhadores pavimentavam 120 metros em 6 dias.
• ❌ B) 10 dias — Resulta de tratar o tempo como diretamente proporcional também ao número de trabalhadores, o que é um erro de sentido da relação.
• ❌ C) 8,75 dias — Resulta de considerar só o aumento da distância, ou de combinar mal os fatores, esquecendo que a equipe maior reduz o tempo.
• ✅ D) 6,25 dias — A produtividade por trabalhador é constante. O tempo é diretamente proporcional ao comprimento da estrada e inversamente proporcional ao número de trabalhadores: d = 7,5 × (150/120) × (8/12) = 6,25 dias.
• ❌ E) 7,5 dias — Supõe que o aumento da distância é compensado exatamente pelo aumento da equipe, o que não acontece, pois os fatores são 1,25 e 1,5.

Dica de resolução: use regra de três e proporção para calcular os dias necessários.

Questão 2: produção de velas com a cooperativa

— Se aceitarmos a encomenda, quantas mãos a mais vamos precisar? — perguntou uma das artesãs da cooperativa.

Para estimar, elas usam registros anteriores. Em um pedido recente, 12 artesãs produziram 480 velas em 5 dias, trabalhando 6 horas por dia. A coordenadora explicou que, mantendo o mesmo padrão de produção, a quantidade de velas feitas é diretamente proporcional ao número de artesãs e ao total de horas trabalhadas.

Agora, surgiu um novo pedido: 900 velas para entregar em 4 dias. Nesse período, cada artesã poderá trabalhar 7,5 horas por dia. A cooperativa pretende manter a mesma produtividade por hora de trabalho, sem mudar materiais nem o modo de produção.

Considere as informações do texto. Mantendo a produtividade por hora, conclua quantas artesãs, ao todo, devem trabalhar para produzir 900 velas no novo prazo.

• ❌ A) 22 artesãs — Arredonda para baixo 22,5, desconsiderando que meia artesã não cumpre o total de horas necessárias.
• ❌ B) 30 artesãs — Trata a relação como se fosse apenas inversa ao prazo, ignorando o aumento das horas diárias.
• ❌ C) 24 artesãs — Arredonda 22,5 para cima sem calcular, ou supõe que 22 não basta e aumenta em 2 sem justificativa.
• ❌ D) 18 artesãs — Considera apenas a razão 900/480 e esquece que prazo e horas por dia também mudam.
• ✅ E) 23 artesãs — A taxa é 480/(12×5×6). Para 900 velas são necessárias 675 pessoa-hora; com 4 × 7,5 = 30 h por artesã, 675/30 = 22,5, ou seja, 23 artesãs.

Dica de resolução: use a regra de três composta para calcular o número de artesãs necessárias.

Questão 3: torneiras enchendo caixas de água

Durante uma ação de reaproveitamento de água em uma escola pública, torneiras idênticas são usadas para encher caixas de armazenamento com a mesma capacidade. Em um teste, 2 torneiras encheram 5 caixas em 5 horas, mantendo vazão constante e funcionando simultaneamente. Para uma nova etapa, a equipe pretende usar 4 torneiras iguais para encher 3 caixas.

Com base nos dados do teste, qual é o tempo necessário, em condições semelhantes, para que 4 torneiras encham 3 caixas?

• ✅ A) 1,5 hora — O teste indica 10 torneira-hora para 5 caixas, ou seja, 2 torneira-hora por caixa. Para 3 caixas são 6 torneira-hora; com 4 torneiras, o tempo é 6 ÷ 4 = 1,5 hora.
• ❌ B) 2,5 horas — Mantém o tempo de 5 horas proporcional só à quantidade de caixas, sem considerar que a nova situação usa o dobro de torneiras.
• ❌ C) 7,5 horas — Ajusta o tempo pela razão entre caixas e torneiras do teste, ignorando que as 4 torneiras funcionam simultaneamente.
• ❌ D) 4 horas — Considera só a razão entre quantidades de torneiras e caixas, sem usar o tempo e a vazão determinados pelo teste.
• ❌ E) 3 horas — Calcula bem o trabalho para 3 caixas, mas divide por 2 torneiras, mantendo a quantidade do teste em vez das 4 da nova etapa.

Dica de resolução: use regra de três para calcular o tempo com 4 torneiras para encher 3 caixas.

Questão 4: distribuição do tempo de um áudio publicitário

Para favorecer a compreensão e a lembrança de uma campanha de áudio de 25 segundos para crianças, a equipe definiu estas faixas de tempo: abertura, de 4 a 6 segundos; desenvolvimento, de 10 a 13 segundos; repetição do slogan, de 5 a 7 segundos; encerramento, de 1 a 3 segundos. As quatro partes devem somar 25 segundos.

Qual distribuição de tempo atende às faixas definidas para o áudio?

• ❌ A) Abertura: 2 s; desenvolvimento: 1 s; repetição do slogan: 20 s; encerramento: 2 s. — A soma é 25 s, mas abertura e desenvolvimento ficam abaixo do mínimo e o slogan ultrapassa o máximo.
• ❌ B) Abertura: 5 s; desenvolvimento: 7 s; repetição do slogan: 12 s; encerramento: 1 s. — A soma é 25 s, mas o desenvolvimento fica abaixo do mínimo e o slogan ultrapassa o máximo.
• ❌ C) Abertura: 2 s; desenvolvimento: 17 s; repetição do slogan: 4 s; encerramento: 2 s. — A soma é 25 s, mas a abertura e o slogan ficam abaixo do mínimo e o desenvolvimento ultrapassa o máximo.
• ✅ D) Abertura: 5 s; desenvolvimento: 12 s; repetição do slogan: 6 s; encerramento: 2 s. — A soma é 25 s e cada parte está dentro da faixa indicada.
• ❌ E) Abertura: 15 s; desenvolvimento: 5 s; repetição do slogan: 3 s; encerramento: 2 s. — A soma é 25 s, mas a abertura ultrapassa o máximo e as outras duas partes ficam abaixo dos mínimos.

Dica de resolução: confira se cada duração está na faixa indicada e se a soma totaliza 25 segundos.

Questão 5: razão entre corante e solução

Em um experimento, 2 partes de corante foram misturadas com 8 partes de água.

— Qual é a razão entre corante e solução total?

• ❌ A) A razão é 4/5, pois a maior parte da mistura é água, representada por 8 partes em um total de 10. — Usa a quantidade de água em vez da de corante, calculando a razão água/solução total.
• ❌ B) A razão é 2/5, pois as 2 partes de corante devem ser comparadas com as 5 partes obtidas ao simplificar o total. — Reduz o total sem reduzir proporcionalmente o corante; numerador e denominador precisam ser divididos pelo mesmo número.
• ✅ C) A razão é 1/5, pois o total da solução é 10 partes e 2/10 simplifica para 1/5. — A solução total tem 2 + 8 = 10 partes, e a razão corante/solução é 2/10 = 1/5.
• ❌ D) A razão é 5/1, pois a solução total tem 10 partes e há 2 partes de corante, formando 10/2. — Inverte a ordem da razão pedida, que é corante em relação à solução total.
• ❌ E) A razão é 1/4, pois foram usadas 2 partes de corante para 8 partes de água, e 2/8 simplifica para 1/4. — Calcula a razão entre corante e água, e não entre corante e solução total.

Dica de resolução: some as partes para obter o total e compare a quantidade de corante com esse total.

Questão 6: solidificação e temperatura

Durante um experimento, a temperatura de uma solução é inversamente proporcional ao tempo que ela leva para se solidificar. Se em 10 °C a solidificação leva 30 minutos, quanto tempo levará a 20 °C?

• ❌ A) 30 minutos — É o tempo registrado a 10 °C, e não o tempo na nova temperatura.
• ❌ B) 20 minutos — Não respeita a relação inversa entre temperatura e tempo.
• ✅ C) 15 minutos — Como a relação é inversa, ao dobrar a temperatura o tempo cai pela metade: 30 ÷ 2 = 15 minutos.
• ❌ D) 10 minutos — Reduz o tempo mais do que a proporção indica.
• ❌ E) 5 minutos — Reduz o tempo de forma excessiva, sem base na proporção dada.

Dica de resolução: use a relação inversamente proporcional, em que dobrar a temperatura reduz o tempo pela metade.

Próximos passos

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