Atividades de Volume de prismas e cilindros para a 2ª série do Ensino Médio com gabarito

Quando trabalho volume de prismas e cilindros na 2ª série, começo destacando uma ideia que organiza muitos exercícios: volume é o produto da área da base pela altura do sólido. A fórmula é curta, mas a resolução depende de identificar corretamente cada medida, calcular a área da base e manter as unidades coerentes. Em sala, percebo que vale a pena pedir aos alunos que expliquem de onde vem cada número antes de substituir na fórmula.

Também proponho situações em que os volumes precisam ser comparados, igualados ou subtraídos, como no caso de um furo cilíndrico em um bloco. As questões desta sequência incluem ainda relações entre sólidos e comparação por secções transversais. Assim, posso observar tanto o domínio das fórmulas quanto a capacidade de interpretar o que o enunciado está pedindo.

O que o aluno de 2ª série precisa saber sobre Volume de prismas e cilindros

Para resolver problemas de volume de prismas e cilindros, o aluno precisa reconhecer a base de cada sólido, calcular sua área e relacioná-la à altura. Em um prisma reto, o volume é a área da base multiplicada pela altura do prisma; no cilindro, é πr²h, em que r representa o raio e h, a altura. A base triangular exige aplicar a fórmula da área do triângulo, enquanto a base retangular ou quadrada pede o produto de suas dimensões. Em problemas de comparação, é necessário montar uma igualdade entre volumes; em situações de perfuração, subtrair o volume retirado do volume inicial. Algumas questões também pedem interpretar a relação de um terço entre pirâmide e prisma com mesma base e altura, ou reconhecer volumes iguais a partir de secções correspondentes. Por fim, o estudante deve isolar incógnitas, lidar com π e conferir se a unidade final é cúbica.

O que ele precisa saber antes

Antes desta sequência, reviso área de triângulo retângulo e de retângulo ou quadrado, além das fórmulas de volume do prisma, do cilindro e da pirâmide. Também é importante que a turma saiba resolver equações com uma incógnita, inclusive quando a relação leva a uma potência cúbica, e interpretar expressões com π. Para as questões de comparação por secções, retomo a ideia de que sólidos com a mesma altura e áreas iguais em cada secção horizontal correspondente têm o mesmo volume.

Onde os alunos mais erram

Um erro recorrente é tratar a área da base como se já fosse o volume. No prisma, ainda é preciso multiplicar pela altura. Em bases triangulares, pode desaparecer o fator 1/2; no cilindro, é comum usar o diâmetro no lugar do raio ou esquecer que o raio deve ser elevado ao quadrado. Quando a altura é expressa em função do raio, como h = 3r, a substituição precisa ser feita antes de resolver a equação.

Em problemas com um furo, o raciocínio correto é retirar o volume do cilindro do volume do bloco. Somar os dois volumes ou ignorar o furo muda o significado da situação. Já em questões de relação entre sólidos, alguns distratores refletem confusões entre igualdade, metade e um terço. Para comparação por secções transversais, a aparência inclinada de uma caixa não basta para concluir que seu volume mudou: é preciso considerar as áreas das secções ao longo da altura. Por isso, peço que os alunos registrem primeiro a informação geométrica usada e só depois façam as contas.

Como trabalhar em sala

• Faça uma leitura guiada das medidas: peça que a turma marque base, altura e raio no enunciado e indique a que sólido cada medida pertence.
• Compare fórmulas lado a lado: escreva V = A_baseH para prismas e V = πr²h para cilindros. Discuta o papel de cada fator e as unidades.
• Use desenhos simples: um esboço no quadro de um bloco com furo ajuda a visualizar por que o volume removido deve ser subtraído.
• Peça estimativas antes do cálculo: antes de resolver, convide os alunos a avaliar se o resultado deve ser maior ou menor que o volume inicial e se a medida encontrada é plausível.
• Analise os distratores: em vez de apenas corrigir a alternativa, peça que a turma identifique qual etapa poderia produzir cada resposta incorreta.

Questões prontas de Volume de prismas e cilindros para a 2ª série do Ensino Médio (com gabarito comentado)

As oito questões a seguir estão organizadas com alternativas e comentários para facilitar a correção coletiva. Nas questões sobre pirâmides e secções transversais, vale explicitar a relação geométrica envolvida, sem perder de vista o foco em volume.

1. Prisma triangular e cilindro de mesmo volume

Um prisma reto tem base triangular com base b = 6,0 m e altura da base = 4,0 m; a altura do prisma é H = 2,0 m. Deseja-se um cilindro reto de altura h = 3,0 m com o mesmo volume do prisma. Determine o raio r do cilindro, apresentando expressão exata e aproximação.

• ❌ A) r = √(24/π) m. Essa opção usa valores incorretos ao montar o volume e não divide corretamente pela altura do cilindro.
• ❌ B) r = 4 m. O raio é excessivo para o volume informado e não resulta da igualdade entre os volumes.
• ❌ C) r = 2 m. Esse valor não satisfaz a equação do volume do cilindro com altura de 3 m.
• ❌ D) r = 3 m. A alternativa não isola corretamente o raio e desconsidera a divisão pela altura do cilindro.
• ✅ E) r = √(8/π) m ≈ 1,595 m. A base triangular tem área (6 × 4)/2 = 12 m²; o prisma tem volume 12 × 2 = 24 m³. Igualando πr² × 3 a 24, obtemos r² = 8/π.

2. Silo cilíndrico com altura igual a três vezes o raio

Um silo cilíndrico reto tem altura h = 3r, em que r é o raio em metros. Seu volume é igual ao de um prisma reto cuja base triangular tem área 18 m² e altura 4 m. Determine r, em expressão exata e aproximação com duas casas decimais.

• ❌ A) r = 10/π m. A expressão não decorre da equação cúbica formada ao substituir h = 3r.
• ❌ B) r = 3,0 m. Esse valor não satisfaz a relação entre o volume do silo e os 72 m³ do prisma.
• ❌ C) r = 2,5 m. A alternativa não relaciona corretamente a área da base do prisma com o volume cilíndrico.
• ❌ D) r = 4/π m. A expressão não considera corretamente a potência cúbica do raio.
• ✅ E) r = (24/π)^1/3 ≈ 1,97 m. O prisma tem volume 18 × 4 = 72 m³. Como h = 3r, o cilindro tem volume 3πr³. Logo, r³ = 24/π.

3. Encontrar x na base de um prisma triangular

Um prisma reto tem como base um triângulo retângulo cujos catetos medem 3x m e 4x m. A altura do prisma é 5 m e o volume é 180 m³. Determine x.

• ❌ A) x = 4 m. Com esse valor, o volume seria 30x² = 480 m³, não 180 m³.
• ✅ B) x = √6 m. A área da base é (3x × 4x)/2 = 6x². Então 6x² × 5 = 180, de onde x² = 6.
• ❌ C) x = 5 m. A substituição produz um volume maior que o indicado.
• ❌ D) x = 3 m. A substituição resulta em 270 m³, não 180 m³.
• ❌ E) x = 2 m. Esse valor gera volume de 120 m³, abaixo do volume informado.

4. Volume restante após perfurar um bloco

Um bloco de concreto em forma de prisma reto tem base retangular de 1,20 m × 0,90 m e altura 0,80 m. Foi perfurado verticalmente um furo cilíndrico de raio 0,30 m e altura igual à do bloco. Calcule o volume de concreto restante, em forma exata com π e em aproximação com três casas decimais.

• ✅ A) V = 0,864 − 0,072π m³ ≈ 0,638 m³. O bloco tem volume (1,20 × 0,90) × 0,80 = 0,864 m³. O furo tem volume π × 0,30² × 0,80 = 0,072π m³; subtraímos esse valor.
• ❌ B) V = 0,90π m³. A opção não calcula corretamente o volume do bloco nem o volume cilíndrico removido.
• ❌ C) V = 0,800 m³. Esse resultado ignora o furo e também não corresponde ao volume original do bloco.
• ❌ D) V = 1,00 m³. Somar dimensões não calcula volume, e a alternativa não desconta o cilindro.
• ❌ E) V = 0,528 m³. O valor não resulta da subtração correta entre os volumes calculados com as medidas fornecidas.

5. Relação entre os volumes de uma pirâmide e um prisma

Uma pirâmide e um prisma têm a mesma base e a mesma altura. Foram necessárias três transferências completas do conteúdo da pirâmide para preencher o prisma. Qual é a relação entre os volumes?

• ❌ A) O volume da pirâmide é igual ao do prisma. Três transferências mostram que o conteúdo da pirâmide não preenche o prisma de uma só vez.
• ❌ B) O volume da pirâmide é metade do volume do prisma. A comparação indicada corresponde a três porções iguais, não a duas.
• ✅ C) O volume da pirâmide é 1/3 do volume do prisma. São necessárias três cargas iguais da pirâmide para completar o prisma de mesma base e altura.
• ❌ D) O volume da pirâmide é o dobro do volume do prisma. Isso inverte a comparação indicada no enunciado.
• ❌ E) O volume da pirâmide é 1/4 do volume do prisma. O texto indica três transferências, não quatro.

6. Volume de uma pirâmide de base quadrada

Um artesão modelou uma pirâmide reta com altura de 12 cm e base quadrada de lado 6 cm. Determine o volume da peça, em cm³.

• ❌ A) 108 cm³. Esse resultado usa 9 cm como altura, embora a altura informada seja 12 cm.
• ✅ B) 144 cm³. A área da base é 6 × 6 = 36 cm². O volume é 36 × 12 ÷ 3 = 144 cm³.
• ❌ C) 48 cm³. A divisão por 9 não corresponde à fórmula do volume da pirâmide.
• ❌ D) 288 cm³. A opção usa o fator 2/3, duplicando o volume correto.
• ❌ E) 72 cm³. Essa conta usa o lado da base como se fosse a altura da pirâmide.

7. Volume de um prisma com laterais inclinadas

A caixa A é um prisma reto de base retangular 12 cm por 5 cm e altura 8 cm. A caixa B tem a mesma altura e áreas iguais em cada corte horizontal correspondente, embora suas laterais sejam inclinadas. Qual é o volume da caixa B?

• ✅ A) 480 cm³. A caixa A tem volume 12 × 5 × 8 = 480 cm³. Como as secções correspondentes têm áreas iguais ao longo da mesma altura, os volumes também são iguais.
• ❌ B) 960 cm³. Dobrar o volume não é justificado pelas informações sobre as secções.
• ❌ C) 720 cm³. A medida de 12 cm é uma dimensão da base, não a altura indicada.
• ❌ D) 240 cm³. Dividir por dois não representa a inclinação nem os dados do enunciado.
• ❌ E) 400 cm³. A aparência inclinada não reduz o volume quando as áreas das secções correspondentes são iguais.

8. Igualar o volume de um cilindro e de um prisma triangular

Um cilindro tem raio 10 cm e altura 12 cm. Um prisma reto tem base triangular retângula com catetos de 8 cm e 15 cm. Qual deve ser a altura do prisma para que os volumes sejam iguais?

• ❌ A) 40π cm. Esse resultado usa 30 cm² como área da base triangular, metade da área correta.
• ❌ B) 12π cm. A conta usa 100 cm², que corresponde ao quadrado do raio do cilindro, como se fosse a área da base do prisma.
• ✅ C) 20π cm. O cilindro tem volume π × 10² × 12 = 1200π cm³. A área triangular é (8 × 15)/2 = 60 cm²; portanto, a altura do prisma é 1200π/60 = 20π cm.
• ❌ D) 30π cm. O valor decorre de calcular incorretamente a área triangular como 40 cm².
• ❌ E) 10π cm. A alternativa omite a divisão por dois no cálculo da área do triângulo, usando 120 cm².

Próximos passos

Depois da resolução, proponho que os alunos refaçam uma questão explicando cada etapa: identificação da base, cálculo da área, escolha da fórmula e interpretação do resultado. Para ampliar a prática, consulte as questões da habilidade EM13MAT309 e as questões da habilidade EM13MAT504. Também é possível montar uma avaliação personalizada no gerador de provas do GeraProva e fazer o cadastro grátis.

Use estas questões como ponto de partida: adapte a seleção ao ritmo da sua turma e complemente a correção com as estratégias que seus alunos apresentarem.