Atividades de sequências recursivas e não recursivas para o 7º ano com gabarito

Quando trabalho sequências no 7º ano, procuro levar a turma além de completar os próximos números. O ponto importante é ler a regra e perceber como ela determina cada termo: pela posição ocupada ou por valores anteriores. Essa diferença aparece em situações simples, como acrescentar sempre uma quantidade, e em regras que usam dois termos já conhecidos. Em sala, vale colocar as duas formas lado a lado e pedir que os estudantes expliquem como encontrariam um termo distante. Assim, a conversa não fica restrita a reconhecer um padrão visual.

Neste material, organizei oito questões de Matemática sobre sequências recursivas e não recursivas, com gabarito comentado. Elas exploram fórmulas explícitas, dependência do termo anterior, soma de dois termos anteriores e padrões periódicos. Eu as usaria para diagnóstico, discussão em duplas ou revisão, retomando as justificativas quando uma alternativa confunde uma regra direta com uma recursiva.

O que o aluno de 7º ano precisa saber sobre sequências recursivas e não recursivas

No 7º ano, o aluno precisa reconhecer que uma sequência é uma lista ordenada de termos e interpretar a regra que permite obtê-los. Uma definição recursiva informa um ou mais termos iniciais e determina os seguintes a partir de termos anteriores: por exemplo, começar com 1 e 1 e somar os dois últimos para encontrar cada novo termo. Uma definição não recursiva, também chamada explícita em muitos exercícios, calcula o termo diretamente a partir de sua posição, como bₙ = 4n + 1. O estudante deve distinguir essas formas mesmo quando ambas produzem sequências com padrões visíveis. Também precisa verificar o que a regra realmente pede: aumentar sempre pela mesma quantidade não é o mesmo que somar dois termos anteriores; duplicar o anterior é outra relação recursiva. Observar alguns valores ajuda, mas a classificação depende da regra apresentada, não apenas da aparência da lista.

O que ele precisa saber antes

Antes destas atividades, é útil que a turma saiba ler sequências numéricas, identificar a posição de um termo e realizar adições e multiplicações básicas. Também ajuda compreender que uma letra como n pode representar a posição e substituir valores em uma expressão simples, como 3n + 2. Algumas questões envolvem padrões aditivos, como acrescentar 2 ou 3, e reconhecer quadrados de números naturais; outras citam uma regra que multiplica o termo anterior. Não é necessário apresentar esses exemplos como fórmulas novas antes da leitura: eles podem ser retomados durante a correção. O essencial é que os estudantes acompanhem a diferença entre calcular usando a posição e calcular usando um ou mais termos já obtidos. Se a turma ainda confunde a posição com o valor do termo, faça uma tabela curta com n e o valor correspondente.

Onde os alunos mais erram

Um erro recorrente nestas questões é chamar de recursiva qualquer sequência que tenha uma regra ou uma fórmula. A presença de uma expressão algébrica, por si só, não define o tipo: é preciso perguntar se ela usa diretamente n ou se depende de termos anteriores. Por isso, uma fórmula como 4n + 1 é explícita, enquanto uma regra como “o próximo termo é o dobro do anterior” é recursiva.

Outro tropeço é confundir padrões que parecem semelhantes. Uma sequência que cresce de 2 em 2 não obedece necessariamente à soma dos dois termos anteriores; uma sequência que duplica o termo anterior também não é a mesma que soma os dois últimos. Há ainda o risco de classificar uma lista de observações como recursiva sem que o enunciado indique uma regra de dependência. Nas questões abaixo, peça que o estudante aponte a frase ou expressão que sustenta sua escolha. A justificativa costuma revelar se ele leu a definição ou apenas reconheceu uma aparência familiar.

Como trabalhar em sala

• Compare duas regras: escreva no quadro uma regra direta, como bₙ = 4n + 1, e outra que use o termo anterior. Peça à turma que explique qual informação precisa para calcular o termo seguinte.
• Monte uma tabela: organize as colunas “posição”, “regra” e “termo”. Com poucos valores, os estudantes podem verificar como a posição n entra no cálculo e quando é necessário olhar para um termo anterior.
• Peça justificativas curtas: além de marcar a alternativa, solicite uma frase que comece com “é recursiva porque...” ou “é não recursiva porque...”. Isso evidencia o critério aplicado.
• Use cartões ou tiras de papel: escreva regras diferentes e peça que os grupos as separem em duas categorias. Não é preciso material especial; depois, cada grupo explica uma classificação para a turma.
• Retome os distratores: na correção, compare uma sequência que aumenta sempre pela mesma quantidade com outra que soma dois termos anteriores. Pergunte qual operação e quais termos a regra realmente utiliza.

Questões prontas de sequências recursivas e não recursivas para o 7º ano (com gabarito comentado)

As questões a seguir trabalham a habilidade EF07MA14. Você pode aplicá-las como lista, selecionar algumas para uma atividade de revisão ou usar as alternativas erradas como ponto de partida para uma conversa sobre regras. Na questão 2, apresento a primeira regra com notação legível: a₁ = 3 e aₙ = 2 · aₙ₋₁, para n > 1.

1. Qual sequência é recursiva?

Observe as cinco sequências: (1) visitantes de um museu: 120, 135, 142, 130, 150, 148, 155; (2) população celular P(n) = 100 · 1,5ⁿ⁻¹; (3) folhas de uma planta, em que cada termo a partir do terceiro é a soma dos dois anteriores, começando por 1, 1; (4) temperaturas de um dia: 18, 19, 21, 23, 22, 20, 19; (5) coordenadas x = 2n e y = 3n. Qual é definida usando termos anteriores?

• ❌ A) População celular. A fórmula usa diretamente n; não exige conhecer a população do período anterior.
• ✅ B) Número de folhas da planta. A partir do terceiro termo, usa a soma dos dois anteriores: 1, 1, 2, 3, 5, 8...
• ❌ C) Coordenadas dos pontos. x e y são calculados diretamente pela posição n.
• ❌ D) Temperaturas. São registros apresentados em lista; não há regra que calcule uma temperatura a partir das anteriores.
• ❌ E) Visitantes do museu. Também é uma lista de valores observados, sem uma regra recursiva informada.

Gabarito comentado: B. O critério é a dependência explícita de termos anteriores, não o fato de a lista ter números ou apresentar variações.

2. Classifique as duas sequências de Pedro

A primeira foi definida por a₁ = 3 e aₙ = 2 · aₙ₋₁, para n > 1, formando 3, 6, 12, 24... A segunda foi definida por bₙ = 4n + 1, formando 5, 9, 13, 17... Qual classificação está correta?

• ✅ A) A primeira é recursiva e a segunda não é recursiva. Na primeira, cada termo duplica o anterior; na segunda, usa-se diretamente n.
• ❌ B) A primeira é recursiva, mas não é possível classificar a segunda. A fórmula bₙ = 4n + 1 fornece diretamente o termo, então ela pode ser classificada.
• ❌ C) As duas são recursivas. Ter uma regra não basta: a segunda não depende de termos anteriores.
• ❌ D) A primeira não é recursiva e a segunda é. A alternativa inverte os critérios: a primeira usa o termo anterior e a segunda usa n.
• ❌ E) Nenhuma é recursiva. A primeira depende claramente do termo anterior, portanto essa classificação ignora a regra dada.

Gabarito comentado: A. Vale observar que uma expressão algébrica também pode aparecer numa definição recursiva; o que importa é se ela usa termos anteriores. Aqui, aₙ usa aₙ₋₁.

3. Encontre a sequência formada pela soma dos dois termos anteriores

Em uma exposição sobre mosaicos, aparecem as sequências I. 2, 4, 6, 8, 10; II. 1, 1, 2, 3, 5, 8; III. 1, 4, 9, 16, 25; IV. 2, 4, 8, 16, 32; V. 3, 5, 7, 10, 12. Qual, a partir do terceiro termo, soma os dois anteriores?

• ❌ A) 3, 5, 7, 10, 12. As diferenças variam; a lista não segue a regra pedida.
• ❌ B) 2, 4, 6, 8, 10. Ela soma 2 ao termo anterior, não soma os dois termos anteriores.
• ✅ C) 1, 1, 2, 3, 5, 8. Verifica-se: 1 + 1 = 2; 1 + 2 = 3; 2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8.
• ❌ D) 2, 4, 8, 16, 32. Cada termo é o dobro do anterior, em vez de ser a soma dos dois anteriores.
• ❌ E) 1, 4, 9, 16, 25. São quadrados de números naturais; a regra não corresponde à soma dos dois termos anteriores.

Gabarito comentado: C. A conferência termo a termo evita escolher apenas por a sequência ser crescente.

4. Qual sequência segue o padrão recursivo descrito?

Em um poema, os dois primeiros versos têm uma palavra cada; a partir do terceiro, cada verso tem a soma das palavras dos dois versos anteriores. Qual sequência segue esse padrão?

• ❌ A) 120, 135, 128, 142, 130, 147. Por exemplo, 120 + 135 não resulta em 128.
• ❌ B) 3, 6, 12, 24, 48, 96. Cada termo dobra o anterior, em vez de somar os dois anteriores.
• ✅ C) 1, 1, 2, 3, 5, 8. Cada termo a partir do terceiro é a soma dos dois anteriores.
• ❌ D) 2, 4, 6, 8, 10, 12. O padrão acrescenta 2 ao termo anterior.
• ❌ E) 1, 2, 1, 2, 1, 2. Os valores alternam em um ciclo; não são obtidos pela soma dos dois anteriores.

Gabarito comentado: C. A sequência atende aos dois termos iniciais e à regra recursiva indicada no enunciado.

5. Classifique as regras das quatro faixas de painéis

Na faixa I, começa-se com 4 pontos e cada painel seguinte recebe 3 a mais que o anterior. Na faixa II, os pontos são quatro vezes o número de ordem. Na faixa III, os dois primeiros painéis têm 1 e 2 pontos, e cada novo painel reúne as quantidades dos dois anteriores. Na faixa IV, a quantidade é o quadrado do número de ordem. Quais faixas são recursivas?

• ❌ A) II e III recursivas; I e IV não recursivas. I depende do painel anterior, enquanto II é calculada pela posição.
• ❌ B) I e IV recursivas; II e III não recursivas. IV usa o quadrado da posição; III depende dos dois painéis anteriores.
• ❌ C) I e II recursivas; III e IV não recursivas. A regra de II usa a posição, enquanto III soma termos anteriores.
• ✅ D) I e III recursivas; II e IV não recursivas. I usa o painel anterior, III usa os dois anteriores, e II e IV usam diretamente a posição.
• ❌ E) III e IV recursivas; I e II não recursivas. I depende do painel anterior; IV depende apenas do número de ordem.

Gabarito comentado: D. A comparação das regras é mais importante do que o contexto dos painéis: identifique de quais dados cada termo depende.

6. Compare as fileiras Azul e Dourada

Na fileira Azul, a quantidade de fitas é igual ao número da posição: 1 na primeira, 2 na segunda, 3 na terceira e assim por diante. Na Dourada, a primeira posição tem 2 fitas e cada nova posição recebe 3 a mais que a anterior. Qual classificação está correta?

• ❌ A) Não é possível classificar as sequências. As regras informam como determinar os termos de ambas.
• ❌ B) Azul e Dourada são não recursivas. A regra da Dourada exige conhecer o termo anterior para acrescentar 3.
• ✅ C) Azul é não recursiva e Dourada é recursiva. A primeira usa diretamente a posição; a segunda depende do valor anterior.
• ❌ D) Azul e Dourada são recursivas. A regra da Azul não utiliza o termo da posição anterior.
• ❌ E) Azul é recursiva e Dourada é não recursiva. A alternativa inverte os critérios de dependência apresentados.

Gabarito comentado: C. Peça que os estudantes apontem a informação necessária para calcular um termo de cada fileira.

7. Qual regra para as contas do colar é recursiva?

Ana registra maneiras de determinar a quantidade de contas em cada fileira. Considerando a regra de cada alternativa, qual sequência define cada termo a partir de um ou mais termos anteriores?

• ❌ A) A quantidade na posição n é 3n + 2. Basta substituir a posição n; não se usa uma fileira anterior.
• ✅ B) A primeira e a segunda fileiras têm 1 conta cada, e cada fileira seguinte tem a soma das duas anteriores. Essa regra usa termos anteriores.
• ❌ C) A quantidade na posição n é n² + 1. O cálculo depende da posição, não dos valores anteriores.
• ❌ D) As quantidades repetem 2, 5, 2, 5, 2, 5. É uma repetição periódica, sem regra que calcule o próximo a partir dos anteriores.
• ❌ E) A quantidade na posição n é 5 · 2ⁿ⁻¹. É uma fórmula explícita que fornece o valor usando n.

Gabarito comentado: B. A soma das duas fileiras anteriores é a característica que torna a regra recursiva; as demais dão o termo pela posição ou repetem um padrão.

8. O programa pode calcular sem consultar posições anteriores?

Na faixa X, a quantidade de peças azuis na posição n é 3n + 1, com n = 1 na primeira posição. Na faixa Y, a primeira posição tem 2 peças e cada posição seguinte recebe 3 a mais que a anterior. Como se classificam os procedimentos?

• ❌ A) X e Y são não recursivos. Y depende da posição anterior para acrescentar 3.
• ❌ B) X e Y são recursivos. X calcula diretamente o valor a partir de n.
• ❌ C) X é recursivo e Y não recursivo. A classificação está invertida: X usa n e Y usa o termo anterior.
• ❌ D) X não forma sequência e Y é recursivo. A regra explícita de X determina valores para as posições e, portanto, forma uma sequência.
• ✅ E) X é não recursivo e Y é recursivo. X usa diretamente n; Y precisa do valor anterior para determinar o seguinte.

Gabarito comentado: E. Para X, o programa calcula uma posição sem consultar as anteriores. Na regra de Y, é necessário partir do termo anterior e acrescentar 3.

Para continuar o trabalho

Depois da correção, eu escolheria uma questão em que a turma tenha hesitado e pediria que os estudantes reescrevessem a regra com suas palavras. Esse fechamento ajuda a verificar se diferenciaram posição e termo anterior, em vez de apenas memorizar exemplos. Você também pode acessar questões da habilidade EF07MA14 e adaptar a seleção ao objetivo da aula. Para montar uma avaliação com outras atividades, visite o gerador de provas do GeraProva; o cadastro grátis permite conhecer a plataforma.

Use as questões como ponto de partida e ajuste a atividade ao percurso da sua turma. No GeraProva, você pode explorar outras formas de preparar provas e materiais de Matemática.