Atividades de Semelhança de triângulos para o 9º ano com gabarito

Quando ensino semelhança de triângulos no 9º ano, procuro deixar claro que a ideia central não é encontrar figuras de tamanho igual, mas reconhecer quando têm a mesma forma. Na prática, isso pede atenção às correspondências: quais ângulos se comparam e quais lados ocupam posições equivalentes. Se essa organização não aparece no raciocínio, uma conta de proporção pode até estar correta, mas responder à pergunta errada.

Também gosto de alternar justificativas geométricas com cálculos. Assim, consigo observar se a turma identifica um critério de semelhança ou apenas tenta operar com os números do enunciado. A seguir, organizei uma revisão e oito questões para trabalhar esses pontos, com alternativas comentadas e referências à habilidade EF09MA12.

O que o aluno de 9º ano precisa saber sobre Semelhança de triângulos

No 9º ano, o aluno precisa compreender que dois triângulos são semelhantes quando têm a mesma forma: seus ângulos correspondentes são iguais e seus lados correspondentes mantêm uma razão constante. Um caminho importante para justificar a semelhança é o critério AA: se dois pares de ângulos correspondentes são congruentes, o terceiro par também será, pois a soma dos ângulos internos de cada triângulo é 180°. Outro caminho é o critério LAL, também chamado SAS: dois pares de lados correspondentes são proporcionais e o ângulo compreendido entre cada par é igual. Depois de estabelecer as correspondências, é possível calcular a razão de semelhança e encontrar medidas desconhecidas. Também é necessário distinguir semelhança de congruência: triângulos congruentes têm a mesma forma e o mesmo tamanho; os semelhantes podem ter tamanhos diferentes. Ao comparar áreas, a razão entre elas corresponde ao quadrado da razão linear entre os lados correspondentes.

O que ele precisa saber antes

Antes de resolver as atividades, vale retomar alguns conhecimentos que aparecem diretamente nas questões. O primeiro é a razão e a proporção entre segmentos: o estudante precisa comparar lados correspondentes na mesma ordem, por exemplo, AB/DE e AC/DF. Pode ser útil escrever as correspondências antes de substituir valores, especialmente quando o enunciado nomeia dois triângulos diferentes.

Outro pré-requisito é reconhecer ângulos correspondentes e identificar o ângulo incluído entre dois lados. No critério LAL, não basta selecionar quaisquer dois lados proporcionais: o ângulo comparado precisa ser aquele formado por esses lados. Para o critério AA, é necessário compreender que dois ângulos iguais determinam a semelhança e que o terceiro pode ser encontrado pela soma de 180° dos ângulos internos.

Por fim, a turma precisa relacionar a razão entre lados à razão entre áreas. Se os lados correspondentes têm razão k, a razão entre as áreas é k². Retomar essa relação antes das questões de cálculo ajuda a evitar que a razão linear seja aplicada diretamente às áreas.

Onde os alunos mais erram

Um erro recorrente nas situações propostas é confundir critérios diferentes. Ao observar dois pares de lados proporcionais, alguns estudantes podem marcar o critério AA, que é baseado em ângulos, ou concluir que os lados bastam sem verificar o ângulo compreendido entre eles. Nas questões de LAL, a pergunta que ajuda é: os lados comparados formam justamente os ângulos que foram informados como iguais?

Outro ponto de atenção é a ordem das razões. Se o enunciado apresenta AB/DE, a comparação equivalente precisa manter ABC em cima e DEF embaixo, ou inverter ambos os quocientes de maneira consistente. Comparar um lado na ordem ABC/DEF e outro na ordem DEF/ABC pode levar a uma conclusão equivocada. Também convém separar a razão dada da razão pedida: se AB/DE = 1/3, então DE é três vezes AB, e não um terço de AB.

Na comparação de áreas, o distrator mais provável da questão de cálculo representa um engano específico: usar a razão linear diretamente, sem elevá-la ao quadrado. Se a razão entre lados é 3, a razão entre áreas é 9. Em questões de ângulos, pode ocorrer a confusão entre semelhança e congruência: triângulos semelhantes não precisam ter lados iguais. Por último, a soma dos ângulos internos evita aceitar medidas apenas próximas ou compensadas; para garantir a mesma forma pelo critério AA, os ângulos correspondentes informados precisam coincidir.

Como trabalhar em sala

• Peça que indiquem as correspondências antes de calcular. Em cada exercício, os alunos podem anotar quais vértices, ângulos e lados se correspondem. Esse passo simples torna mais visível a ordem das razões.
• Compare os critérios com exemplos curtos. Apresente um caso com dois ângulos correspondentes iguais e outro com dois pares de lados proporcionais e ângulo incluído igual. Peça que expliquem qual informação sustenta cada conclusão.
• Use desenhos esquemáticos no quadro ou no caderno. Não é preciso material especial: marque os ângulos iguais com arcos e os lados correspondentes com traços. O desenho pode ajudar a perceber se o ângulo indicado está entre os lados escolhidos.
• Separe razão linear e razão de áreas. Em uma resolução coletiva, registre primeiro o fator de escala dos lados e, em uma linha diferente, o seu quadrado para as áreas. Essa organização ajuda a identificar exatamente onde uma resposta se desviou.
• Peça justificativas além da alternativa. Após a escolha, solicite uma frase como “os dois pares de ângulos correspondem, então aplico AA” ou “os lados são proporcionais e o ângulo entre eles é igual, então aplico LAL”. A explicação revela se a escolha decorreu do critério adequado.

Questões prontas de Semelhança de triângulos para o 9º ano (com gabarito comentado)

As oito questões a seguir abordam reconhecimento dos critérios, comparação de medidas, razão de áreas e aplicação em situações contextualizadas. Você pode usá-las como atividade de revisão, tarefa ou parte de uma avaliação, selecionando a ordem conforme o que já foi trabalhado com a turma.

1. Critério LAL com lados proporcionais e ângulo incluído

Nos triângulos ABC e DEF tem-se AB/DE = 3/2, AC/DF = 3/2 e ∠A = ∠D = 50°. É possível afirmar que ABC ~ DEF? Explique qual critério é usado.

• ✅ A) Sim. São semelhantes por SAS (lados proporcionais com o ângulo incluído igual). Correta. As razões dos lados correspondentes são iguais e os ângulos entre esses lados também são congruentes. Isso satisfaz o critério LAL, ou SAS.
• ❌ B) Não, pois o ângulo D é maior que A. Incorreta. O enunciado informa que ambos medem 50°, portanto são iguais.
• ❌ C) Sim, mas o critério usado é AA. Incorreta. A conclusão de semelhança é possível, mas os dados usados são dois pares de lados proporcionais e o ângulo incluído igual: trata-se de LAL, não AA.
• ❌ D) Sim, por serem triângulos isósceles, independente dos lados. Incorreta. O enunciado não afirma que sejam isósceles, e essa condição não é a justificativa apresentada. A semelhança decorre das proporções e do ângulo incluído.
• ❌ E) Não, pois somente os lados devem ser proporcionais. Incorreta. Para aplicar LAL, além dos dois pares de lados proporcionais, é preciso que os ângulos compreendidos entre eles sejam iguais.

Gabarito comentado: A. Vale pedir que a turma aponte quais lados formam os ângulos A e D, antes de nomear o critério.

2. Medidas correspondentes e razão entre áreas

Seja ABC e DEF com AB = 9, AC = 12 e sabe-se que AB/DE = AC/DF = 1/3. Determine DE, DF e a razão entre as áreas Área(DEF)/Área(ABC).

• ❌ A) DE = 27, DF = 30, mas razões de áreas são iguais a 6. Incorreta. DE = 27 está correto, mas AC/DF = 1/3 dá DF = 36, não 30. Além disso, a razão das áreas é o quadrado da razão linear 3, portanto é 9.
• ✅ B) DE = 27, DF = 36 e Área(DEF)/Área(ABC) = 9. Correta. De 9/DE = 1/3, obtemos DE = 27; de 12/DF = 1/3, obtemos DF = 36. A razão de DEF para ABC é 3 nos lados, então é 3² = 9 nas áreas.
• ❌ C) A razão de semelhança entre os triângulos é 1/6, não 1/3. Incorreta. A razão entre os lados indicados foi dada como 1/3. Na ordem inversa, DEF/ABC, ela é 3; não é 1/6.
• ❌ D) DE = 30 e DF = 45, logo razão de áreas é 4. Incorreta. Esses valores não satisfazem as proporções do enunciado. As medidas são 27 e 36, e a razão entre áreas é 9.
• ❌ E) DE = 36 e DF = 48, com razão de áreas Área(DEF)/Área(ABC) = 8. Incorreta. As medidas não resultam das equações dadas. Além disso, a razão entre áreas deve ser o quadrado do fator linear correto, que é 3².

Gabarito comentado: B. Oriente os alunos a manter a mesma ordem nas razões e a escrever a relação entre áreas em uma etapa separada.

3. Verificação da semelhança pelo critério LAL

No triângulo ABC tem-se AB = 9, BC = 6 e ∠B = 60°. No triângulo DEF tem-se DE = 12, EF = 8 e ∠E = 60°. Mostre se ABC ~ DEF e determine a razão de semelhança.

• ❌ A) Não é possível afirmar que ABC ~ DEF sem conhecer os lados. Incorreta. Os lados necessários foram informados: as duas razões correspondentes são iguais, e os ângulos incluídos também são iguais.
• ❌ B) Os triângulos são semelhantes por terem ângulos de 90°. Incorreta. Não há ângulos de 90° no enunciado; os ângulos informados medem 60°.
• ❌ C) A razão de semelhança é 6/9, não 3/4. Incorreta. A razão pedida, na ordem ABC/DEF, é AB/DE = 9/12 = 3/4. O quociente 6/9 compara lados que não são correspondentes nessa ordem.
• ❌ D) Os triângulos não são semelhantes porque possuem ângulos diferentes. Incorreta. Os ângulos indicados são ambos de 60° e são correspondentes.
• ✅ E) Sim. ABC ~ DEF por SAS; razão de semelhança = 9/12 = 3/4. Correta. Temos AB/DE = 9/12 = 3/4 e BC/EF = 6/8 = 3/4. O ângulo entre os lados comparados é 60° nos dois triângulos, então vale LAL.

Gabarito comentado: E. A razão depende da ordem escolhida; convém explicitar que 3/4 corresponde a ABC/DEF.

4. Dois pares de ângulos correspondentes iguais

Nos triângulos ABC e DEF tem-se ∠A = 30°, ∠B = 80°, ∠D = 30° e ∠E = 80°. Pode-se afirmar que ABC é semelhante a DEF? Justifique.

• ❌ A) Os triângulos não podem ser semelhantes pois possuem os mesmos ângulos. Incorreta. A igualdade dos ângulos correspondentes é justamente uma condição que permite concluir a semelhança.
• ❌ B) ABC é semelhante a DEF, mas apenas pela igualdade de ∠A. Incorreta. Um único ângulo igual não basta para justificar o critério AA; aqui também se conhece a igualdade entre B e E.
• ✅ C) Sim. Os triângulos são semelhantes por terem dois pares de ângulos correspondentes iguais (critério AA). Correta. Como ∠A = ∠D e ∠B = ∠E, o critério AA garante a semelhança.
• ❌ D) Os triângulos são semelhantes pois todos os lados são iguais. Incorreta. Não foram informadas igualdades entre lados. A justificativa disponível é a igualdade de dois pares de ângulos.
• ❌ E) Os triângulos ABC e DEF são iguais, não semelhantes. Incorreta. Igualdade de tamanho não é necessária para a semelhança. O critério AA estabelece a mesma forma, não que os lados tenham medidas iguais.

Gabarito comentado: C. Esta questão permite reforçar a diferença entre semelhança e congruência: ângulos iguais garantem a forma, não o mesmo tamanho.

5. Proporção de lados adjacentes a ângulos iguais

Nos triângulos ABC e DEF tem-se AB/DE = 5/7, AC/DF = 5/7 e ∠A = ∠D. Sabe-se que AB e AC são os lados que formam ∠A e DE e DF formam ∠D. Os triângulos ABC e DEF são semelhantes?

• ❌ A) Sim, são semelhantes, razão de semelhança 1, pois os lados são iguais. Incorreta. Uma razão de 5/7 não é 1, e os lados não foram informados como iguais. A conclusão de semelhança está certa, mas a justificativa e a razão apresentadas não estão.
• ❌ B) Não, os triângulos são iguais, logo não podem ser semelhantes. Incorreta. Triângulos congruentes também são semelhantes, e os dados deste exercício apontam para semelhança pelo critério LAL.
• ❌ C) Sim, razão de semelhança é 3, pois DE é o triplo de AB. Incorreta. A proporção fornecida é AB/DE = 5/7; dela não se conclui que DE seja o triplo de AB.
• ❌ D) Não, os triângulos são diferentes, pois têm lados de tamanhos distintos. Incorreta. Lados de tamanhos diferentes não impedem a semelhança quando as proporções correspondentes são iguais e o ângulo incluído coincide.
• ✅ E) Sim. São semelhantes (SAS de semelhança). Correta. As razões dos pares de lados adjacentes são iguais e os ângulos formados por esses lados também são iguais. Portanto, aplica-se LAL.

Gabarito comentado: E. O dado de que os lados formam os ângulos informados é decisivo para reconhecer o critério.

6. Semelhança determinada pelo critério AA

Nos triângulos ABC e DEF sabe-se que ∠A = 30°, ∠B = 50°, ∠D = 30° e ∠E = 50°. Determine se ABC ~ DEF e justifique a sua resposta.

• ❌ A) Angle A = 30° não tem relevância para a semelhança entre os triângulos. Incorreta. A igualdade entre os ângulos A e D é uma das informações que, junto à igualdade entre B e E, permite aplicar AA.
• ❌ B) Os triângulos têm lados iguais, logo são semelhantes por SSS. Incorreta. Não há informação de que os lados sejam iguais; a justificativa adequada usa os dois pares de ângulos correspondentes.
• ❌ C) ∠A e ∠D são diferentes, portanto, ABC não pode ser semelhante a DEF. Incorreta. O enunciado informa que ambos medem 30°, portanto são iguais.
• ❌ D) Os ângulos A e B são iguais a D e E, mas os triângulos não são semelhantes. Incorreta. Dois pares de ângulos correspondentes iguais garantem a semelhança pelo critério AA.
• ✅ E) Sim; têm dois ângulos correspondentes iguais (∠A = ∠D e ∠B = ∠E), portanto são semelhantes por AA. Correta. As igualdades dos dois pares são suficientes; a igualdade do terceiro ângulo decorre da soma dos ângulos internos do triângulo.

Gabarito comentado: E. Peça que os estudantes expliquem por que não é necessário medir o terceiro ângulo para concluir a semelhança.

7. Escolha de um protótipo com a mesma forma

A sinalização triangular de uma trilha precisa manter o mesmo formato. Na placa original, dois ângulos internos medem 48° e 71°. Um fornecedor apresenta protótipos e informa dois ângulos internos de cada um. Qual protótipo terá, necessariamente, forma semelhante à da placa original?

• ❌ A) Um protótipo cujos dois ângulos medidos são 49° e 61°. Incorreta. Medidas próximas não substituem a igualdade dos ângulos correspondentes. O protótipo não reproduz os ângulos 48° e 71°.
• ❌ B) Um protótipo cujos dois ângulos medidos são 61° e 70°. Incorreta. O ângulo de 70° não corresponde aos 71° informados para a placa original, e não se tem o par necessário.
• ❌ C) Um protótipo cujos dois ângulos medidos são 48° e 60°. Incorreta. Apenas um dos ângulos coincide. Como o outro é diferente de 71°, a igualdade de dois pares não está garantida.
• ❌ D) Um protótipo cujos dois ângulos medidos são 48° e 72°. Incorreta. Alterar o segundo ângulo não mantém os ângulos correspondentes iguais; a compensação não garante a mesma forma.
• ✅ E) Um protótipo cujos dois ângulos medidos são 61° e 71°. Correta. O terceiro ângulo da placa original mede 180° − 48° − 71° = 61°. Assim, o protótipo tem dois ângulos correspondentes iguais aos da placa e é semelhante pelo critério AA.

Gabarito comentado: E. A soma dos ângulos internos permite encontrar o terceiro ângulo da placa original e comparar o par correto.

8. Quais medidas bastam para confirmar a mesma forma?

Um molde triangular RST tem lados RS = 60 cm, ST = 70 cm e RT = 65 cm, e ângulos R = 48°, S = 67° e T = 65°. A gráfica vai fabricar uma versão maior, mantendo o formato. Qual verificação garante que o novo triângulo terá a mesma forma?

• ❌ A) Verificar o ângulo correspondente a R, obtendo 48°, e o lado RS, obtendo 90 cm. Incorreta. Um ângulo e um lado isolado não determinam a semelhança; não há informação suficiente sobre outro ângulo ou sobre uma segunda proporção de lados.
• ❌ B) Verificar os lados correspondentes a RS e ST, obtendo 60 cm e 70 cm. Incorreta. Dois lados iguais aos do original, sem outra condição, não garantem que o terceiro lado ou os ângulos sejam os mesmos.
• ❌ C) Verificar o perímetro do novo molde, obtendo 292,5 cm. Incorreta. Ter o mesmo perímetro, por si só, não demonstra que dois triângulos tenham a mesma forma.
• ❌ D) Verificar os lados correspondentes a RS e ST, obtendo 90 cm e 105 cm. Incorreta. Embora essas medidas preservem a razão 3/2 em relação aos dois lados originais, duas proporções de lados, sem verificar o ângulo entre eles ou outra condição suficiente, não garantem a semelhança.
• ✅ E) Verificar os ângulos correspondentes a R e S, obtendo 48° e 67°. Correta. Dois pares de ângulos correspondentes iguais bastam pelo critério AA. A soma dos ângulos internos também determina o terceiro.

Gabarito comentado: E. A questão explora a diferença entre uma verificação parcial e uma condição suficiente para concluir a semelhança.

Fechamento: transforme a revisão em uma atividade

Ao corrigir, priorize o raciocínio que sustenta cada resposta: identificar correspondências, selecionar o critério adequado, manter a ordem das razões e separar medidas lineares de áreas. Para ampliar a lista ou localizar outras atividades alinhadas, acesse as questões da habilidade EF09MA12. Se quiser montar uma avaliação com diferentes questões, conheça o gerador de provas do GeraProva e faça seu cadastro grátis.

Este material é uma sugestão para apoiar seu planejamento; adapte a seleção e o nível de orientação ao que sua turma já estudou. O GeraProva pode ajudar você a preparar novas atividades e provas com mais praticidade.