Atividades de construções geométricas e polígonos regulares: 3ª série do Ensino Médio com gabarito

Quando trabalho construções geométricas na 3ª série do Ensino Médio, procuro aproximar as medidas dos ângulos de problemas que exigem observar como as figuras se encaixam. Nem sempre o desafio está apenas em reconhecer um ângulo de 90°, 60°, 45° ou 30°: muitas questões pedem que o estudante relacione essas medidas às propriedades de polígonos regulares e à soma dos ângulos em torno de um vértice. Em sala, gosto de pedir que a turma registre as contas e explique por que uma composição fecha ou deixa uma abertura. Essa justificativa torna visível se o raciocínio considera a medida angular ou se está apenas contando lados e peças. As atividades a seguir trabalham especialmente com ladrilhamentos, padrões geométricos e situações de revestimento, com questões que também envolvem proporção e área.

Organizei as questões com gabarito comentado para que você possa usá-las como diagnóstico, prática guiada ou avaliação. Embora os enunciados tratem sobretudo de ângulos internos e ladrilhamentos, a conversa pode incluir construções com régua, compasso e esquadro, quando fizer sentido para o planejamento da turma.

O que o aluno de 3ª série precisa saber sobre Construções geométricas: ângulos de 90°, 60°, 45° e 30° e polígonos regulares

Na 3ª série, espero que o estudante consiga reconhecer polígonos regulares, relacionar seus lados e ângulos e usar essas propriedades para analisar composições geométricas. Para um ladrilhamento plano sem frestas nem sobreposição, os ângulos das peças que se encontram em um vértice precisam somar 360°. Assim, três hexágonos regulares, com ângulos internos de 120°, fecham o ponto; seis triângulos equiláteros de 60° ou quatro quadrados de 90° também podem fazê-lo. O estudante deve distinguir essa soma no vértice do cálculo da soma dos ângulos internos de um polígono e verificar se um ângulo interno divide 360° exatamente quando a questão trata de ladrilhar o plano com uma única forma regular. Também é importante interpretar dados, proporções e medidas em contextos de revestimento, justificar a escolha de uma composição e organizar cálculos de área e quantidade de peças. Ângulos de 45° e 30° podem ser explorados em construções e decomposições, sem confundi-los com os ângulos internos dos exemplos de ladrilhamento.

O que ele precisa saber antes

As questões partem de conhecimentos que vale retomar rapidamente, especialmente quando a turma apresenta dúvidas durante os cálculos. O primeiro é identificar polígonos regulares e reconhecer medidas usuais: triângulo equilátero, quadrado, hexágono e octógono têm ângulos internos de 60°, 90°, 120° e 135°, respectivamente. Também é necessário compreender que a volta completa em torno de um ponto mede 360° e que a soma menor que esse valor deixa uma lacuna, enquanto uma soma maior provoca sobreposição.

Outro pré-requisito é calcular ângulos internos de polígonos regulares ou utilizar os valores fornecidos pelo enunciado e por tabelas. Para comparar composições, entram a adição e a multiplicação; para reconhecer polígonos que ladrilham o plano sozinhos, a divisão de 360° pelo ângulo interno ajuda a verificar se o resultado é inteiro. Algumas questões ainda dependem de proporção e porcentagem, cálculo de área e multiplicação básica. Nas que apresentam gráficos ou descrições de padrões, a leitura atenta também faz parte da resolução: é preciso localizar a informação relevante antes de escolher uma operação.

Onde os alunos mais erram

Um erro frequente nestas situações é confundir o número de lados de um polígono com sua capacidade de ladrilhar o plano. Ter mais lados não significa, por si só, encaixar-se sem lacunas: o critério apresentado nas questões é verificar os ângulos ao redor do vértice. Por isso, o pentágono regular, cujo ângulo interno é 108°, não fecha sozinho uma volta completa com um número inteiro de peças.

Também é fácil trocar o ângulo interno da figura pela soma dos ângulos que se encontram no vértice, ou esquecer que essa soma deve ser exatamente 360°. Nos itens sobre octógonos, por exemplo, usar 45°, que é o ângulo externo, no lugar de 135° altera completamente a conta. Em problemas com proporção, outro risco é tratar a quantidade indicada no gráfico como se fosse uma medida absoluta, sem reduzir a composição. Já nas questões de área, o distrator mais provável resulta de calcular o número de unidades do padrão e esquecer quantas peças triangulares há em cada unidade. Peço que o estudante confira cada etapa: o que representa a medida, quantas peças se encontram no vértice e qual é a unidade de área.

Como trabalhar em sala

• Desenhar ângulos no caderno: proponha construções simples com régua, compasso ou transferidor para comparar 90°, 60°, 45° e 30°. O esquadro pode apoiar a construção de ângulos retos e de 45°, enquanto a dobra de papel ajuda a discutir divisões de um ângulo conhecido.
• Testar a volta de 360°: desenhe um ponto central e distribua, em esboços, ângulos de diferentes polígonos. A turma pode calcular quantas peças cabem e explicar visualmente se sobra espaço ou ocorre sobreposição.
• Montar padrões com papel: recortes simples de triângulos equiláteros, quadrados e hexágonos permitem observar quais peças cobrem uma superfície sozinhas. Não é necessário material especial; desenhos em papel quadriculado também funcionam para comparar encaixes.
• Separar ângulo interno e externo: peça que os estudantes marquem os dois em um polígono e anotem qual valor está sendo usado. Essa comparação é útil antes de resolver situações com octógonos e outras figuras regulares.
• Solicitar uma justificativa curta: após cada resposta, peça a conta e uma frase sobre o resultado: “fecha”, “deixa lacuna” ou “ultrapassa 360°”. Assim, a correção revela o raciocínio, não apenas a alternativa assinalada.

Questões prontas de Construções geométricas: ângulos de 90°, 60°, 45° e 30° e polígonos regulares para a 3ª série do Ensino Médio (com gabarito comentado)

As questões a seguir estão organizadas com alternativas e comentários para facilitar a aplicação e a correção. Em cada uma, vale pedir que os estudantes indiquem a conta que sustenta a escolha.

1. Uma UBS recebeu um lote de ladrilhos para uma parede decorativa. O gráfico de pizza mostra a participação de cada tipo no lote. Se o menor bloco repetido do desenho mantiver essa mesma proporção, qual composição pode se encontrar em um vértice sem gerar frestas?

• ❌ A) 1 triângulo, 1 quadrado e 1 dodecágono. A composição fica na proporção 1:1:1, diferente da proporção indicada, e seus ângulos somam 60° + 90° + 150° = 300°.
• ❌ B) 2 triângulos, 2 quadrados e 1 dodecágono. Essa quantidade representa a proporção 2:2:1, não 2:1:1, e a soma angular chega a 450°, acima de 360°.
• ✅ C) 2 triângulos, 1 quadrado e 1 dodecágono. É a proporção mínima 2:1:1 e os ângulos somam 2 × 60° + 90° + 150° = 360°, fechando o vértice.
• ❌ D) 3 triângulos, 1 quadrado e 1 dodecágono. A soma é 3 × 60° + 90° + 150° = 420°; as peças ultrapassariam a volta completa.
• ❌ E) 4 triângulos, 2 quadrados e 2 dodecágonos. Apesar de manter a proporção, essa composição soma 720°. A proporção correta, sozinha, não garante que a soma angular caiba em um vértice.

Gabarito: C. A questão exige combinar a leitura da proporção com a verificação geométrica da soma de ângulos.

2. Uma construtora testou ladrilhos regulares para cobrir, sem mistura de formas, o piso de um bicicletário. O gráfico mostra como o ângulo interno varia com o número de lados. De acordo com o gráfico, entre as opções, qual é o polígono de maior número de lados que consegue ladrilhar o plano sozinho?

• ❌ A) Pentágono regular. Seu ângulo interno é 108°, e 360° não é múltiplo inteiro de 108°; não fecha o vértice usando apenas pentágonos regulares.
• ❌ B) Octógono regular. O ângulo interno é 135°, mas 360° dividido por 135° não resulta em um número inteiro de peças.
• ❌ C) Decágono regular. Seu ângulo interno é 144°; esse valor não completa 360° com um número inteiro de ladrilhos iguais.
• ✅ D) Hexágono regular. Cada ângulo interno mede 120°, e três hexágonos somam 360°. Entre as opções, é o polígono com maior número de lados que ladrilha sozinho.
• ❌ E) Dodecágono regular. Seu ângulo interno é 150°, que não divide 360° exatamente. Duas peças somam 300° e três ultrapassam a volta completa.

Gabarito: D. O critério é a soma angular no vértice, não simplesmente escolher a figura com mais lados.

3. Na reforma de uma estação, o projeto do piso usa encontros de quatro ladrilhos regulares em cada vértice. O gráfico mostra os ângulos internos de algumas peças. Qual composição fecha um vértice sem deixar frestas nem sobreposição?

• ✅ A) 1 triângulo, 2 quadrados e 1 hexágono. A soma é 60° + 90° + 90° + 120° = 360°, portanto o encontro fecha exatamente.
• ❌ B) 1 triângulo, 1 quadrado, 1 pentágono e 1 hexágono. A soma é 60° + 90° + 108° + 120° = 378°, acima de 360° e com sobreposição.
• ❌ C) 2 triângulos, 1 quadrado e 1 pentágono. A soma é 60° + 60° + 90° + 108° = 318°; faltam 42° para completar o vértice.
• ❌ D) 2 triângulos, 1 octógono e 1 quadrado. Os ângulos somam 60° + 60° + 135° + 90° = 345°. Ainda sobra um espaço de 15°.
• ❌ E) 1 triângulo, 1 quadrado, 1 hexágono e 1 octógono. A soma chega a 60° + 90° + 120° + 135° = 405°, ultrapassando 360°.

Gabarito: A. Somar os quatro ângulos evita decidir apenas pela aparência das formas.

4. Um projeto combina ladrilhos quadrados de 1 m de lado e ladrilhos triangulares retângulos com catetos de 1 m. Cada unidade do padrão utiliza um quadrado e dois triângulos, cobrindo exatamente 2 m². Se a área total é 68 m², quantos ladrilhos triangulares serão necessários?

• ❌ A) 34. Esse resultado corresponde ao número de unidades do padrão, mas considera apenas um triângulo em cada unidade.
• ❌ B) 102. Resulta de uma contagem inadequada de 68 padrões, em vez de dividir a área total pelos 2 m² cobertos por unidade.
• ❌ C) 136. Esse valor pressupõe quatro triângulos por padrão, embora o enunciado informe que são dois.
• ❌ D) 17. Divide 68 pelo número de triângulos por padrão, sem calcular corretamente quantas unidades de 2 m² são necessárias.
• ✅ E) 68. Primeiro, 68 m² ÷ 2 m² por unidade = 34 unidades. Como cada uma usa dois triângulos, são 34 × 2 = 68 ladrilhos triangulares.

Gabarito: E. É importante separar a quantidade de unidades do padrão da quantidade de peças que compõem cada unidade.

5. Para que um único tipo de polígono regular ocupe o plano sem sobreposições nem vazios, seu ângulo interno deve dividir 360° exatamente. A tabela informa: triângulo, 60°; quadrado, 90°; pentágono, 108°; hexágono, 120°. Quais polígonos permitem esse ladrilhamento?

• ❌ A) Pentágonos, hexágonos e triângulos equiláteros. Hexágonos e triângulos funcionam, mas 108° não divide 360° exatamente; incluir pentágonos torna o conjunto incorreto.
• ❌ B) Apenas pentágonos regulares. Como 360° ÷ 108° não é inteiro, pentágonos regulares, sozinhos, não completam o vértice.
• ✅ C) Triângulos equiláteros, quadrados e hexágonos regulares. 360° é divisível por 60°, 90° e 120°: cabem, respectivamente, seis triângulos, quatro quadrados ou três hexágonos em cada vértice.
• ❌ D) Quadrados, hexágonos e decágonos regulares. Quadrados e hexágonos atendem ao critério, mas o ângulo de 144° do decágono não divide 360° exatamente.
• ❌ E) Triângulos equiláteros, quadrados e pentágonos regulares. Embora os dois primeiros possam ladrilhar o plano, 108° não completa 360° com um número inteiro de pentágonos.

Gabarito: C. A divisão exata precisa valer para cada forma indicada, não apenas para parte da lista.

6. Cada azulejo de um padrão é um hexágono regular com ângulo interno de 120°. Quantos hexágonos se encontram em cada vértice para completar 360° sem lacunas?

• ✅ A) 3. Três ângulos de 120° somam 3 × 120° = 360°, completando a volta.
• ❌ B) 4. Quatro ângulos somariam 480°, ultrapassando 360° e causando sobreposição.
• ❌ C) 5. Cinco ângulos totalizam 600°, muito mais que a volta completa.
• ❌ D) 2. Dois hexágonos somam 240°, portanto deixam uma lacuna de 120°.
• ❌ E) 6. Seis ângulos somam 720°, o dobro do necessário para fechar o vértice.

Gabarito: A. Dividir 360° pelo ângulo interno, 120°, permite encontrar a quantidade de peças.

7. Em um ladrilhamento, encontram-se um quadrado e dois octógonos regulares em cada vértice. Qual é a soma dos ângulos internos dessas figuras nesse vértice?

• ❌ A) 315 graus. Uma origem possível para esse resultado é usar 45°, ângulo externo do octógono, no lugar do ângulo interno de 135°. A conta não representa o encontro descrito.
• ❌ B) 450 graus. Esse valor não corresponde à soma das peças indicadas; parece considerar quantidades ou ângulos sem apoio no enunciado.
• ✅ C) 360 graus. O quadrado contribui com 90° e cada octógono com 135°: 90° + 2 × 135° = 360°.
• ❌ D) 540 graus. Esse resultado poderia surgir ao considerar quatro ângulos de 135°, mas o vértice descrito tem um quadrado e dois octógonos, não quatro polígonos.
• ❌ E) 270 graus. Essa soma não usa os ângulos internos das figuras apresentadas. O quadrado mede 90° e cada octógono regular, 135°.

Gabarito: C. Identificar quais polígonos se encontram no vértice é tão importante quanto conhecer seus ângulos.

8. Em diferentes trechos de galerias, foram observados mosaicos de triângulos equiláteros, quadrados e hexágonos regulares, além de tentativas com pentágonos, octógonos e dodecágonos que deixavam espaços ou exigiam outras formas. Qual coleção pode ladrilhar o plano sem lacunas nem sobreposições usando cada tipo indicado?

• ❌ A) Quadrado, hexágono regular e heptágono regular. O heptágono regular não completa uma volta com um número inteiro de ângulos internos iguais; sua presença invalida a coleção proposta.
• ✅ B) Triângulo equilátero, quadrado e hexágono regular. Seis ângulos de 60°, quatro de 90° ou três de 120° somam 360°. Cada um desses polígonos regulares pode ladrilhar o plano sozinho.
• ❌ C) Triângulo equilátero, octógono regular e quadrado. Triângulos e quadrados funcionam, mas o octógono regular não ladrilha o plano sozinho; combinações com quadrados exigem outro arranjo, não o ladrilhamento de um único tipo.
• ❌ D) Triângulo equilátero, quadrado e pentágono regular. O ângulo interno de 108° do pentágono não divide 360° exatamente, então pentágonos regulares não cobrem o plano sozinhos.
• ❌ E) Pentágono regular, octógono regular e dodecágono regular. Nenhum desses três polígonos regulares, isoladamente, atende ao critério de fechar 360° em cada vértice.

Gabarito: B. A questão pede identificar uma coleção em que cada tipo listado possa formar um ladrilhamento regular por conta própria.

Fechamento: da resolução à próxima atividade

Depois da correção, você pode pedir aos estudantes que criem uma composição própria e justifiquem a soma dos ângulos em cada vértice. Essa etapa ajuda a verificar se conseguem transferir o critério para exemplos diferentes dos trabalhados. Para ampliar a prática, consulte também as questões da habilidade EM13MAT505. Se quiser montar uma avaliação com questões ajustadas ao seu planejamento, experimente o gerador de provas do GeraProva e faça seu cadastro grátis.

As atividades são um ponto de partida e podem ser adaptadas ao ritmo e aos objetivos da sua turma. Use o GeraProva para organizar questões e preparar avaliações com mais praticidade.