Atividades de análise de probabilidade de eventos aleatórios: eventos dependentes e independentes para a 3ª série do Ensino Médio com gabarito

Quando ensino probabilidade na 3ª série, procuro deixar claro que identificar os resultados possíveis é só o começo. O ponto que costuma exigir mais atenção é perceber se a ocorrência de um evento altera ou não as chances do outro. Uma moeda e um dado permitem discutir independência; retiradas sucessivas de cartas ou bolas sem reposição ajudam a tornar visível a dependência.

Organizei este material para você usar em revisão, atividade ou avaliação. As questões passam por eventos simples, resultados equiprováveis, intervalos uniformes e probabilidade condicional. Ao comentar cada alternativa, explicito os raciocínios que podem levar a uma resposta incorreta, para que a correção também seja uma oportunidade de retomar conceitos.

O que o aluno de 3ª série precisa saber sobre análise de probabilidade de eventos aleatórios: eventos dependentes e independentes

Na 3ª série, o aluno precisa calcular probabilidades em espaços amostrais definidos e reconhecer quando dois eventos são independentes ou dependentes. Para eventos independentes, a ocorrência de um não altera a probabilidade do outro; por isso, a probabilidade de ambos ocorrerem é o produto das probabilidades individuais: P(A∩B)=P(A)·P(B). Em eventos dependentes, é preciso considerar como a primeira ocorrência modifica as condições da seguinte. A regra do produto passa a usar uma probabilidade condicional: P(A∩B)=P(A)·P(B|A). Um exemplo simples de dependência é retirar duas cartas sem reposição: depois da primeira retirada, o número de cartas disponíveis muda. Já lançar uma moeda e um dado são experimentos independentes. Também é importante distinguir casos favoráveis de casos possíveis, trabalhar com frações e interpretar resultados equiprováveis. O aluno deve justificar a classificação dos eventos pelo modelo apresentado, e não apenas escolher uma fórmula pelo aspecto do enunciado.

O que ele precisa saber antes

As questões mobilizam conhecimentos prévios que vale a pena verificar antes de avançar. O primeiro é calcular a probabilidade de um evento simples como a razão entre casos favoráveis e casos possíveis, quando os resultados são equiprováveis. Isso aparece, por exemplo, na chance de sair cara em uma moeda equilibrada ou de retirar um ás de um baralho.

Também são necessários leitura e simplificação de frações, multiplicação de frações e identificação de um espaço amostral. Para as situações de independência, o aluno precisa saber calcular cada probabilidade separadamente e depois multiplicá-las. A questão com intervalos uniformes pede ainda a leitura de comprimentos dentro de um intervalo e a interpretação da distribuição uniforme. Já as retiradas sem reposição exigem compreender que a composição da urna ou do baralho se altera e que a probabilidade da segunda retirada pode ser condicional à primeira.

Onde os alunos mais erram

Um erro recorrente nas questões é trocar a regra do produto pela soma ao calcular a probabilidade conjunta de eventos independentes. Na situação do dado e da moeda, por exemplo, é preciso calcular primeiro P(dado par)=3/6 e P(cara)=1/2; somar essas probabilidades não responde à pergunta sobre a ocorrência simultânea. Outro deslize é confundir um número específico com uma categoria: a chance de sair número par no dado é 3/6, não 1/6.

Nas situações sem reposição, a dificuldade pode ser não atualizar o espaço amostral. Se uma bola verde já foi retirada, restam menos bolas e uma verde a menos; portanto, P(segunda verde|primeira verde) não permanece igual à chance inicial de verde. A questão das cartas também permite discutir o erro de tratar as retiradas como independentes. Em perguntas de probabilidade simples, por sua vez, alguns distratores refletem confusão entre casos favoráveis e total de resultados possíveis, como considerar um único ás quando há quatro. Vale pedir que os alunos registrem primeiro esses dois números antes de formar a fração.

Como trabalhar em sala

• Comece pela previsão e pela justificativa. Apresente os experimentos moeda mais dado e retirada de duas bolas sem reposição. Peça que os alunos indiquem, antes de calcular, se a primeira ocorrência muda as condições da segunda e expliquem por quê.
• Monte uma tabela de casos. Para os lançamentos de moeda e dado, os pares possíveis ajudam a visualizar a ocorrência simultânea de cara e número par. A tabela é simples de desenhar no quadro ou no caderno e permite comparar contagem e multiplicação.
• Compare com e sem reposição. Use cartões ou papéis coloridos para representar uma urna. Registre as quantidades antes e depois da primeira retirada. O foco é acompanhar como mudam o total e os casos favoráveis, não depender de um experimento sofisticado.
• Peça que interpretem os distratores. Em vez de corrigir apenas a letra, peça para identificarem o passo que produziria uma resposta como 1/6 para “número par” ou a soma das probabilidades em um evento conjunto. Isso transforma alternativas incorretas em diagnóstico do raciocínio.
• Feche com uma justificativa curta. Peça que cada aluno escreva uma frase explicando por que um par de eventos é independente ou dependente e mostre o cálculo correspondente. Assim, você avalia tanto o resultado quanto a escolha do modelo.

Questões prontas de análise de probabilidade de eventos aleatórios: eventos dependentes e independentes para a 3ª série do Ensino Médio (com gabarito comentado)

1. Dado e moeda

Lança-se um dado justo de 6 faces e, independentemente, uma moeda justa. Seja A = “o dado mostra número par” e B = “a moeda mostra cara”. São A e B independentes? Calcule P(A∩B).

• ❌ A) P(A∩B)=P(A)·P(B)=(1/6)·(1/2)=1/12. O uso da regra do produto está adequado, mas P(A) foi calculada incorretamente: há três resultados pares em seis faces, então P(A)=3/6.
• ❌ B) A moeda e o dado não têm relação, mas A e B não são independentes. A conclusão contradiz a situação: o resultado de um lançamento não altera o resultado possível nem a probabilidade do outro.
• ✅ C) Sim, são independentes; P(A∩B)=P(A)·P(B)=(3/6)·(1/2)=1/4. Há três faces pares entre seis, e a chance de cara é 1/2. Como os experimentos são independentes, multiplicamos as probabilidades.
• ❌ D) São dependentes; P(A∩B)=P(A)+P(B). A soma não calcula a ocorrência simultânea, e os dois experimentos não se condicionam um ao outro.
• ❌ E) P(A∩B)=1/3; eles não são independentes. O valor não resulta do produto correto das probabilidades, que é 1/4; além disso, os eventos são independentes.

Gabarito comentado: C. Primeiro calcule cada evento simples; depois use o produto, pois o dado não interfere no lançamento da moeda.

2. Probabilidades em intervalos uniformes

Duas medições independentes são uniformes: X em [0,10] e Y em [0,20]. Qual a probabilidade de X∈[2,5] e Y∈[8,12]?

• ❌ A) 1/5. Somar comprimentos ou combinar os intervalos sem calcular as chances individuais não responde à ocorrência conjunta de duas medições independentes.
• ❌ B) 3/20. Esse resultado não corresponde ao produto das razões dos comprimentos favoráveis pelos comprimentos totais; é preciso calcular cada probabilidade no respectivo intervalo.
• ✅ C) 3/50 (0,06). Para X, a razão é (5−2)/10=3/10. Para Y, é (12−8)/20=4/20=1/5. Como as medições são independentes, multiplicamos: 3/10·1/5=3/50.
• ❌ D) 1/4. Essa fração mistura as medidas dos intervalos de X e Y de forma inadequada e não representa o produto das probabilidades individuais.
• ❌ E) 1/10. Esse valor considera apenas uma parte do cálculo e ignora a necessidade de combinar a probabilidade de X com a de Y.

Gabarito comentado: C. Em cada intervalo uniforme, a probabilidade é a extensão do trecho solicitado dividida pela extensão total; depois, multiplicam-se os resultados pela independência.

3. Cara e número par

Lia lança uma moeda e um dado. Qual é a chance de sair cara e número par? Esses acontecimentos são independentes?

• ❌ A) 1/2; são independentes. A independência está correta, mas 1/2 é a chance de apenas um dos dois eventos, não de ambos ocorrerem juntos.
• ❌ B) 1/3; são independentes. A chance de número par é 3/6=1/2, não 1/3. É necessário dividir os casos favoráveis pelo total de faces do dado.
• ❌ C) 3/4; são independentes. Esse valor não corresponde ao produto das chances de cara e de número par.
• ❌ D) 1/4; não são independentes. O cálculo conjunto está certo, mas a classificação está errada: os lançamentos não alteram um ao outro.
• ✅ E) 1/4; são independentes. Cara tem probabilidade 1/2 e número par também tem probabilidade 3/6=1/2. O produto é 1/4, e os acontecimentos são independentes.

Gabarito comentado: E. A questão permite separar duas decisões: calcular a chance conjunta e identificar se o resultado de um experimento afeta o outro.

4. Dois ases sem reposição

De um baralho padrão (52 cartas), retira-se uma carta e, sem repor, retira-se outra. Qual a probabilidade de obter um ás na primeira retirada e outro ás na segunda? Esses eventos são independentes? Justifique.

• ❌ A) 1/26, considerando que existem 2 ases em 52 cartas. Há quatro ases no baralho, e a chance da segunda retirada deve considerar o que ocorreu na primeira.
• ❌ B) 1/13, pois existem 4 ases em 52 cartas. 1/13 é a chance de um ás em uma retirada inicial, mas não a chance de obter dois ases seguidos sem reposição.
• ❌ C) 1/4, pois as cartas são independentes. Sem reposição, a primeira retirada altera o número de cartas e de ases disponíveis; portanto, as retiradas são dependentes.
• ❌ D) 0, pois nunca se podem retirar duas cartas iguais. É possível retirar dois ases distintos. O baralho contém quatro cartas diferentes com essa característica; retirar uma não elimina as outras.
• ✅ E) Não; P=(4/52)·(3/51)=1/221≈0,00452. Depois de retirar um ás, restam 3 ases entre 51 cartas. A segunda probabilidade depende do resultado da primeira.

Gabarito comentado: E. A expressão usa a probabilidade da primeira retirada e a probabilidade condicional da segunda, já com o baralho reduzido.

5. Bolas verdes sem reposição

Uma urna contém 4 bolas verdes, 2 amarelas e 4 vermelhas (total 10). Retira-se uma bola ao acaso e, sem reposição, retira-se outra. Seja A: “a primeira bola é verde” e B: “a segunda bola é verde”. Calcule P(A), P(B|A) e P(A∩B). Os eventos A e B são independentes?

• ❌ A) P(A)=4/10, P(B|A)=1/3, P(A∩B)=2/30. Não, são dependentes. As duas primeiras probabilidades e a classificação estão corretas, mas o produto 4/10·1/3 é 4/30=2/15, não 2/30.
• ❌ B) P(A)=2/10, P(B|A)=1/4, P(A∩B)=1/20. Sim, são independentes. A primeira probabilidade ignora que há quatro verdes, não duas; além disso, a retirada sem reposição altera a composição.
• ❌ C) P(A)=4/10, P(B|A)=1/10, P(A∩B)=4/100. Não, são independentes. Após sair uma verde, ainda há três verdes entre nove bolas, então P(B|A)=3/9, não 1/10.
• ❌ D) P(A)=3/10, P(B|A)=2/9, P(A∩B)=1/15. Não, são independentes. P(A) é 4/10, pois a urna começa com quatro verdes; a retirada inicial não é calculada com três.
• ✅ E) P(A)=4/10, P(B|A)=3/9=1/3, P(A∩B)=4/10·3/9=2/15. Não são independentes. A retirada da primeira verde reduz de quatro para três o número de verdes e de dez para nove o total.

Gabarito comentado: E. A probabilidade condicional explicita a mudança após a primeira retirada. Para verificar a independência, pode-se comparar P(B|A) com P(B): os valores são diferentes.

6. Equipes em um torneio

Em um torneio nacional de xadrez, 8 equipes participam da fase decisiva. Ao final da competição, exatamente uma equipe será declarada campeã. Para efeito de um modelo probabilístico, considera-se que todas as equipes têm a mesma chance de conquistar o título, sem qualquer diferença prévia de desempenho entre elas. Com base nesse modelo, qual é a probabilidade de uma equipe específica conquistar o título do torneio?

• ✅ A) 1/8. Há oito resultados possíveis para a equipe campeã e, pelo modelo, todos têm a mesma chance. Uma equipe específica corresponde a um desses resultados.
• ❌ B) 1/10. O denominador não corresponde ao total de equipes participantes, que é oito.
• ❌ C) 1/16. Esse valor divide por 8², embora o problema descreva uma única escolha de campeã entre oito equipes.
• ❌ D) 1/2. Essa fração seria adequada para dois resultados equiprováveis, mas existem oito equipes candidatas ao título no modelo.
• ❌ E) 1/4. Dividir oito por dois não calcula a razão entre um resultado favorável e os oito resultados equiprováveis.

Gabarito comentado: A. A questão retoma a probabilidade básica e a interpretação de resultados equiprováveis, conhecimentos necessários antes de trabalhar produtos de eventos.

7. Retirada de um ás

Durante uma oficina de educação financeira e jogos matemáticos em uma escola brasileira, os estudantes analisaram um baralho convencional com 52 cartas, formado por quatro naipes. Em cada naipe há exatamente um ás, totalizando quatro ases. Uma carta será retirada ao acaso, sem que o participante veja o baralho antes da retirada. Com base nessas informações, qual é a probabilidade de a carta retirada ser um ás?

• ❌ A) 1/52. Esse resultado considera apenas um caso favorável, mas existem quatro ases no baralho.
• ❌ B) 4/48. O total de cartas que não são ases não é o espaço amostral completo; há 52 cartas possíveis, e não 48.
• ❌ C) 4/4. Essa divisão considera apenas os ases e ignora as outras cartas que também podem ser retiradas.
• ❌ D) 48/52. Essa é a probabilidade de retirar uma carta que não é ás, o evento complementar ao solicitado.
• ✅ E) 1/13. Há quatro casos favoráveis em 52 cartas equiprováveis: 4/52. Simplificando a fração por quatro, obtemos 1/13.

Gabarito comentado: E. Antes de simplificar, vale registrar claramente os quatro casos favoráveis e os 52 casos possíveis.

8. Cara em uma moeda equilibrada

Em uma atividade de probabilidade, uma escola utiliza uma moeda equilibrada, isto é, uma moeda cujas duas faces têm a mesma chance de aparecer. Em cada lançamento, os resultados possíveis são cara e coroa. Com base no texto, qual é a probabilidade de obter cara em um único lançamento dessa moeda?

• ❌ A) 75%. O enunciado não dá motivo para atribuir a cara uma chance maior que a da coroa.
• ❌ B) 100%. Esse valor representa certeza, mas a moeda também pode resultar em coroa.
• ❌ C) 33,3%. Esse valor corresponde aproximadamente a 1/3 e pressupõe três resultados equiprováveis, quando o enunciado descreve dois.
• ✅ D) 50%. Há um resultado favorável, cara, entre dois resultados igualmente prováveis. Assim, P(cara)=1/2=50%.
• ❌ E) 25%. A probabilidade não deve ser dividida duas vezes: são dois resultados possíveis, não quatro.

Gabarito comentado: D. É uma boa questão de abertura para revisar resultados equiprováveis antes de analisar eventos compostos.

Próximos passos

Você pode usar as questões em sequência, começar pelos eventos simples e avançar para as retiradas sem reposição. Para ampliar a revisão, consulte também as questões da habilidade EM13MAT312 e as questões da habilidade EM13MAT311. Se quiser montar uma avaliação com outros itens, experimente o gerador de provas do GeraProva ou faça seu cadastro grátis.

Adapte os enunciados ao percurso da sua turma e use os comentários como ponto de partida para a correção coletiva. No GeraProva, você pode gerar provas e atividades para apoiar seu planejamento.