Atividades de Análise de probabilidade de eventos aleatórios: eventos dependentes e independentes para a 2ª série do Ensino Médio com gabarito

Quando ensino probabilidade na 2ª série do Ensino Médio, procuro fazer a turma observar primeiro o que acontece entre uma etapa e outra do experimento. Uma retirada com reposição mantém a composição do conjunto; uma retirada sem reposição a modifica. Essa diferença ajuda a dar sentido à independência ou à dependência, em vez de tratar a escolha entre multiplicar ou não como uma regra sem contexto.

Também trabalho situações em que os eventos são descritos por tabelas ou porcentagens, porque nelas a tarefa é identificar o que cada probabilidade representa. Nas questões a seguir, reúno exemplos de seleções, pesquisas e frequências. O objetivo é apoiar a discussão e a avaliação, com cálculos comentados que permitem retomar tanto a probabilidade conjunta quanto a condicional.

O que o aluno de 2ª série precisa saber sobre Análise de probabilidade de eventos aleatórios: eventos dependentes e independentes

Na 2ª série, o aluno precisa reconhecer que a probabilidade de um evento depende do espaço amostral e das informações disponíveis. Em duas etapas, eventos independentes são aqueles em que a ocorrência de um não altera a probabilidade do outro; nesse caso, P(A∩B)=P(A)·P(B). A reposição costuma ser um contexto claro: depois de devolver o objeto, as quantidades e as chances permanecem iguais. Já sem reposição, a primeira escolha altera o total e, possivelmente, a quantidade favorável à segunda. Para eventos dependentes, calculamos a probabilidade conjunta multiplicando P(A) pela probabilidade de B dado A: P(A∩B)=P(A)·P(B|A). Também é importante distinguir interseção, probabilidade condicional e probabilidades marginais. Para verificar independência, podemos comparar P(A∩B) com P(A)·P(B), ou, quando apropriado, P(B|A) com P(B). Ler os dados com atenção e identificar denominadores corretos faz parte da resolução.

O que ele precisa saber antes

Antes de avançar, vale conferir se a turma calcula a probabilidade de um evento simples como razão entre casos favoráveis e casos possíveis, quando os resultados são equiprováveis. Frações, porcentagens e frequências relativas também aparecem nas questões: por exemplo, transformar 70 casos em 200 em 70/200 e simplificar para 7/20.

Outro apoio importante é a multiplicação de frações e a leitura de tabelas ou de dados organizados por categorias. Para os problemas de dependência, os alunos precisam acompanhar como o total e a quantidade de elementos favoráveis mudam depois de uma retirada. Para os de independência, precisam entender o produto das probabilidades e saber localizar uma interseção, como o número de pessoas que pertencem simultaneamente a dois grupos.

Onde os alunos mais erram

Um erro recorrente nas questões de retirada sem reposição é manter o mesmo denominador na segunda etapa, como se o primeiro elemento continuasse disponível. Na questão dos alunos que vão de bicicleta, depois de selecionar uma pessoa ciclista, restam 14 ciclistas entre 59 alunos, não 15 entre 60. O distrator que calcula as duas chances com denominador 60 expressa justamente essa leitura de independência indevida.

Em tabelas e pesquisas, pode haver confusão entre a probabilidade conjunta e a condicional. “Ser do sexo feminino e gostar de matemática” pede a quantidade que atende às duas condições sobre o total da pesquisa. Já “gostar de matemática entre as alunas” teria outro denominador. Também é comum afirmar independência sem comparar as probabilidades: conhecer P(A) e P(B) não basta; é preciso verificar se a interseção corresponde ao produto das marginais.

Nas situações com reposição, aparece o erro oposto: alterar a composição do conjunto mesmo depois de devolver o objeto. Nas questões de urna e camisetas, a reposição mantém as chances da segunda etapa. Por fim, alguns distratores usam soma de probabilidades para calcular uma interseção ou confundem P(A∩B) com P(A). Pedir que a turma explique o significado de cada número antes de operar ajuda a localizar esses enganos.

Como trabalhar em sala

• Compare dois experimentos: use cartões ou papéis coloridos e faça uma retirada com reposição e outra sem reposição. Registre as quantidades antes e depois. A turma pode prever como muda a segunda probabilidade e conferir por meio do cálculo.
• Leia os dados em voz alta: em uma questão de pesquisa, destaque o total, cada grupo e a interseção. Peça que os alunos escrevam ao lado de cada fração o que o numerador e o denominador representam.
• Peça uma justificativa de independência: além de marcar uma alternativa, os alunos devem mostrar uma comparação, seja P(A∩B) com P(A)·P(B), seja P(B|A) com P(B). Isso ajuda a diferenciar conclusão e cálculo.
• Use erros como ponto de partida: apresente um distrator e convide a turma a identificar qual dado foi usado incorretamente. Por exemplo, pergunte por que a segunda retirada sem reposição não mantém o denominador original.
• Feche com um quadro-resumo: organize as expressões “com reposição”, “sem reposição”, “interseção” e “condicional”, incluindo uma frase sobre o que muda em cada situação. É um registro simples para consulta durante a resolução.

Questões prontas de Análise de probabilidade de eventos aleatórios: eventos dependentes e independentes para a 2ª série do Ensino Médio (com gabarito comentado)

1. Seleção de alunos sem reposição

Em uma escola com 60 alunos, os meios de transporte até a escola são: carro 20, ônibus 15, a pé 10, bicicleta 15. Selecionam-se dois alunos sem reposição. a) Os eventos “primeiro de bicicleta” e “segundo de bicicleta” são independentes? b) Calcule a probabilidade de ambos usarem bicicleta.

• ❌ A) Os eventos são independentes; P = (20/60)·(15/60) = 0,0833. Usa as quantidades de carro e ônibus, que não correspondem às duas escolhas de bicicleta; além disso, sem reposição há dependência.
• ❌ B) P = 15/60 × 10/60 = 0,0417. A segunda fração usa os alunos que vão a pé, não os ciclistas restantes.
• ✅ C) Dependentes; P = (15/60)·(14/59) = 210/3540 = 7/118 ≈ 0,0593. Sem reposição, após escolher um ciclista restam 14 entre 59 alunos. Multiplicar as probabilidades atualizadas dá a chance de ambos serem ciclistas.
• ❌ D) P = (10/60)·(10/59) = 0,0282. Usa a quantidade de alunos que vão a pé no lugar dos 15 que vão de bicicleta.
• ❌ E) P = 20/60 × 20/60 = 0,1111. Usa os alunos que vão de carro e ainda trata as escolhas como independentes.

Gabarito comentado: C. A expressão “sem reposição” é decisiva: depois da primeira escolha, o total passa de 60 para 59 e, se saiu um ciclista, a quantidade de ciclistas passa de 15 para 14.

2. Pesquisa sobre gênero e interesse por Matemática

Em uma pesquisa com 200 alunos houve: 110 do sexo feminino, dos quais 70 gostam de matemática; 90 do sexo masculino, dos quais 50 gostam de matemática. Ao selecionar um aluno ao acaso, qual a probabilidade de ser do sexo feminino e gostar de matemática? Esses eventos são independentes?

• ❌ A) 1/4; são independentes. Usa os 50 alunos do sexo masculino que gostam de matemática, em vez das 70 alunas; 50/200 é 1/4, mas não responde ao evento pedido.
• ✅ B) 7/20; não são independentes. A probabilidade conjunta é 70/200=7/20. Além disso, 70/200 não é igual a (110/200)·(120/200), então o critério de independência não se verifica.
• ❌ C) 11/20; são independentes. 110/200 representa a probabilidade de selecionar uma aluna, sem considerar se ela gosta de matemática.
• ❌ D) 1/2; são independentes. A conta usa 100 como se fosse o número de alunas que gostam de matemática, mas o dado informa 70.
• ❌ E) 30/200; não são independentes. Subtrair 40 de 70 não fornece a quantidade de alunas que gostam de matemática.

Gabarito comentado: B. Para a conjunção “ser do sexo feminino e gostar de matemática”, contamos as 70 pessoas que atendem às duas condições e dividimos pelo total de 200. Para verificar independência, comparamos a conjunta com o produto das marginais.

3. Frequências de alturas e evento independente

Em 250 plantas medidas, as alturas (cm) foram agrupadas: 10-19:40; 20-29:120; 30-39:60; 40-49:30. Supondo que o evento B ocorra em 75 das 250 plantas e que A = “altura 20-29 cm” seja independente de B, qual a probabilidade de A∩B?

• ❌ A) 0,20 (50/250). Não corresponde ao produto das probabilidades indicadas para A e B.
• ❌ B) 0,30 (75/250). Esse é P(B), não a probabilidade da interseção; falta considerar A.
• ✅ C) 0,144 (36/250). P(A)=120/250=0,48 e P(B)=75/250=0,30. Como são independentes, P(A∩B)=0,48·0,30=0,144, equivalente a 36/250.
• ❌ D) 0,12 (30/250). Não corresponde à multiplicação de P(A) por P(B).
• ❌ E) 0,10 (25/250). Não utiliza corretamente a frequência de A nem a regra do produto para eventos independentes.

Gabarito comentado: C. Primeiro encontramos as frequências relativas dos dois eventos e, em seguida, aplicamos a regra da interseção para eventos independentes. A probabilidade da interseção não é simplesmente P(B).

4. Transporte público e prática de esportes

Em uma escola, 60% dos alunos usam transporte público (T) e 30% praticam esportes (E); 20% fazem ambos (T∩E). Os eventos “usar transporte público” e “praticar esportes” são independentes? Calcule P(E|T).

• ❌ A) Não se pode calcular P(E|T) com valores absolutos diretamente. Os dados percentuais fornecem a interseção e a probabilidade de T, suficientes para a divisão.
• ❌ B) Os eventos são independentes; P(E|T)=P(E). Se fossem independentes, a conjunta seria 0,60·0,30=0,18, mas o dado é 0,20.
• ❌ C) A fórmula de P(E|T) é P(E)-P(T). A condicional é calculada dividindo a probabilidade da interseção por P(T), não subtraindo probabilidades.
• ✅ D) Não são independentes; P(E|T)=1/3. Como 0,20 é diferente de 0,60·0,30=0,18, não há independência. E P(E|T)=0,20/0,60=1/3.
• ❌ E) P(E|T) é sempre 0,50. Não existe um valor fixo para uma probabilidade condicional; neste caso, os dados levam a 1/3.

Gabarito comentado: D. A condição “sabendo que usa transporte público” muda o universo considerado: dividimos os que praticam esporte e usam transporte pelo total que usa transporte. A comparação com o produto das marginais verifica a independência.

5. Participação em clubes escolares

Numa turma de 120 alunos, 70 participam do clube de ciência, 40 do clube de música e 25 participam de ambos. Um aluno é escolhido ao acaso. a) Os eventos S = “participa do clube de ciência” e M = “participa do clube de música” são independentes? b) Compare P(S∩M) e P(S)·P(M).

• ❌ A) Os eventos são independentes; P(S)·P(M)=25/120 × 25/120 = 0,5. O produto foi montado com a interseção duas vezes; as probabilidades marginais são 70/120 e 40/120.
• ✅ B) Dependentes; P(S∩M)=25/120=5/24≈0,2083, enquanto P(S)·P(M)=(70/120)·(40/120)=7/36≈0,1944. Os valores são diferentes, portanto não são independentes.
• ❌ C) P(S∩M)=45/120; P(S)·P(M)=80/120. Esses valores não correspondem aos dados nem ao produto das probabilidades marginais.
• ❌ D) P(S∩M)=25/120; P(S)·P(M)=70/120; são iguais. 70/120 é P(S), não o produto das duas probabilidades.
• ❌ E) Os eventos são dependentes, mas P(S)·P(M)=(70/120)·(40/120)=0,25. A classificação está certa, mas o produto é aproximadamente 0,1944, não 0,25.

Gabarito comentado: B. O teste de independência compara a probabilidade da interseção com o produto das probabilidades marginais. Não basta que ambos os eventos se refiram à mesma turma: é necessário calcular e comparar os valores.

6. Escolha de camisetas com reposição

Um gráfico de colunas registra as cores das camisetas de 20 alunos: vermelho 8, azul 6, verde 6. Dois alunos são escolhidos, com reposição. a) Os eventos “primeiro é vermelho” e “segundo é vermelho” são independentes? b) Calcule a probabilidade de ambos serem vermelhos.

• ✅ A) Independentes; P=(8/20)·(8/20)=64/400=0,16. Com reposição, as quantidades não mudam e a probabilidade de vermelho é 8/20 em ambas as etapas.
• ❌ B) Os eventos são dependentes; P=(8/20)·(6/20)=0,12. A reposição impede que a primeira escolha altere as chances da segunda; além disso, 6 representa camisetas azuis ou verdes.
• ❌ C) Independentes; P=(8/20)·(8/20)=0,08. A classificação e a expressão estão certas, mas a multiplicação resulta em 64/400=0,16.
• ❌ D) Os eventos não podem ser independentes, pois um depende do outro. Com reposição, a composição se mantém e a primeira escolha não muda a probabilidade da segunda.
• ❌ E) P=(8/20)·(8/10)=0,32. A segunda probabilidade também é 8/20, pois o aluno escolhido é reposto e o total continua sendo 20.

Gabarito comentado: A. Este exemplo permite contrastar diretamente com a seleção sem reposição: repor o elemento mantém as mesmas condições para a segunda escolha.

7. Duas retiradas de uma urna com reposição

Numa urna há 5 bolas vermelhas, 3 azuis e 2 verdes. Retira-se uma bola ao acaso, registra-se a cor e devolve-se à urna (com reposição). Em seguida, retira-se outra bola. Seja A = “primeira retirada é vermelha” e B = “segunda retirada é vermelha”. (a) Os eventos A e B são independentes? (b) Calcule P(A∩B).

• ✅ A) Sim. P(A∩B)=P(A)·P(B)=(5/10)·(5/10)=1/4. A reposição preserva as quantidades, então as duas chances de retirar uma bola vermelha são iguais.
• ❌ B) P(A∩B)=5/10. Esse valor corresponde à chance de uma retirada ser vermelha, não à de as duas serem vermelhas.
• ❌ C) P(A∩B)=P(A)+P(B). Para a ocorrência conjunta de eventos independentes, multiplicamos as probabilidades, não as somamos.
• ❌ D) Os eventos A e B não podem ser independentes devido à reposição. É justamente a reposição que mantém inalterada a composição da urna.
• ❌ E) Bola verde tem probabilidade maior que bolas vermelhas. Há 2 bolas verdes e 5 vermelhas; além disso, essa afirmação não calcula o evento pedido.

Gabarito comentado: A. Como há 5 bolas vermelhas em 10 e a bola volta para a urna, a probabilidade é 5/10 nas duas retiradas. O produto é 25/100=1/4.

8. Bilhetes pares sem reposição

De um conjunto com bilhetes numerados de 1 a 10 retira-se um bilhete ao acaso e, sem reposição, retira-se outro. Qual a probabilidade de os dois bilhetes serem pares? Use P(E1∩E2)=P(E1)P(E2|E1).

• ❌ A) P(E1∩E2)=1/5. Essa é a probabilidade de dois pares no conjunto? Não: 1/5 não considera adequadamente as duas retiradas sequenciais sem reposição.
• ❌ B) P(E1∩E2)=(3/10)·(1/9)=1/30. Há 5 números pares inicialmente, não 3; após retirar um par, restam 4 pares entre 9 bilhetes.
• ✅ C) P=P(E1)·P(E2|E1)=(5/10)·(4/9)=2/9. Há 5 pares entre 10 bilhetes na primeira retirada; se o primeiro é par, restam 4 pares entre 9 na segunda.
• ❌ D) P(E1∩E2)=(5/10)+(4/9)=1. A soma não representa a ocorrência conjunta; deve-se multiplicar a primeira probabilidade pela condicional da segunda.
• ❌ E) P(E1∩E2)=(5/10)·(5/9)=25/90. Depois de retirar o primeiro par sem reposição, restam somente 4 pares, não 5.

Gabarito comentado: C. A expressão fornecida destaca a dependência: a probabilidade da segunda retirada é calculada sabendo que a primeira foi par. Essa informação atualiza tanto o número de pares quanto o total de bilhetes.

Fechamento: da conta à interpretação

Ao corrigir, peça que os alunos indiquem o significado de cada probabilidade e expliquem o que muda depois da primeira etapa. Para ampliar a prática, consulte as questões da habilidade EM13MAT312 e as questões da habilidade EM13MAT511. Você também pode montar outras listas no gerador de provas do GeraProva e iniciar seu cadastro grátis.

Use as questões como ponto de partida e adapte a seleção ao que sua turma precisa retomar. O GeraProva pode ajudar a preparar novas atividades com gabarito para suas aulas.