Se o décimo e o décimo quinto termos de uma progressão geométrica são, respectivamente, 3/512 e 3/16384, então…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Se o décimo e o décimo quinto termos de uma progressão geométrica são, respectivamente, 3/512 e 3/16384, então o vigésimo quinto termo dessa progressão é (Mackenzie 2020)
- A) 3/16444216
- B) 3/16555216
- C) 3/16666216
- D) 3/16777216
- E) 3/16888216
✅ Resposta correta: alternativa D
Resolução passo a passo
- Chame o primeiro termo de a1 e a razão de q. Como a10 = a1 * q^9 e a15 = a1 * q^14, o quociente a15/a10 = q^5 (porque a razão entre termos com 5 posições de diferença é q^5).
- Calcule q^5 = (3/16384) / (3/512) = 512/16384 = 1/32. Como 32 = 2^5, temos q^5 = (1/2)^5, portanto q = 1/2.
- Do décimo ao vigésimo quinto termo há 15 posições de diferença, então a25 = a10 * q^15 = (3/512) * (1/2)^15 = 3 / (512 * 32768).
- Como 512 = 2^9 e 32768 = 2^15, o denominador é 2^24 = 16777216. Logo a25 = 3/16777216, que é a alternativa D.
- Conferindo por outro caminho, a25 = a15 * q^10 = (3/16384) * (1/1024) = 3/(2^14 * 2^10) = 3/2^24, o mesmo resultado.
- Por que as outras estão erradas: A, B, C e E trazem denominadores que não correspondem a 2^24, ou seja, são valores próximos ao correto mas com erro no cálculo da potência ou na multiplicação final. O gabarito oficial D está correto e foi confirmado pela resolução independente.
💡 Dica: Use a fórmula do termo geral da progressão geométrica para encontrar o termo pedido.
Alternativa por alternativa
O aluno calculou corretamente a razão, mas errou o valor de 2^24 ao multiplicar 512 por 32768, obtendo um denominador aproximado.
O aluno aplicou corretamente a fórmula a25 = a10 * q^15, mas efetuou mal a multiplicação de potências de 2 no denominador.
O aluno entendeu o método, porém escreveu incorretamente o denominador final, provavelmente por descuido ao transcrever o valor de 2^24.
CORRETA. O 25º termo é 3/16777216, pois a razão da PG é 1/32 e, aplicando a fórmula do termo geral, chega-se a esse resultado.
O aluno chegou ao expoente certo, mas errou ao somar ou multiplicar as potências de 2, resultando em um denominador que não é 2^24.
Raio-X da questão
progressão geométrica termos
avaliacao
progressão geométrica básica · propriedades de potências
Estude a fórmula do termo geral da progressão geométrica e propriedades dos expoentes.
Confundir a fórmula do termo geral ou calcular incorretamente a razão da progressão.
tomada_decisao
abstrato
🔎 Resolver outra questão
Cole o enunciado e veja a resolução passo a passo, a alternativa correta e por que as outras estão erradas.
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