Se cos x = 1/2, então o valor do cos 2x é igual a (Mackenzie 2020)
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Se cos x = 1/2, então o valor do cos 2x é igual a (Mackenzie 2020)
- A) -1/2
- B) -1/4
- C) 1/4
- D) 1/2
- E) 1
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- Identifique a fórmula adequada. Como o enunciado pede cos 2x e conhecemos cos x, usamos a fórmula do arco duplo cos 2x = cos^2 x - sen^2 x. Como sen^2 x + cos^2 x = 1, também vale cos 2x = 2 cos^2 x - 1. Essa forma é a mais prática aqui, pois só depende de cos x.
- Substitua o valor dado, cos x = 1/2. Temos cos^2 x = (1/2)^2 = 1/4.
- Calcule cos 2x = 2 * (1/4) - 1 = 1/2 - 1 = -1/2.
- Confira a resposta pela outra fórmula. Se cos x = 1/2, então sen^2 x = 1 - 1/4 = 3/4. Logo cos 2x = cos^2 x - sen^2 x = 1/4 - 3/4 = -1/2, o mesmo resultado.
- Conclusão. A alternativa correta é A), -1/2, que coincide com o gabarito oficial. A alternativa B) está errada, pois -1/4 não corresponde a nenhuma fórmula correta de cos 2x. A alternativa C) está errada, pois 1/4 é apenas cos^2 x, sem o arco duplo. A alternativa D) está errada, pois cos 2x não é igual a cos x. A alternativa E) está errada, pois 2 cos x não é igual a cos 2x.
💡 Dica: Use a fórmula do cosseno do ângulo duplo para calcular cos 2x.
Alternativa por alternativa
CORRETA. Usando a identidade cos(2x) = 2cos²x - 1, com cos x = 1/2, temos cos(2x) = 2*(1/2)² - 1 = 2*(1/4) - 1 = 1/2 - 1 = -1/2.
O aluno provavelmente aplicou a fórmula de forma incorreta, por exemplo cos 2x = cos^2 x - 1/2, ou esqueceu o fator 2 da expressão 2cos^2 x - 1, o que leva a 1/4 - 1/2 = -1/4.
O aluno calculou apenas cos^2 x = 1/4 e tomou esse valor como cos 2x, como se dobrar o arco elevasse o cosseno ao quadrado sem nenhuma outra operação.
O aluno supôs que cos 2x tem o mesmo valor de cos x, ignorando que o argumento foi dobrado e que a identidade trigonométrica precisa ser aplicada.
O aluno aplicou uma linearidade falsa, escrevendo cos 2x = 2 cos x = 2 * 1/2 = 1, como se o fator 2 do arco pudesse ser passado para fora do cosseno como multiplicador.
Raio-X da questão
função cosseno, ângulo duplo
diagnostico
função cosseno · identidade trigonométrica
Estude a fórmula do cosseno do ângulo duplo e propriedades do cosseno.
Confundir a fórmula do cosseno do ângulo duplo ou usar valores incorretos para cos x.
pensamento_critico
abstrato
🔎 Resolver outra questão
Cole o enunciado e veja a resolução passo a passo, a alternativa correta e por que as outras estão erradas.
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