A função f(x) = 3cos(x/2 + x), no intervalo 0 = x = 2p, é positiva para (Mackenzie 2019)
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
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Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
A função f(x) = 3cos(x/2 + x), no intervalo 0 = x = 2p, é positiva para (Mackenzie 2019)
- A) 0 < x < 2π
- B) π < x < 2π
- C) 0 < x < π
- D) π/2 < x < 3π/2
- E) 0 < x < π/2
✅ Resposta correta: alternativa B
Resolução passo a passo
- O enunciado parece ter um erro de digitação. A expressão 3cos(x/2 + x) não gera nenhuma das alternativas: com ela, f(x) seria positiva em 0 ≤ x < π/3 ou π < x < 5π/3, o que não aparece nas opções. Assumo que o argumento correto seja x/2 + π, ou seja, f(x) = 3cos(x/2 + π) = -3cos(x/2). Esta leitura é a única coerente com as alternativas e com o gabarito.
- Com f(x) = -3cos(x/2), f(x) > 0 exige cos(x/2) < 0.
- Para 0 ≤ x ≤ 2π, o arco x/2 varia em [0, π]. Nesse intervalo, cos(x/2) < 0 quando x/2 está em (π/2, π].
- Logo π < x ≤ 2π, ou seja, π < x < 2π no intervalo considerado (x = 2π dá f = 3 > 0, e a alternativa B usa o intervalo aberto na mesma forma das demais).
- Por que as outras estão erradas: A) cos(x/2) é positivo em parte do intervalo, então f é negativa ali; C) em (0, π) cos(x/2) é positivo, logo f é negativa; D) o intervalo (π/2, 3π/2) mistura regiões de sinais diferentes para x/2; E) em (0, π/2) cos(x/2) é positivo, logo f é negativa.
- Conclusão: f é positiva para π < x < 2π, alternativa B, de acordo com o gabarito oficial.
💡 Dica: Analise o sinal da função trigonométrica no intervalo dado.
Alternativa por alternativa
O aluno supõe que f é positiva em todo o intervalo, ignorando que a função muda de sinal. Ele pode ter esquecido que o cosseno assume valores negativos.
CORRETA. No intervalo π < x < 2π, o argumento do cosseno está em um intervalo onde a função é positiva, conforme a análise do sinal do cosseno para o argumento (3x/2).
O aluno identifica corretamente onde cos(x/2) é positivo, em [0, π), mas esquece o sinal negativo produzido pelo termo +π e marca justamente a região onde f é negativa.
O aluno usa a região de sinal de cos(x) em vez de cos(x/2), tratando o argumento como se fosse x e não x/2. Assim, confunde o intervalo de negatividade do cosseno sem considerar a metade do arco.
O aluno considera apenas o primeiro quadrante do arco x/2 e erra ao dividir o intervalo, supondo que o cosseno só é positivo em (0, π/2). Ele também ignora a mudança de sinal provocada pelo deslocamento de π.
Raio-X da questão
função trigonométrica positiva
diagnostico
funções trigonométricas básicas · intervalos e desigualdades
Estude sinais de funções trigonométricas e intervalos de positividade.
Confundir o domínio do cosseno e não considerar a soma dos argumentos corretamente.
pensamento_critico
abstrato
🔎 Resolver outra questão
Cole o enunciado e veja a resolução passo a passo, a alternativa correta e por que as outras estão erradas.
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