Se a e b, a < b, são soluções da equação x^{log5x} = x4/125, então o valor de 1/2 (b - a) é (Mackenzie 2019)
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Se a e b, a < b, são soluções da equação x^{log5x} = x4/125, então o valor de 1/2 (b - a) é (Mackenzie 2019)
- A) 125
- B) 120
- C) 60
- D) 3
- E) 1
✅ Resposta correta: alternativa C
Resolução passo a passo
- Interpretação da equação: lemos x^{log5 x} = x^4/125, em que log5 x é o logaritmo de x na base 5 e x^4/125 é x elevado a 4, dividido por 125. Como as soluções precisam ser positivas (x > 0), podemos aplicar logaritmo na base 5 dos dois lados. Passo 2: log5 de x^{log5 x} = (log5 x)·(log5 x) = (log5 x)^2. Já log5 de x^4/125 = 4·log5 x - log5 125 = 4·log5 x - 3, pois log5 125 = 3. Passo 3: Fazendo y = log5 x, obtemos y^2 = 4y - 3, ou seja, y^2 - 4y + 3 = 0. Passo 4: Fatorando, (y - 1)(y - 3) = 0, então y = 1 ou y = 3. Passo 5: Voltando para x: log5 x = 1 dá x = 5 e log5 x = 3 dá x = 125. Assim a = 5 e b = 125, com a < b, como o enunciado pede. Passo 6: b - a = 125 - 5 = 120, e metade disso é 60. Passo 7: A alternativa C (60) está correta e coincide com o gabarito oficial. Por que as outras estão erradas: A (125) é apenas o valor de b, sem subtrair a nem tomar metade. B (120) é a diferença b - a, mas esquece a metade pedida. D (3) é log5 de 125, um logaritmo intermediário e não uma solução da equação. E (1) é metade da diferença entre os logaritmos (3 - 1 = 2, metade = 1), e não da diferença entre as próprias soluções.
💡 Dica: Isolar a variável e aplicar propriedades de logaritmos e potências.
Alternativa por alternativa
O aluno encontrou b = 125 e marcou esse valor como resposta, ignorando a subtração de a e a multiplicação por 1/2 pedidas no enunciado.
O aluno calculou corretamente b - a = 120, mas esqueceu de multiplicar por 1/2 que aparece no enunciado.
CORRETA. Ao igualar os expoentes após transformar ambos os lados para a mesma base, encontra-se a = 5 e b = 125, logo 1/2(b - a) = 60.
O aluno calculou log5 de 125 = 3 e tomou esse logaritmo como se fosse a solução ou a diferença pedida, sem voltar para x.
O aluno aplicou a metade sobre a diferença dos logaritmos (3 - 1 = 2) em vez de sobre a diferença b - a entre as soluções, ou seja, leu a expressão de forma errada.
Raio-X da questão
equações exponenciais e logaritmos
diagnostico
propriedades de logaritmos · equações exponenciais
Propriedades de logaritmos e resolução de equações exponenciais.
Confundir as propriedades dos logaritmos e potências, levando a erros na simplificação da equação.
pensamento_critico
abstrato
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