Os raios das circunferências, inscrita e circunscrita, ao triângulo equilátero cujo lado mede a, são…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Os raios das circunferências, inscrita e circunscrita, ao triângulo equilátero cujo lado mede a, são, respectivamente, (Mackenzie 2019)
- A) a/3 e 2a/3
- B) a/2 e a
- C) a√2/2 e a√2
- D) a√3/6 e a√3/3
- E) a√3/2 e a√3
✅ Resposta correta: alternativa D
Resolução passo a passo
- Seja ABC o triângulo equilátero de lado a. Sua altura é h = a√3/2, obtida pelo teorema de Pitágoras: h^2 = a^2 - (a/2)^2 = 3a^2/4.
- Em um triângulo equilátero, o incentro, o baricentro, o circuncentro e o ortocentro coincidem no mesmo ponto, que divide a altura na razão 1:2 a partir do vértice.
- O raio da circunferência inscrita (r) é a distância do centro até um lado, ou seja, a terça parte da altura: r = h/3 = a√3/6.
- O raio da circunferência circunscrita (R) é a distância do centro até um vértice, ou seja, dois terços da altura: R = 2h/3 = a√3/3. Conferência: R = 2r, como deve ser no triângulo equilátero.
- Portanto a alternativa correta é a D (a√3/6 e a√3/3), que coincide com o gabarito oficial.
- A alternativa A está errada, pois a/3 e 2a/3 são frações do próprio lado, não da altura. A alternativa B está errada, pois a/2 e a não correspondem às distâncias do centro aos lados e aos vértices. A alternativa C está errada, pois a√2/2 e a√2 são as medidas de um quadrado de lado a, não de um triângulo equilátero. A alternativa E está errada, pois a√3/2 é a altura do triângulo, que é a soma r + R, e não o raio inscrito.
💡 Dica: Calcule os raios usando fórmulas do triângulo equilátero.
Alternativa por alternativa
O aluno divide o lado a em partes proporcionais à razão 1:2 e usa essas frações como raios, sem passar pela altura do triângulo.
O aluno toma o raio inscrito como a metade do lado (confundindo com o ponto médio do lado) e o raio circunscrito como o próprio lado, sem relação com a altura.
O aluno aplica as fórmulas de um quadrado de lado a (raio inscrito a/2 e raio circunscrito a√2/2, ou diagonal a√2), trocando a figura pelo quadrado.
CORRETA. Para um triângulo equilátero de lado a, o raio da circunferência inscrita é (a√3)/6 e o da circunscrita é (a√3)/3.
O aluno confunde a altura do triângulo (a√3/2) com o raio inscrito e usa a√3 como raio circunscrito, que é na verdade o diâmetro da circunferência circunscrita.
Raio-X da questão
raios circunferências triângulo equilátero
diagnostico
propriedades triângulo equilátero · fórmulas circunferência inscrita e circunscrita
Estude propriedades e fórmulas de circunferência inscrita e circunscrita
Confundir as fórmulas dos raios da circunferência inscrita e circunscrita no triângulo equilátero.
pensamento_critico
abstrato
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