O domínio da função real definida por f(x) = v((1 + x)/(x - 4)) é (Mackenzie 2019)
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
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Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
O domínio da função real definida por f(x) = v((1 + x)/(x - 4)) é (Mackenzie 2019)
- A) ]-1 ; 4[
- B) ]−∞ ; −1[ ∪ [4 ; +∞[
- C) [−1 ; 4]
- D) ]−∞ ; −1] ∪ ]4 ; +∞[
- E) [−1 ; 4[
✅ Resposta correta: alternativa D
Resolução passo a passo
- Para que f(x) = raiz quadrada de (1 + x)/(x - 4) seja um número real, o radicando deve ser maior ou igual a zero: (1 + x)/(x - 4) >= 0. Passo 2: O numerador 1 + x se anula em x = -1 e o denominador x - 4 se anula em x = 4. Como x = 4 anula o denominador, ele nunca pertence ao domínio, mesmo que a desigualdade fosse satisfeita ali. Passo 3: Estudo de sinal. Para x < -1, numerador e denominador são negativos, logo o quociente é positivo. Para -1 < x < 4, o numerador é positivo e o denominador é negativo, logo o quociente é negativo (não serve). Para x > 4, numerador e denominador são positivos, logo o quociente é positivo. Passo 4: Em x = -1 o quociente vale zero, e raiz de zero é zero, real; portanto x = -1 entra no domínio. Logo o domínio é ]-∞ ; -1] ∪ ]4 ; +∞[. Passo 5: Conclusão: a alternativa correta é a D, que coincide com o gabarito oficial. Por que as outras estão erradas: A) é o intervalo entre as raízes, onde o quociente é negativo e a raiz não é real. B) inclui x = 4, que anula o denominador, e exclui x = -1, onde a expressão vale zero. C) usa o intervalo entre as raízes, onde o quociente é negativo, e ainda inclui 4, que não é permitido. E) usa o intervalo onde o quociente é negativo; só acerta ao incluir -1 e excluir 4, mas o intervalo em si está errado.
💡 Dica: Analise as restrições do domínio da função para encontrar o conjunto válido.
Alternativa por alternativa
O aluno resolveu a desigualdade de forma invertida, escolhendo a região entre as raízes, onde o quociente é negativo. Não percebeu que a raiz quadrada exige valor não negativo.
O aluno fez o estudo de sinal de forma correta para o intervalo de -∞ a -1, mas incluiu x = 4 ao considerar o intervalo a partir de 4. Esqueceu que x = 4 anula o denominador, e não o excluiu do domínio.
O aluno considerou o intervalo entre as raízes, onde o quociente é negativo, e incluiu os extremos como se a expressão fosse sempre definida. Confundiu a região de sinal com o domínio e ignorou a restrição do denominador.
CORRETA. O domínio é a união dos intervalos onde o radicando é não negativo e o denominador é diferente de zero: x ≤ -1 ou x > 4.
O aluno escolheu o intervalo entre as raízes, onde o quociente é negativo, e acertou apenas as extremidades. Confundiu o sinal da desigualdade, pois o domínio é onde o quociente é positivo ou zero.
Raio-X da questão
domínio de função real
diagnostico
função real e domínio · raízes quadradas e frações
estude como determinar o domínio de funções envolvendo frações e raízes
O aluno pode esquecer de excluir valores que anulam o denominador ou que tornam a expressão dentro da raiz negativa.
pensamento_critico
abstrato
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Cole o enunciado e veja a resolução passo a passo, a alternativa correta e por que as outras estão erradas.
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