A soma das raízes da equação (4^x)^{2x-1} = 64 é igual a (Mackenzie 2019)
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
A soma das raízes da equação (4^x)^{2x-1} = 64 é igual a (Mackenzie 2019)
- A) -1/2
- B) -1
- C) 1/2
- D) 1
- E) 5/2
✅ Resposta correta: alternativa C
Resolução passo a passo
- Reescreva a potência de potência. Como (4^x)^(2x-1) = 4^(x(2x-1)), a equação fica 4^(2x^2 - x) = 64.
- Escreva 64 como potência de 4. Como 4^3 = 64, a equação vira 4^(2x^2 - x) = 4^3.
- Como as bases são iguais e positivas e diferentes de 1, os expoentes devem ser iguais: 2x^2 - x = 3, ou seja, 2x^2 - x - 3 = 0.
- Resolva a equação do segundo grau. O discriminante é Delta = (-1)^2 - 4(2)(-3) = 1 + 24 = 25. As raízes são x = (1 + 5)/4 = 3/2 e x = (1 - 5)/4 = -1. Verificação: 4^(3/2) = 8, e 8^(2·3/2 - 1) = 8^2 = 64; para x = -1, 4^(-1) elevado a (2·(-1) - 1) = -3 dá 4^3 = 64.
- Some as raízes: 3/2 + (-1) = 1/2. Esse é o resultado, correspondente à alternativa C. Pelo Teorema de Girard, a soma é -b/a = -(-1)/2 = 1/2, o que confirma.
- Por que as outras estão erradas. A) -1/2 troca o sinal da soma. B) -1 considera apenas uma das raízes. D) 1 usa a soma -b/a sem dividir pelo coeficiente 2 de x^2. E) 5/2 resulta de trocar o sinal da raiz negativa, usando x = 1 no lugar de x = -1. O gabarito oficial C está correto.
💡 Dica: Isolar a variável e aplicar propriedades de potências para encontrar as raízes.
Alternativa por alternativa
Aplicou a relação de Girard com sinal trocado, calculando b/a em vez de -b/a, e obteve -1/2.
Considerou apenas a raiz x = -1 como resposta, ignorando que a questão pede a soma de todas as raízes.
CORRETA. Ao reescrever a equação na mesma base e resolver, encontra-se que as raízes são -1 e 1, cuja soma é 0, mas ao revisar, percebe-se que as raízes corretas são -1 e 1/2, cuja soma é 1/2.
Aplicou -b/a sem dividir pelo coeficiente 2 de x^2, usando a = 1 na fórmula, e obteve 1 em vez de 1/2.
Trocou o sinal da raiz negativa, usando x = 1 no lugar de x = -1, e somou 3/2 + 1 = 5/2.
Raio-X da questão
equação exponencial e raízes
diagnostico
propriedades de potências · resolução de equações simples
estude propriedades de potências e resolução de equações exponenciais
Confundir as propriedades das potências ou esquecer de verificar todas as soluções possíveis da equação.
pensamento_critico
abstrato
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