Se S = {1, 2, 3, ... , 10}, o número de pares ordenados distintos, (A,B), em que A e B são subconjuntos…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Se S = {1, 2, 3, ... , 10}, o número de pares ordenados distintos, (A,B), em que A e B são subconjuntos, disjuntos, de S é (Mackenzie 2019)
- A) 3^10
- B) 3^10 - 1
- C) 3^9
- D) 2^10 - 1
- E) 2^10
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- Cada elemento de S (que tem 10 elementos) tem exatamente três destinos possíveis em relação ao par (A,B): pertencer só a A, pertencer só a B, ou não pertencer a nenhum dos dois. Como A e B são disjuntos, nenhum elemento pode estar em A e em B ao mesmo tempo.
- As escolhas são independentes para cada elemento, então pelo princípio multiplicativo o total de pares é 3 x 3 x ... x 3 (10 vezes), ou seja, 3^10.
- Os conjuntos vazios são permitidos, então o par (vazio, vazio) também entra na contagem, e não há motivo para subtrair nada. Assim, a alternativa A está correta e coincide com o gabarito oficial.
- Por que as outras estão erradas: a B subtrai um caso que deveria ser contado; a C reduz o expoente como se um elemento ficasse fixo; a D confunde a contagem com subconjuntos de S menos um caso; a E supõe que B é sempre o complemento de A, o que não é exigido pelo enunciado.
💡 Dica: Calcule o número de pares ordenados de subconjuntos disjuntos de S.
Alternativa por alternativa
CORRETA. Cada elemento de S pode estar em A, em B ou em nenhum dos dois, totalizando 3 possibilidades por elemento. Como são 10 elementos, temos 3^10 pares possíveis.
O aluno provavelmente acredita que o par (vazio, vazio) não deve ser contado, retirando um caso da contagem total.
O aluno pode tratar um dos elementos de S como fixo ou usar a fórmula 3^(n-1) sem justificativa, reduzindo o expoente de 10 para 9.
O aluno provavelmente mistura a contagem de subconjuntos de S (2^10) com a exclusão de um caso, como o conjunto vazio, sem entender que a condição de disjunção muda o total de pares.
O aluno supõe que B é determinado por A como o complemento de A em S, o que faria apenas 2^10 pares, ignorando que elementos podem não pertencer a nenhum dos dois conjuntos.
Raio-X da questão
subconjuntos disjuntos combinatoria
diagnostico
conjuntos e subconjuntos · combinatoria basica
estude combinatoria e propriedades de conjuntos disjuntos
Confundir subconjuntos disjuntos com subconjuntos quaisquer, levando a contagem errada.
pensamento_critico
abstrato
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