A equação da reta que corta o eixo das ordenadas no ponto P = (0, -6) e que tangencia a circunferência x² + y²…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
A equação da reta que corta o eixo das ordenadas no ponto P = (0, -6) e que tangencia a circunferência x² + y² = 4 no quarto quadrante é (Mackenzie 2018)
- A) y = −2√2x + 6
- B) y = 2√2x − 6
- C) y = 2√2x + 6
- D) y = 4x − 6
- E) y = −4x + 6
✅ Resposta correta: alternativa B
Resolução passo a passo
- A reta passa por P = (0, -6), logo tem forma y = mx - 6, com coeficiente angular m a determinar.
- A circunferência x² + y² = 4 tem centro na origem e raio 2. Uma reta é tangente quando a distância da origem a ela é igual ao raio. Escrevendo a reta como mx - y - 6 = 0, a distância é |−6| / raiz de (m² + 1) = 6 / raiz de (m² + 1).
- Impondo 6 / raiz de (m² + 1) = 2, temos raiz de (m² + 1) = 3, logo m² + 1 = 9 e m² = 8, isto é, m = 2 raiz de 2 ou m = −2 raiz de 2.
- Para decidir o sinal, encontramos o ponto de tangência, que é o pé da perpendicular traçada da origem à reta. Ele é dado por (6m / (m² + 1), −6 / (m² + 1)) = (2m/3, −2/3). O quarto quadrante exige x > 0 e y < 0. A ordenada é sempre negativa, então a condição decisiva é 2m/3 > 0, ou seja, m > 0. Portanto m = 2 raiz de 2.
- A reta é y = 2 raiz de 2 · x − 6. Verificação: o ponto de tangência é (4 raiz de 2 / 3, −2/3), e (4 raiz de 2 / 3)² + (−2/3)² = 32/9 + 4/9 = 4, o que confirma a tangência no quarto quadrante.
- Comparação com as alternativas: A tem coeficiente angular negativo e intercepto +6, que não passa por P. C tem intercepto +6, incompatível com P. D tem coeficiente 4, que não satisfaz m² = 8. E tem coeficiente −4 e intercepto +6, também incompatíveis. Somente B satisfaz todas as condições. O gabarito oficial B está correto.
💡 Dica: Use a condição de tangência e o ponto dado para encontrar a equação da reta.
Alternativa por alternativa
O aluno inverte o sinal do coeficiente angular e troca o sinal do intercepto, escrevendo +6 em vez de −6. Assim a reta deixa de passar por P = (0, −6).
CORRETA. A equação y = 2√2x − 6 possui coeficiente angular positivo, corta o eixo y em (0, −6) e, ao aplicar a condição de tangência, verifica-se que a distância do centro da circunferência à reta é igual ao raio (2), tangenciando no quarto quadrante.
O aluno acerta o coeficiente angular 2 raiz de 2, mas erra o intercepto ao escrever +6. Ele não verifica que a reta deve cortar o eixo y em −6.
O aluno calcula um coeficiente angular incorreto, 4, provavelmente por erro na condição de tangência, sem obter m² = 8. Além disso, ignora a análise de sinal do quarto quadrante.
O aluno ignora a condição de quadrante e escolhe um coeficiente negativo com intercepto +6, sem verificar se a reta passa por P = (0, −6) e toca a circunferência no quarto quadrante.
Raio-X da questão
equação da reta tangente
avaliacao
equação da reta · circunferência no plano cartesiano
estude equações de retas e tangentes a circunferências
Confundir a condição de tangência com interseção comum, ou erro ao aplicar a fórmula da reta tangente.
pensamento_critico
abstrato
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