Se um cone reto tem altura igual a 12 cm e seu volume é 64p cm³, então sua geratriz, em cm, mede (Mackenzie…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Se um cone reto tem altura igual a 12 cm e seu volume é 64p cm³, então sua geratriz, em cm, mede (Mackenzie 2018)
- A) 20
- B) 10√2
- C) 4√10
- D) 4√2
- E) 2√10
✅ Resposta correta: alternativa C
Resolução passo a passo
- Use a fórmula do volume do cone, V = (1/3) x pi x r^2 x h. Com V = 64pi e h = 12, temos (1/3) x pi x r^2 x 12 = 64pi, ou seja, 4pi r^2 = 64pi.
- Cancele pi e resolva: 4r^2 = 64, logo r^2 = 16 e r = 4 cm.
- Na geratriz g, o raio, a altura e a geratriz formam um triângulo retângulo (a geratriz é a hipotenusa). Pelo teorema de Pitágoras, g^2 = r^2 + h^2 = 16 + 144 = 160.
- Logo g = raiz de 160 = raiz de (16 x 10) = 4 raiz de 10 cm, que é a alternativa C, em acordo com o gabarito.
- Por que as outras estão erradas: A) 20 exigiria g^2 = 400, o que não corresponde a r = 4; B) 10 raiz de 2 exigiria g^2 = 200, incompatível com r^2 = 16; D) 4 raiz de 2 exigiria g^2 = 32, o que só ocorre se a altura fosse 4 cm, e não 12 cm; E) 2 raiz de 10 corresponde a g^2 = 40, valor que não corresponde aos dados do cone.
💡 Dica: Use a fórmula do volume do cone para encontrar o raio e depois calcule a geratriz.
Alternativa por alternativa
Calculou o raio incorretamente como r = 16 (r^2 = 256) e aplicou Pitágoras com esse valor, obtendo g = raiz de 400 = 20.
Errou a manipulação da equação do volume e chegou a um raio com r^2 = 56, aplicando Pitágoras e obtendo raiz de 200 = 10 raiz de 2.
CORRETA. Após calcular o raio (r = 4 cm) usando a fórmula do volume do cone e aplicar o teorema de Pitágoras com altura 12 cm, obtém-se a geratriz igual a 4√10 cm.
Confundiu a altura com o raio, usando h = 4 em vez de h = 12, e aplicou Pitágoras com r = h = 4, obtendo raiz de 32 = 4 raiz de 2.
Na simplificação da raiz de 160, extraiu a raiz de apenas um fator e escreveu 2 raiz de 40 = 2 raiz de 10 em vez de 4 raiz de 10, ou seja, errou o procedimento de simplificação de radicais.
Raio-X da questão
volume do cone e geratriz
avaliacao
fórmula volume do cone · teorema de pitágoras
estude a fórmula do volume do cone e cálculo da geratriz
Confundir a fórmula do volume do cone ou esquecer de usar o teorema de Pitágoras para calcular a geratriz.
pensamento_critico
abstrato
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