Diz-se que uma permutação dos inteiros de 1 a 5 é trilegal, se ela contiver 3 inteiros sucessivos em ordem…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Diz-se que uma permutação dos inteiros de 1 a 5 é trilegal, se ela contiver 3 inteiros sucessivos em ordem crescente. Por exemplo, a permutação 21354 é trilegal (pois os inteiros sucessivos 2, 3 e 4 estão em ordem crescente), mas a permutação 21435 não é (pois nenhuma das sequências: 1,2,3; 2,3,4 ou 3,4,5 aparece em ordem crescente). Assim, se uma permutação dos inteiros de 1 a 5 é escolhida ao acaso, a probabilidade de que ela não seja trilegal é (Mackenzie 2018)
- A) 5/12
- B) 7/12
- C) 9/12
- D) 10/12
- E) 11/12
✅ Resposta correta: alternativa B
Resolução passo a passo
- Há 5! = 120 permutações dos inteiros de 1 a 5, todas igualmente prováveis. Os trios de inteiros sucessivos são {1,2,3}, {2,3,4} e {3,4,5}. Uma permutação é trilegal se algum desses trios aparece em ordem crescente, não necessariamente em posições seguidas. Passo 2: Para um trio fixo, há 3! = 6 modos de dispor seus elementos e apenas 1 deles está em ordem crescente, logo a probabilidade de um trio estar em ordem crescente é 1/6. Passo 3: Para dois trios juntos: {1,2,3} e {2,3,4} crescentes exigem 1<2<3<4, com probabilidade 1/24; {2,3,4} e {3,4,5} exigem 2<3<4<5, com probabilidade 1/24; {1,2,3} e {3,4,5} exigem 1<2<3<4<5, com probabilidade 1/120. Passo 4: Os três trios juntos exigem 1<2<3<4<5, com probabilidade 1/120. Passo 5: Pelo princípio da inclusão-exclusão, P(trilegal) = 3/6 - (1/24 + 1/24 + 1/120) + 1/120 = 60/120 - 11/120 + 1/120 = 50/120 = 5/12. Passo 6: Logo P(não trilegal) = 1 - 5/12 = 7/12, que corresponde à alternativa B, igual ao gabarito oficial. Passo 7: Conferência: 50 permutações são trilegais e 70 não são, totalizando 120. Passo 8: A alternativa A (5/12) é a probabilidade de ser trilegal, e não de não ser. A alternativa C (9/12) resulta de subtrair apenas uma fração pequena de casos favoráveis, ignorando a maior parte dos trilegais. A alternativa D (10/12) considera apenas um dos três trios, ignorando os demais. A alternativa E (11/12) subestima a probabilidade de um trio estar em ordem crescente ao tomá-la como 1/12.
💡 Dica: Analise as sequências de três números consecutivos e verifique a ordem crescente na permutação.
Alternativa por alternativa
Marca a probabilidade de a permutação ser trilegal, que é o evento complementar ao pedido no enunciado.
CORRETA. O total de permutações de 1 a 5 é 120. Calculando as permutações que são trilegais (contêm pelo menos uma sequência de três números consecutivos em ordem crescente) e subtraindo do total, obtém-se 70 permutações não trilegais, resultando em probabilidade 70/120 = 7/12.
Subtrai de 1 uma probabilidade de trilegalidade pequena demais, provavelmente contando poucos casos favoráveis e ignorando combinações em que mais de um trio aparece.
Considera que basta um único trio (por exemplo, 1,2,3) estar em ordem crescente, ignorando que os trios {2,3,4} e {3,4,5} também tornam a permutação trilegal.
Toma a probabilidade de um trio aparecer em ordem crescente como 1/12 em vez de 1/6, esquecendo que há 6 ordens possíveis para três elementos.
Raio-X da questão
permutação e probabilidade
diagnostico
permutação de elementos · probabilidade básica
Estude permutação e análise combinatória básica para entender sequências e probabilidades.
Confundir a ordem dos números consecutivos ou não identificar corretamente as sequências em ordem crescente.
pensamento_critico
abstrato
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