Se tg x - cotg x = 1, então o valor de tg 2x é (Mackenzie 2018)
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Se tg x - cotg x = 1, então o valor de tg 2x é (Mackenzie 2018)
- A) 2
- B) 1
- C) 0
- D) −1
- E) −2
✅ Resposta correta: alternativa E
Resolução passo a passo
- Seja t = tg x. Como cotg x = 1/tg x, a condição tg x - cotg x = 1 vira t - 1/t = 1 (com t diferente de 0 e cos x diferente de 0). Multiplicando por t: t^2 - 1 = t, ou seja, 1 - t^2 = -t.
- Usando a fórmula da tangente do arco duplo, tg 2x = 2tg x / (1 - tg^2 x) = 2t / (1 - t^2).
- Substituindo 1 - t^2 por -t, obtemos tg 2x = 2t / (-t) = -2, desde que t seja diferente de zero, o que é garantido pela própria equação, pois t = 0 não a satisfaz.
- Logo, a resposta é -2, alternativa E, que coincide com o gabarito oficial.
- Por que as outras estão erradas: A) 2 tem sinal trocado, pois ocorre apenas se o denominador fosse t^2 - 1; B) 1 não decorre de nenhuma relação válida entre a equação dada e tg 2x; C) 0 exigiria tg x = cotg x, o que contradiz a equação dada; D) -1 surge se o numerador 2t for esquecido e fica apenas t/(1 - t^2) = -1.
💡 Dica: Use identidades trigonométricas para transformar e resolver a equação.
Alternativa por alternativa
O aluno inverte o sinal do denominador da fórmula de tg 2x, usando t^2 - 1 no lugar de 1 - t^2, o que resulta em 2t/(t^2 - 1) = 2.
O aluno confunde tg 2x com a própria expressão dada e conclui que o valor pedido é o próprio 1 do enunciado, sem aplicar a fórmula do arco duplo.
O aluno supõe que a diferença tg x - cotg x = 1 implica tg x = cotg x, e a partir disso conclui que tg 2x = 0, desconsiderando que a diferença deve ser igual a 1.
O aluno esquece o fator 2 do numerador da fórmula de tg 2x e calcula apenas t/(1 - t^2) = t/(-t) = -1.
CORRETA. Ao resolver a equação tg x − cotg x = 1, encontra-se tg x = −1, e aplicando a fórmula tg 2x = 2 tg x / (1 − tg^2 x), obtém-se tg 2x = −2.
Raio-X da questão
identidades trigonométricas, tangente, cotangente
avaliacao
funções trigonométricas básicas
Estude as relações e fórmulas básicas da trigonometria, especialmente tangente e cotangente.
Confundir as identidades de tangente e cotangente ou aplicar incorretamente as fórmulas de ângulo duplo.
pensamento_critico
abstrato
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