Se a1, a2, ... , a10 é uma sequência de números inteiros tal que a1 = 1, para n > 1, a??1 - a? = 3n o valor de…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Se a1, a2, ... , a10 é uma sequência de números inteiros tal que a1 = 1, para n > 1, a??1 - a? = 3n o valor de a10 é igual a (Mackenzie 2017)
- A) 29524
- B) 88572
- C) 265719
- D) 9840
- E) 3279
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- O enunciado está com caracteres perdidos. Interpreto a recorrência como a(n+1) - a(n) = 3^n para n > 1, com a1 = 1. Se fosse 3n, a10 seria 1 + 3(1+2+...+9) = 136, valor que não aparece nas alternativas.
- Escrevemos a10 somando as diferenças: a10 = a1 + (a2 - a1) + (a3 - a2) + ... + (a10 - a9) = 1 + (3^1 + 3^2 + ... + 3^9).
- A soma da progressão geométrica 3^1 + ... + 3^9 tem primeiro termo 3, razão 3 e 9 termos: S = 3(3^9 - 1)/(3 - 1) = (3^10 - 3)/2 = (59049 - 3)/2 = 29523.
- Logo a10 = 1 + 29523 = 29524. Também é possível verificar pela fórmula fechada a(n) = (3^n - 1)/2: para n = 10, (59049 - 1)/2 = 29524.
- Conferência: a1 = (3 - 1)/2 = 1 e a2 = (9 - 1)/2 = 4 = 1 + 3, de acordo com a recorrência.
- Assim, a alternativa correta é a A, de acordo com o gabarito oficial. A B é 3 vezes 29524, a C é a soma de 3^1 até 3^11 (um termo a mais), a D é a soma de 3^1 até 3^8 (um termo a menos) e a E é a soma de 3^1 até 3^7 (dois termos a menos).
💡 Dica: Calcule os termos da sequência usando a relação de recorrência dada.
Alternativa por alternativa
CORRETA. A soma dos incrementos 3¹ + 3² + ... + 3⁹, somada ao termo inicial 1, resulta em 29524.
O aluno provavelmente tratou a sequência como se cada termo fosse o anterior multiplicado por 3, obtendo 3 vezes 29524, em vez de acumular as diferenças somando.
O aluno somou as potências de 3 até 3^11 em vez de até 3^9, incluindo um termo a mais na soma das diferenças.
O aluno somou as potências de 3 apenas até 3^8, deixando de incluir a última diferença (3^9), o que gera 9840, que é justamente o valor de a9 menos 1.
O aluno deslocou o índice da soma, somando apenas até 3^7 e perdendo duas diferenças da recorrência, o que resulta em 3279.
Raio-X da questão
sequência numérica recursiva
avaliacao
sequência numérica · progressão aritmética
estude sequências e progressões aritméticas
Confundir a relação de recorrência e calcular incorretamente os termos da sequência.
pensamento_critico
abstrato
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